При публикации данной статьи на сайте журнала возможны искажения отображения формул.

Оригинал статьи в формате PDF доступен для скачивания

УДК 539.124.6:539.189.2:541.6:621.382

Е.П.Прокопьев: НИЦ «Курчатовский институт», ФГБУ «ГНЦ РФ ИТЭФ»

Адрес: ул. Б.Черемушкинская, 25, Москва, Россия, 117218

Аннотация

Важнейшей проблемой физики медленных позитронов является построение строгой теории аннигиляции в кристаллических твердых телах. В данном обзорном исследовании проанализирована проблема многих электронов и позитронов в твердом теле с помощью перехода от вторичного квантования к конфигурационному представлению по методу Фока. Рассмотрены методы расчетов стационарных состояний систем из электронов и позитронов во внешнем поле и поле кристаллической решетки и вероятностей аннигиляционных переходов в этих внешних полях. Для этого в приближении метода Хартри-Фока рассмотрена задача электронов и позитронов в поле кристаллической решетки. Сформулирована проблема многих электронов и позитронов в твердом теле с помощью метода вторичного квантования.
Рассмотрены свойства блоховских состояний электронов, позитронов и дырок в поле кристаллической решетки с учетом их взаимодействия. Особое внимание уделено проблемам экситонов, атома и позитрон-экситонных комплексов.

Введение

Важнейшей проблемой физики медленных позитронов является построение строгой теории аннигиляции в кристаллических твердых телах (см., например, [1]). Поэтому в данном исследовании сформулируем проблему многих электронов и позитронов в твердом теле с помощью перехода от вторичного квантования к конфигурационному представлению по методу Фока [2], использованного работах [3-7].

Вначале приведем методы расчетов стационарных состояний систем из электронов и позитронов во внешнем поле и поле кристаллической решетки [4] и вероятностей аннигиляционных переходов в этих внешних полях [3,8].

1. Квантовополевая теория системы многих электронов и позитронов в твердом теле    Известно, что связь между конфигурационным пространством и вторичным квантованием по Фоку [2] дается следующим образом. Гамильтониан с неопределенным числом частиц в рамках метода вторичного квантования имеет вид [4]

, (1)

где и – операторы уничтожения и рождения фермиевского поля. Они удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям

(2)

Здесь соответствует случаю бозонов, а – фермионов. В том случае, если оператор числа частиц

(3)

диагонален, то операторы и имеют не равные нулю матричные элементы и , где

(4)

(5)

Вектор состояния по Фоку, на который действуют операторы рождения и уничтожения частиц и имеет вид

, (6)

где каждый элемент столбца представляет собой волновую функцию Шредингера в пространстве с определенным числом частиц

Выпишем действие операторов и по Фоку на волновую функцию

, (6)

, (7)

, (8)

, (9)

Квантованное уравнение движения имеет вид

(10)

Здесь

    Именно из этого уравнения можем получить уравнение Шредингера в конфигурационном пространстве для системы с определенным числом частиц. Гамильтониан взаимодействия электронов во внешнем поле равен

(11)

Из выражения (11) находим энергию системы с определенным числом частиц .

(12)

(13)

Таким образом

(14)

Минимизируя функционал с учетом ортонормированности

(15)

получаем уравнения Фока

(16)

Выражение (16) и есть уравнения Фока в конфигурационном пространстве в произвольном внешнем поле. Использование этих уравнений (наиболее строгих) в проблеме твердого тела чрезвычайно затруднено. Полезно изложить основные черты математического формализма получения этих уравнений для систем со многими позитронами и электронами в конденсированных средах и твердом теле в приближении метода Хартри-Фока [5].

    Для этого изложим формализм вторичного квантования, обычно проводимый в два этапа. Для этого вначале рассмотрим «классическое поле», а затем его квантование. В качестве классического волнового уравнения выбираем уравнение Шредингера

(17)

и комплексно сопряженное ему уравнение

(18)

    Выпишем функцию Лагранжа, а также уравнение Лагранжа, которые приводят к уравнениям (17) и (18)

(19)

Отсюда следует

, (20)

то есть это просто уравнения (17) и (18).

Канонически сопряженный импульс введем как произвольную функцию Лагранжа

, (21)

Таким образом, получаем функцию Гамильтона из функции Лагранжа посредством соотношения

(22)

Отсюда находим явный вид первично квантованной функции Гамильтона

, (23)

Заметим, что в данном случае волновые функции и представляют собой «классические поля». Разложим амплитуду поля по собственным функциям волнового уравнения Шредингера

(24)

Эти функции записываются в виде

(25

Отметим, потенциал не зависит от времени.

    Разложим теперь волновую функцию по этим собственным функциям . Запишем временной множитель в виде

(26)

Отсюда разложение волновых функций и принимают следующие значения

, (27)

, (28)

Полезно напомнить, как получаются перестановочные соотношения для амплитуд . Для этого введем вакуумное состояние и – оператор рождения. Тогда формально можно создать две частицы в одном и том же состоянии через . Естественно, что

(29)

Требование (29) должно соблюдаться не только для , но и для любого , так что

(30)

Отсюда легко постулируются перестановочные соотношения для ферми-частиц для амплитуд поля

, (31)

, (32)

, (33)

Так как полевые операторы и связаны с операторами и через разложения (27), (28), то перестановочные соотношения (31)-(33) имеют своим следствием перестановочные соотношения для и вида (2) и наоборот.

    Таким образом, оператор Гамильтона оказывается равным

(34)

При этом уравнение Шредингера для квантованного состояния имеет вид

, (35)

причем

(36)

и

(37)

Энергия дается выражением

, где или (38)

Полное число частиц равно

(39)

Далее рассмотрим наиболее общее одночастичное состояние, задаваемое суперпозицией одночастичных состояний

(40)

причем является еще произвольным. Перейдем вновь к представлению состояния . Очевидно, что

(41)

Подставляя (41) в (40), получаем

(42)

Функция удовлетворяет обычному одночастичному уравнению Шредингера. Далее подставим одночастичные функции (42) во вторично квантованное уравнение Шредингера (35). Имеем

(43)

С учетом перестановочных соотношений

получаем из (43)

(44)

Это выражение преобразуется к виду

(45)

Легко видеть, что

(46)

    Теперь рассмотрим наиболее общее состояние двух частиц

(47)

Как и ранее

(48)

Причем

(49)

Выберем

(50)

Тогда нетрудно показать, что функция удовлетворяет уравнению Шредингера для двух частиц

(51)

Можно легко обобщить этот результат для частиц

(52)

    Развитый выше формализм позволяет нам сформулировать задачу и для системы нерелятивистских позитронов.

    Рассмотрим теперь систему из электронов и позитронов в кристаллической решетке твердого тела в приближении Хартри-Фока.

2. Электроны и позитроны в кристаллической решетке: формулировка проблемы многих тел. Приближение Хартри-Фока

    Сформулируем проблему многих электронов и позитронов в твердом теле с помощью метода вторичного квантования. Представим себе следующую картину: электроны и позитроны движутся в строго периодической решетке, ионы которой имеют бесконечно тяжелые массы. Иными словами можно считать, что они находятся в состоянии покоя. Принимаем далее, что электроны внутренних атомных оболочек учитываются в целом тем, что они вместе с положительно заряженными атомными ядрами создают эффективный, периодический с периодом решетки потенциал .

    Естественно, что позитроны в основном движутся по периферии атомов кристалла в силу электростатического отталкивания ядер. Оператор Гамильтона для электронов и позитронов состоит из четырех частей: кинетической энергии электронов (позитронов), потенциальной энергии взаимодействия между электронами (позитронами), кулоновской энергии взаимодействия между электронами (позитронами) и кулоновского взаимодействия электронов с позитронами. Соответствующее уравнение Шредингера будет иметь вид

(53)

(54)

Причем функции являются операторами, удовлетворяющими ферми-перестановочным соотношениям типа (31)-(33). Разложим эти операторы по собственным функциям

(55)

(56)

Принимаем, что собственные функции образуют полный набор ортонормированных функций, но их следует оптимизировать так, чтобы они являлись решениями уравнения Щредингера. Для этого используем метод Хартри-Фока, уже описанный выше.

    Создадим некоторое состояние электронов и позитронов кристалла. Для этого следует расположить электроны и позитроны один за другим по состояниям и . Таким образом

(57)

Используем эту функцию для построения среднего значения оператора Гамильтона (см.(53) и (54)) с дополнительным условием, что функция состояния нормирована. Далее требуем условия

(58)

с дополнительным условием

(59)

и вычислим выражение (58) как функционал . Затем определяем с помощью варьирования.

    Для этого подставим (55) и (56) в (53) и (54). Поскольку операторы и не зависят от интегрирования, волновые функции коммутируют с операторами, то операторы можно вынести за знак интеграла. Тогда выражение для оператора Гамильтона принимает вид

(60)

Далее следует построить среднее значение этого Гамильтониана на функциях состояния (55), (56). Используя метод Хакена [4], сразу же получаем

(61)

Здесь суммирование распространяется только на занятые состояния и .

    Условие нормировки используется, как обычно, в качестве дополнительного условия

; (62)

Для этого применим обычным образом параметр Лагранжа, который обозначим через . Проведение варьирования и приводит сразу же к уравнениям

(63)

(64)

Для интерпретации уравнений самосогласованного поля (63) и (64) рассмотрим входящие в него отдельные члены.

    Первые члены в фигурных скобках в уравнениях (63), (64) представляют потенциальную и кинетическую энергию электронов и позитронов в периодической решетке кристалла соответственно. Следующие выражения в уравнениях (63), (64) представляют представляют произведения искомых функций и сумм по

(65)

Здесь

(66)

(67)

Так как и имеют смысл плотности заряда для электронов и позитронов, то суммы по имеют смысл электростатических потенциалов электронов и позитронов в состояниях .

    Предпоследние члены в уравнениях (63), (64) имеют вид

(68)

(69)

где

, (70)

(71)

Выражения (68)-(71) характеризуют так называемое обменное кулоновское взаимодействие .

    Таким образом, можем записать уравнения (63), (64) в виде

(72)

(73)

    В реальных условиях экспериментов концентрация позитронов составляет величину ~ 1 см^-3, поэтому уравнение (73) существенно упрощается

(74)

Здесь

(75)

Уравнение Шредингера вида (72) и (73) можно записать в краткой форме

(76)

(77)

В общем случае можно утверждать, что потенциалы и являются функциями, периодическими с периодом решетки кристалла.

    Выше мы никак не уточняли, насколько заполнены получившиеся электронная и позитронная зоны. Приведенный формализм может быть применен для случая полностью заполненной валентной зоны и соседней зоны проводимости с одним электроном или позитроном. Например, для функции избыточного электрона имеем

(78)

Функция избыточного позитрона в свою очередь имеет вид

(79)

Здесь индексы, относящиеся к электронной и позитронной зонам проводимости и валентной зоны соответственно. Принимаем, что . Из этого уравнения следует вывод о том, что электронная дырка в твердом теле (или просто дырка) никоим образом не идентична позитрону, как реальной частице.

3. Электроны и позитроны в кристаллической решетк. Теорема Блоха

    В выражениях (76) и (77) введем обозначения

, . Тогда , где – один из векторов решетки, т.е. вектор, проведенный из одной точки решетки к следующей. Имеем

(80)

Далее

(81)

Отсюда

(82)

Подстановка (83) в (82) дает

(83)

Соотношения (82) и (83) и представляют собой теорему Блоха.

Подставляя (82) в уравнения (80), получаем

(84)

Энергию на краю зон можно разложить по и при малых представить в виде

(85)

4. Метод эффективной массы

(86)

Здесь

Так как

+ (члены высокого порядка, которыми пренебрегаем), уравнение

Тогда уравнение типа (86)

сводится к более простой проблеме

С учетом сдвига по энергии это уравнение переходит в

(87)

5. Функции Ванье: волновые пакеты из функций Блоха электронов и позитронов

    Согласно [5], функции Ванье строятся из блоховских волн

(88)

Здесь суммирование распространяется на все значения внутри данной энергетической зоны, – число элементарных ячеек.

Функции Ванье обладают рядом важных свойств:

1. Функции Ванье описывают, например, локализацию позитрона в окрестности точки на протяжении примерно одной постоянной решетки.

Докажем это, приняв, что не зависит от , то есть . В данном случае суммирование и (88) сразу же выполняется для всего кристалла (с точностью до фазового множителя)

Здесь – постоянная решетки кристалла, – линейный размер кристалла. В знаменателе синусы можно заменить на их аргументы. Тогда

(89)

Из этого выражения легко видеть, что функция (89) действительно локализована в области пространства с размером .

2. Важным свойством функций Ванье является их ортогональность, т.е. функции Ванье, локализованные в различных точках или принадлежащих разным значениям взаимно ортогональны.

(90)

6. Электроны, позитроны, дырки в кристалле

    6.1 Электронные дырки в кристалле

Формализм вторичного квантования позволяет очень элегантным образом ввести понятие дырки как квазичастицы и описать ее свойства. Исходя из заполненной валентной зоны, из которой удален электрон в состоянии . Это незаполненное состояние ведет себя как частица, но уже с положительным зарядом. Этот процесс математически выглядит следующим образом

(91)

Здесь – волновая функция заполненной валентной зоны, – оператор уничтожения, а – волновая функция дырки. Вводим

, (92)

Причем

(93)

Таким образом состояние для оператора представляет вакуумное состояние. С учетом (31)-(33) имеем

(94)

В свою очередь повторное применение этих перестановочных соотношений дает нам

(95)

Подставляя (94) и (95) в электронную часть Гамильтониана, соответствующую электронам (индексы и ), получаем последовательно: во-первых, у нас появляются члены, которые не зависят от операторов дырок, а именно символы Кронекера . Отсюда для энергии имеем некоторое постоянное значение

(96)

Здесь – энергия электронов валентной зоны кристаллов.

Во-вторых, рассмотрим члены в (60), содержащие пары операторов . Имеем

(97)

Здесь суммы по индексам относятся ко всей валентной зоне. Можем записать (97) в виде

(98)

или иначе

(99)

В виду ортогональности волновых функций выражение (97) приводится к виду

(100)

    В третьих, как следует из (95), имеются еще операторы, содержащие производные четырех операторов дырок, соответствующие кулоновскому взаимодействию между дырками

, (101)

где

(102)

    Теперь, объединяя (96), (100) и (101), получаем оператор Гамильтона дырок

(103)

    Опуская кулоновское взаимодействие между дырками и производя разложение энергии вблизи точки в ряд, получаем

(104)

Таким образом, оператор Гамильтона для дырок имеет вид

(105)

Отсюда следует, что дырки ведут себя как частицы с положительной эффективной массой .

6.2 Взаимодействие между электронами, дырками и позитронами

    Рассмотрим полупроводниковый кристалл, в основном состоянии которого валентная зона полностью занята электронами, а зона проводимости пустая. Исследуем вопрос о том, какие эффективные взаимодействия следует учитывать, если удалить некоторые электроны из валентной зоны, то есть создать в ней дырки, в зону проводимости. Причем не обязательно число дырок равно числу электронов в зоне проводимости. Их число при комнатной температуре может быть значительно больше за счет ионизации мелких примесных центров. Позитрон вводится в кристалл, например, из – радиоактивного источника – изотопа и образует в кристалле позитронную зону проводимости. Пусть такого рода систему описывает уравнение Шредингера

(106)

с оператором Гамильтона

(107)

Так как мы хотим рассмотреть состояния в валентной зоне и электроны и позитрон в зонах проводимости в явном виде, разложим операторы поля по собственным функциям валентной зоны и зон проводимости

(108)

(109)

(110)

(111)

При этом предполагаем, что волновые функции определяются с помощью эффективных Гамильтонианов

, (112)

где

(113)

Условия ортонормированности имеют вид

(114)

В соответствии со слагаемыми, входящими в (107), разложим оператор Гамильтона на отдельные части

(115)

Подставляя разложения (108)-(111) в соответствующие разложения, получаем выражения для

(116)

Заметим, что ввиду трансляционной симметрии задачи, двойное суммирование по переходит в однократное. Третье слагаемое, стоящее в (115), после подстановки разложений (108)-(111) принимает вид

(117)

В дальнейшем вместо электронных операторов валентной зоны вводим операторы дырок

(118)

Далее несколько упростим наши обозначения, а именно, опустим у операторов, относящихся к электронам проводимости и позитрону, индексы и :

Сделаем необходимое допущение о сохранении количества дырок, электронов и позитронов, то есть рассмотрим стационарные состояния системы. Акты аннигиляции позитронов и дырок на начальном этапе не учитываем. К тому же пренебрегаем виртуальными переходами, обусловленными перекрыванием волновых функций валентной зоны и зоны проводимости (так называемые поляризационные эффекты). Дальнейший формализм расчета состоит в том, что согласно (118), вводятся операторы дырок, затем оператор Гамильтона преобразуется таким образом, чтобы операторы уничтожения стояли справа. Проведем в следующие опрощения и преобразования:

для (119)

для (120)

для (121)

В необходимо учесть все возможные комбинации индексов, таких как:

1. Все индексы принадлежат электронной зоне проводимости

(122)

    2. Все индексы принадлежат валентной зоне

(123)

3. Все индексы принадлежат валентной зоне и два – зоне проводимости, то есть

; ;;, (124)

а также следующие комбинации индексов

; ;;, (125)

которые дают равным образом одинаковые вклады. Введем краткое обозначение матричного элемента, описывающего кулоновское взаимодействие

(126)

Верхний ряд индексов в и относятся к векторам , а нижний ряд к индексам зоны проводимости или валентной зоны. Индексы принимают естественно значения , либо .

    Рассмотрим матричный элемент кулоновского взаимодействия для позитрона

(127)

Опять-таки индексы принимают естественно значения , либо .

    Согласно комбинации индексов имеются разные вклады в операторы взаимодействия , а именно: взаимодействия в зоне проводимости и взаимодействия между зоной проводимости и валентной зоной

(128)

(129)

Итак, в соответствии с (128) и (129) получаем следующие вклады:

1. Взаимодействие между электронами проводимости

(130)

2. Взаимодействие между электронами проводимости и позитроном

(131)

3. Взаимодействие между дырками в валентной зоне

(132)

Перенесем в данном выражении операторы уничтожения направо и проведем соответствующие преобразования. Тогда можно представить в виде

(133)

    Рассмотрим отдельные члены в выражении (133) от A до G, причем для этого необходимо вычислить множитель W в (133). Член А дает кулоновское взаимодействие в заполненной валентной зоне и экспериментально не наблюдаем. Член В характеризует кулоновское обменное взаимодействие в заполненной валентной зоне, в то время как член С дает взаимодействие дырок с валентными электронами, а Д представляет соответствующее кулоновское обменное взаимодействие. Последние члены совпадают с предыдущими: Е=Д и F=C. Члены С и Д, как видели ранее, участвуют в определении волновых функций зоны с помощью метода самосогласованного поля, т.е. в данном случае они для нас не интересны, за исключением члена G. Тогда имеем

(134)

4. Взаимодействие между электронами проводимости и дырками

    Согласно табличкам 128) и (129) в них присутствуют два разнородных члена. Исследуем выражение,

, (135)

где на индексы наложены ограничения (128) и (129). Рассмотрим вклады по следующей схеме

(136)

(137)

    Можно легко показать, что вклады в (135) от комбинаций (136) и (137) идентичны внутри себя. Для этого надо изменить в сумме (135) следующим образом: заменим на , на , на и на . Тем самым вторая строка в (135) переходит в новый матричный элемент

, (138)

причем в явном выражении для матричного элемента следует поменять координаты .

    Таким образом, матричные элементы в (138) равны друг другу. То же самое относится и к (137). Таким образом для дальнейшего, если ограничиться первыми членами в (136) и (137), а оставшиеся комбинации учтем просто введением в сумме (135) множителя 2. Выражение для взаимодействия согласно первой строке (136) можно преобразовать с помощью перестановочных соотношений для дырок. При этом получаем

, (139)

Первая сумма в (139) описывает взаимодействие электронов в зоне проводимости с заполненной валентной зоной. Это видно, если несколько преобразовать это выражение, используя стоящие в них символы Кронекера. Тогда для первой части выражения (139) получаем

, (140)

    Для того, чтобы сделать это выражение физически ясным, воспользуемся видом , представленным в (126). После чего получаем

, (141)

Как раз это выражение в (135) и определяет собой энергию взаимодействия электронов проводимости с заполненной валентной зоной. Второе выражение в (136), относящееся к (135), описывает уничтожение и последующее рождение дырки и одновременно тем самым уничтожение и последующее рождение электрона и одновременно тем самым уничтожение и последующее рождение электрона. Это выражение таким образом описывает рассеяние электрона на дырке, которое обусловлено кулоновским взаимодействием. Это рассеяние в рамках нашего формализма заключено в выражении . Аналогичным образом опишем взаимодействие в (135), которое обусловлено (137). Отсюда сразу получаем

, (142)

Первую сумму в этом выражении можно интерпретировать как обменное взаимодействие электронов в зоне проводимости с заполненной валентной зоной, а вторя сумма (наиболее важная) описывает кулоновское взаимодействие (обменное) между электронами в зоне проводимости и дыркой. То, что здесь действительно речь идет об обменном взаимодействии, становится ясным, если исследовать явное выражение для . При этом следует, что для равных значений в зоне проводимости, т.е. для , появляется смешанная зарядовая плотность.

5. Взаимодействие позитрона с электронами проводимости и электронами полностью заполненной валентной зоны

    Сразу же можем записать

(143)

В выражении (143) первый член соответствует кулоновскому взаимодействию позитрона в зоне проводимости с электронами полностью заполненной валентной зоны, а второй член отвечает кулоновскому взаимодействию позитрона с дырками в валентной зоне.

    Для полной ясности объединим полученные выше результаты в общий оператор Гамильтона для электронов, дырок и позитрона в кристалле

(144)

Рассмотрим вклады, соответствующие (144)

, (145)

Этот член описывает энергию электронов в зоне проводимости (однако без учета взаимодействия электронов с электронами, дырками и позитроном). Это выражение обсуждалось уже ранее.

Для позитрона имеем

(146)

Этот член описывает энергию позитрона в позитронной зоне проводимости. Для дырок получаем

, (147)

И это выражение мы уже рассматривали ранее.

Взаимодействие между электронами и дырками описывается выражением

, (148)

В свою очередь взаимодействие между электронами и позитроном определяется выражением

(149)

Взаимодействие между позитроном и дырками описывается выражением

(150)

Три последних члена в (144) интерпретируются следующим образом.

Во-первых, это электрон-электронное взаимодействие в зоне проводимости

(151)

    Во-вторых, это взаимодействие между дырками в валентной зоне

(152)

В- третьих, это постоянный член, который не содержит никаких операторов

, (153)

который описывает энергию валентной зоны.

    Отметим, что записанные выше выражения (145), (146) и (147) представляют средние значения энергий электронов, позитрона и дырок: . Можно принять для реальных условий экспериментов, что электроны, позитрон и дырки находятся вблизи краев зон. Поэтому используем разложения

, (154)

, (155)

, (156)

В рамках рассмотренной задачи решим проблему экситона, атома позитрония () и позитрон-экситонного комплекса.

7. Экситоны, атом и позитрон-экситонные комплексы

    Рассмотрим вначале проблему позитрон-экситонного комплекса в кристалле, т.е. систему, сосоящую из взаимодействующих между собой электрона, позитрона и дырки. Будем исходить из оператора Гамильтона системы электронов, позитрона и дырок в обозначениях Хакена [5]

(157)

    В этом выражении первый член представляет собой энергию полностью заполненной зоны, второй член представляет кинетическую энергию электрона (индекс ), третий член – кинетическую энергию дырок в валентной зоне (индекс ), четвертый – кинетическую энергию позитрона в позитронной зоне проводимости (индекс ), пятый член описывает взаимодействие между дырками и электронами, шестой член – взаимодействие между электронами в зоне проводимости, седьмой член – взаимодействие между дыркам в валентной зоне, восьмой член описывает взаимодействие электронов проводимости (индекс ) и позитроном в позитронной зоне проводимости (индекс ) и, наконец, девятый представляет энергию взаимодействия позитрона позитронной зоны проводимости (индекс ) и дырками в валентной зоне (индекс ).

    Следовательно задача позитрон-экситонного комплекса заключается в решении уравнения Шредингера

(158)

    Приведем это решение в явном виде для случая одного электрона, позитрона и дырки. Волновые функции электрона в состоянии , позитрона в состоянии и дырки в состоянии можно получить из состояния, описывающего полностью заполненную валентную зону, последовательным действием операторов рождения на функцию заполненной зоны

(159)

Следует отметить, что в общем случае .

    Из выражения (159) следует, что электрон, дырка и позитрон, пролетая друг относительно друга, испытывают естественно взаимное рассеяние, в результате чего попадают во все возможные различные конечные состояния . Поэтому следует образовать сумму по всем состояниям электрона, позитрона и дырки. Исходя из этого соображения, подход к системе позитрон-экситонного комплекса будет основан на волновой функции

(160)

Теперь Гамильтониан (157) упрощается, т.к. отсутствуют члены, соответствующие взаимодействию электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне.

(161)

Оператор (161) разложим, как обычно, на две части: кинетическую энергию электрона, позитрона и дырки и взаимодействия между ними (при этом, чтобы опустить член в (161) сдвинем соответствующим образом энергию ).

(162)

    Учитывая явный вид в (161) и волновой функции (160), получаем

(163)

В свою очередь запишем правую часть выражения (158) в явном виде

(164)

С помощью фермиевских перестановочных соотношений можем значительно упростить выражение (164), перетащив все операторы уничтожения направо и учтя также, что действие на электронных, позитронных и дырочных операторов дает нуль. Поменяв индексы 3,2,4 местами (2 на 4, 3 на 2, и 4 на 3 – во втором члене (163), можем записать выражение (164) в виде

(165)

Далее

(166)

И, наконец

(167)

    Можно видеть, что в выражениях (164), (165)-(167) появились линейные комбинации волновых функций, которые имеют вид (159). Причем известно, что функции вида (159) взаимно ортогональны для различных векторов . Тогда уравнение (158), в левой части которого стоят выражения (163), (165)-(167) может быть удовлетворено, если равны между собой коэффициенты функций (160). Сравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений для коэффициентов

(168)

    Можно показать, что система уравнений (168) эквивалентна полностью обычному трехчастичному уравнению Шредингера, причем между электроном, позитроном и дыркой существует кулоновское взаимодействие. Упростим для этого матричные элементы, входящие в (168)

(169)

Используем в (169) для волновых функций в зонах явный вид блоховской волны

(170)

Разложим функции , зависящие от в ряд Тейлора по (то есть для малых ). Имеем в этом случае

(171)

    Далее делаем следующие предположения: во-первых, играющая заметную роль значения настолько малы, что из всего ряда Тейлора сохраним лишь первый член. Таким образом в фигурных скобках выражения (171) оставляем лишь член . Эта функция периодична с периодом решетки, однако внутри элементарной ячейки она может быстро осциллировать. Так мы приняли, что важны только малые значения (то есть – постоянная решетки), то экспоненциальные функции в (171) можно вычислить, усреднив его по отдельным элементарным ячейкам. Заметим, что блоховские функции должны быть нормированы в объеме на единицу. Таким образом, при усреднении появляется множитель . После этого выражение (171) запишем в виде

(172)

Вторым выражением во втором члене формулы (168) пренебрегаем, который описывает обменной взаимодействие.

Рассмотри далее матричный элемент в третьем члене выражения (168)

, (173)

где

(174)

    После преобразований, описанных выше, для выражения (169) получаем

(175)

Матричный элемент, входящий в четвертый член выражения (168), равен

(176)

Можно утверждать, что система уравнений (168) с упрощениями (172), (175) и (176) эквивалентна следующему трехчастичному уравнению

(177)

Для доказательства этого утверждения следует представить волновую функцию в виде

(178)

Умножим (168) на выражение

(179)

и просуммируем по .

Вначале рассмотрим члены, относящиеся к кинетической энергии

(180)

Так как можно представить в виде

, (181)

то (180) переходит в следующее выражение

(182)

Согласно (178) это выражение эквивалентно выражению

(183)

Часть, описывающая электрон-дырочное взаимодействие (168) с использованием (172) после умножения на (179) принимает вид

(184)

Теперь соберем вместе все экспоненциальные функции, содержащие , и воспользуемся соотношением

(185)

    Ввиду появления - функций интегрирование в (184) пропадает и выражение (184) переходит (при ) в выражение

(186)

Но это выражение тождественно совпадает с выражением

(187)

Аналогично получаем выражения, входящие в уравнение (177)

(188)

(189)

Заметим далее, что в поляризуемой среде закон Кулона модифицируется с учетом диэлектрической проницаемости. Следовательно, в выражении (177) в феноменологическом приближении надо заменить на . То обстоятельство, что в нашем рассмотрении не появилось, связано со значительным упрощением Гамильтониана, где мы пренебрегли виртуальными переходами.

    Тогда трехчастичное уравнение Шредингера с учетом вышесказанного запишется в виде

(190)

    Уравнение Шредингера представляет собой описание позитрон экситонного комплекса Ванье большого радиуса. Такого рода система является аналогом систем (комплексов) Уилера [9,10] (ионы позитрония). Он был открыт в блестящих экспериментах Миллса [11] относительно недавно. Обзоры теоретических расчетов такого рода систем был дан ранее в работах [12-20]. Сродство к позитрону (электрону) для таких систем составляет величины не менее 0,1 эВ, время жизни относительно двухквантовой аннигиляции – с.

    Заметим, что уравнение (190) для атома большого радиуса в кристалле принимает вид

(191)

Его решение подробно анализируется в монографиях по квантовой электродинамике (см., например, [8]) и в ряде конкретных работ [12-20]. Наряду с приближением (191) представляет большой интерес проблема атома малого радиуса в кристалле, которую рассмотрим ниже.

8. Модель Френкеля атома малого радиуса в кристалле

    В разделе 7 постулировалось утверждение о том, что расстояние между электроном, позитроном, дыркой велики, так что вполне разумным было разложение операторов поля и по блоховским функциям (волнам). В данном разделе рассмотрим противоположный случай, когда позитрон и электрон находятся на одном и том же атоме. При этом разложение будем проводить ьне блоховским волнам, а по атомным функциям, или по функциям Ванье, свойства которых обсуждались нами ранее. Так мы имеем две зоны – позитронную и электронную зону проводимости, то введем следующие функции Ванье

(позитронная зона проводимости), (192)

(электронная зона проводимости), (193)

где – радиус-вектор точки локализации частиц.

Разложение электронных и позитронных полевых операторов , и , по функциям Ванье записывется в виде

(194)

(195)

Операторы и рождают электрон и позитрон в электронной и позитронной зонах проводимости, а операторы и уничтожают их в тех же зонах соответственно.

    Так как функции Ванье представляют собой ортогональную систему функций, то согласно выше изложенному и удовлетворяют перестановочным соотношениям

, (196)

и

(197)

Теперь следует выразить оператор Гамильтона , как уже делали ранее в п. 7, через операторы рождения и уничтожения . Разложим на два члена – операторы кинетической энергии электрона и позитрона в поле заданного атома и – кулоновское взаимодействие между электроном и позитроном. Итак, получаем

(198)

Здесь использованы сокращенные обозначения

(199)

(200)

Если сделать предположение о том, что операторы в фигурных скобках (198) не приводят к переходам между электронной и позитронной зонам, то, преобразовывая соответствующим образом выражение

, (201)

получаем

, (202)

где

, (203)

Сделаем упрощения, согласно которым можно пренебречь перекрыванием волновых функций. В этом случае примем, что , а . При этом уравнение (202) может быть записано в виде

, (204)

где

, (205)

Таким образом, полный Гамильтониан френкелевской модели атома имеет вид

(206)

    Каждый член Гамильтониана имеет очень наглядный физический смысл: в первой сумме с членами один электрон в точке электронной зоны проводимости уничтожается, а в точке вновь рождается; во второй сумме с членами один позитрон в точке позитронной зоны проводимости уничтожается, а в точке вновь рождается. Эти части Гамильтониана, следовательно, описывают движение электрона (позитрона) и дырки.

    Третий член Гамильтониана (206) не описывает никакого переноса, позитрон остается в точке , а электрон в точке – . Этот член описывает кулоновское взаимодействие электрона и позитрона в атоме . Четвертый член с членами описывает уничтожение электронно-дырочной пары в точке и последующее рождение в точке или наоборот, т.е. описывает совместный перенос позитрона и электрона.

    Введем теперь явный вид функции состояния полностью заполненной валентной зоны . В точке рождается одновременно электрон и позитрон. В силу трансляционной симметрии нашей задачи должны провести суммирование по всем точкам локализации с множителем . Волновая функции таким образом запишется в виде

(207)

Здесь

(208)

есть оператор рождения локализованного в точке атома . Соответствующий оператор уничтожения атома есть

(209)

Выразим полный Гамильтониан (206) через операторы и . Стоящие в последнем члене операторы выражаются через оператор следующим образом

(210)

    Таким образом, выражение, описывающее уничтожение в точке и рождение его в точке описывается выражением

(211)

Теперь рассмотрим, какой вклад дает третий член в (206). Рассмотрим действие стоящих в нем операторов на локализованное позитрониевое состояние. Получаем

, (212)

т.е. при.

При использовании волновой функции (207) из третьего слагаемого (206) следует сохранить лишь те члены, для которых индексы и равны

(213)

Это выражение приводит лишь к изменению энергии локализованного состояния и не может приводить к переходам между различными точками в кристалле. Теперь рассмотрим два первых члена в (206). Рассмотрим действие типичных операторов из первой суммы на локализованной состояние

(214)

Учтем лишь члены с , так как в противном случае позитрон и электрон далеко уходят друг от друга. Следовательно полагаем

, (215)

, (216)

Тогда

(217)

(218)

Таким образом, выражение (206) может быть записано в виде

(219)

Здесь введены обозначения

(220)

Покажем теперь, что функция состояния (207) является решением соответствующего Гамильтониана (219) уравнения Шредингера, и определим собственные значения энергии этого уравнения. Так как

Тогда

(221)

Второй член в (221) преобразуем так

(222)

Таким образом

(223)

Если разложить по волновому вектору , то, как обычно получаем

(224)

    Таким образом мы рассмотрели состояния электронов, дырок, экситонов и атома малого и большого радиуса. На основании данного формализма возможно рассмотрение расчетных методов аннигиляционных характеристик этих состояний в различных средах (например, в ионных кристаллах и гидридах щелочных металлов).

Список литературы

1. PHYSICS WITH MANY POSITRONS”. INTERNATIONAL SCHOOL OF PHYSICS ENRICO FERMI. 7-17 July – VARENNA –ITALY. Directors: A. P. Mills, A. Dupasquier. 2009.
   
2. V.A.Fock // Zs. f. Phys. 1932. Vol.75. P.622.
3. Чжан Ли // Диссертация. Л.: ЛГУ, 1956.
4. Г. Хакен. Квантовополевая теория твердого тела. М.: ГИФМЛ, 1980.
5. Прокопьев Е.П. Введение в теорию позитронных процессов в полупроводниках и ионных кристаллах. М., 1979. 384 с. – Деп. в ЦНИИ “Электроника”. Р-2837. МРС ВИМИ “Техника, технология, экономика”. №27. 1980. Сер.”ЭР”
6. Прокопьев Е.П. Позитроны и позитроний в кристаллах. М., 1982. 138 с. – Деп. в ЦНИИ “Электроника”. Р-3475. МРС ВИМИ “Техника, технология, экономика”. №8. 1983. Сер.”ЭР”.
7. Прокопьев Е.П. Исследования позитронных процессов в кристаллах. М., 1982. 60 с. – Деп. в ЦНИИ”Электроника”. Р-3556. МРС ВИМИ “Техника, технология, экономика”. 1983. Сер.”ЭР”.
8. Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1969.
9. J.Wheeler // Ann. N. Y. Acad. Sci, 1946. Vol,48. P.219.
10.  Прокопьев Е.П. Комплексы Уилера в полупроводниках. – М., 1979. – 12 с. – Деп. в ЦНИИ “Электроника”. Р-2757. МРС ВИМИ “Техника, технология, экономика”. – № 28. – 1979. – Сер. “ЭР”.
11. Mills A.P. Observation of the Positronium Negative Ion. Phys. Rev. Letters. 1981. Vol. 46, Number 11. P.717-720.
12. Прокопьев Е.П., Кузнецов Ю.Н., Хашимов Ф.Р. Основы позитроники полупроводников. М.,1976. 343 с. – Деп. в ЦНИИ “Электроника”. Р-2073. РИ.77.06.3412.
13. Арефьев К.П., Воробьев С.А., Прокопьев Е.П. Позитроника в радиационном материаловедении ионных структур и полупроводников. М.: Энергоатомиздат, 1983. 88 с.
14. Е.П.Прокопьев, С.П.Тимошенков, В.И.Графутин, Г.Г.Мясищева, Ю.В.Фунтиков. Позитроника ионных кристаллов, полупроводников и металлов. М.: Ред.-изд. отдел МИЭТ (ТУ), 1999. 176 с.
15. В.И.Гольданский. Физическая химия позитронов и позитрония. М.: Наука, 1968.
16. Прокопьев Е.П. Об аномальных свойствах атома позитрония (Ps) в ионных кристаллах и полупроводниках // Физика твердого тела. 1977. Т.19. Вып.2. С.472-475.
17. Прокопьев Е.П. Позитроний и его свойства в полупроводниках и щелочно-галоидных кристаллах // Химия высоких энергий. 1978. Т.12. Вып.2. С.172-174.

1. Кузнецов Ю.Н., Прокопьев Е.П., Варисов А.З. Основы теории позитронных состояний в ионных кристаллах. – М., 1978. – 292 с. – Деп. в ЦНИИ “Электроника”, Р-2382. Сб. ВИМИ “Военная техника и экономика”. Сер. общетехническая. – № 14. – 1978.
2. Варисов А.З., Арефьев К.П., Воробьев А.А., Кузнецов Ю.Н., Прокопьев Е.П. Позитроны в конденсированных средах. – М., 1977. – 489 с. – Деп. в ЦНИИ “Электроника”. Р-2317. Сб. ВИМИ “Военная техника и экономика”. Сер. общетехническая. – № 9. – 1978.
3. Прокопьев Е.П. Исследования в области физики медленных позитронов. Позитронная аннигиляция – новый метод изучения строения вещества. – М., 1986. – 86 с. – Деп. в ЦНИИ “Электроника”. Р-4367. Сб. реф. НИОКР, обзоров, переводов и деп. рукописей. Сер. “ИМ”. – №12. – 1987.

УДК 539.21:539.189.2

Позитроны, позитроний, позитронные и позитрониевые комплексы в кристалле. ОБЗОР

II. Особенности их свойств в атмосфере фононов

Аннотация

В данной работе на примере ионных кристаллов показано, что поляризация решетки кристалла разноименно заряженными поляронами (атом позитрония (Ps)) вызывает не только изменение энергии связи позитрония, но и приводит к перенормировке эффективных масс электрона и позитрона. Это взаимодействие электрона и позитрона атома позитрония с оптическими фононами приводит к дополнительному отталкивающему взаимодействию помимо кулоновского притягивающего. При этом в атмосфере фононов кристалла возможно существование атома позитрония с большими и малыми радиусами.

Введение

К настоящему времени достигнут значительный прогресс в понимании процессов взаимодействия позитронов с кристаллами, особенно с ионными, полупроводниками и металлами [1-5]. В частности, использование диаграммной техники, использование диаграммной техники уже в первом порядке теории возмущений позволяет найти величину вероятности спонтанного и вынужденного испускания и поглощения фононов позитроном [4,5]. Вычисления дают также значения собственной энергии и перенормированной массы позитронного полярона [3-5].

В данной работе на примере ионных кристаллов показано, что поляризация решетки кристалла разноименно заряженными поляронами (атом позитрония) вызывает не только изменение энергии связи позитрония, но и приводит к перенормировке эффективных масс электрона и позитрона. При этом взаимодействие электрона и позитрона атома позитрония с оптическими фононами приводит к дополнительному отталкивающему взаимодействию помимо кулоновского отталкивающего.

Прежде всего следует учесть факт, что диффузионная длина смещений позитрония в ионном кристалле составляет несколько сотен постоянной решетки. При этом поляризация решетки кристалла оказывает заметное влияние на свойства позитрония в ионных кристаллах [3]. Следует отметить также, что задача аннигиляции атома позитрония в ионных кристаллах очень похожа на аналогичную двухчастичную задачу – экситон в ионных кристаллах [6-10]. Здесь используется для решения задачи позитрония формализм Хакена [11].

Исследование позитронных и позитрониевых состояний в кристалле рамках формализма Хакена

В предыдущей главе было установлено, что существуют стационарные состояния систем позитрон (атом Рs) – кристалл, так как характерные времена протекания позитронных процессов составляют 10^–16 с, ионных процессов – 10^–13 с, а самое короткое время жизни относительно аннигиляции равно примерно 10^-10 с. Причем позитрон и атом Рs находятся в тепловом равновесии с решеткой кристалла, т.е. они термализованы. В общем случае при облучении позитронами идеального кристалла образуются позитронные состояния следующего типа: электроны, позитроны, дырки, экситоны, атом Рs и комплексы различной природы [12]. Теория таких состояний в полупроводниках и ионных кристаллах анализировалась в рамках известных расчетных моделей квантовой физики твердого тела [1,2,11]. Удалось установить как условие стабилизации этих состояний в кристалле (например, атом Рs в идеальной кристаллической решетке), так и условие их деструкции (например, распад атома Рs при экранировании кулоновского взаимодействия между электроном и позитроном свободными носителями в полупроводниках). Теория этих состояний, однако, нуждается в более строгом обосновании и дальнейшем развитии. Наиболее эффективным методом описания свойств таких состояний является метод квантовополевой теории твердого тела [1,2,11]. Поэтому ниже в рамках этой теории дается описание свойств (эффективные массы, выражение для энергий и т.п.) позитронных состояний в идеальных кристаллах.

2. Общий подход

Изложим метод вторичного квантования для электронов и позитронов в твердом теле. Согласно [11], можем выписать выражение для одночастичных электронных и позитронных состояний в представлении вторичного квантования

.    (1)

Здесь операторы и a⁺ являются операторами рождения и определены в [1,2,11]; С_m – коэффициент разложения, причем ; Ф₀ – волновая функция вакуумного состояния; – функция, удовлетворяющая общему одночастичному уравнению Шредингера

.    (2.)

Аналогично может быть рассмотрено общее состояние двух частиц с координатами и

.    (3)

Причем, как и выше,

.    (4)

Выбирая стандартный гамильтониан, получаем уравнение Шредингера для двух частиц

.    (5)

Эти результаты могут быть обобщены на случай многих частиц: n электронов и m позитронов.

3. Проблема многих электронов и позитронов в твердом теле

Проблема многих электронов и позитронов в рамках метода вторичного квантования может быть сформирована на основании следующей картины: электроны и позитроны движутся в строго периодическом поле решетки, ионы которой имеют бесконечно большие массы и находятся в состоянии покоя. Электроны внутренних атомных оболочек учитываются в целом тем, что они вместе с положительными атомными ядрами создают эффективный периодический решеточный потенциал V. Eстественно, что позитроны в основном движутся по периферии атомов кристалла в силу электростатического отталкивания ядрами. Оператор Гамильтона для электронов и позитронов состоит из четырех составляющих: кинетической энергии электронов (позитронов), кулоновской энергии взаимодействия электронов (позитронов) с ядрами, потенциальной энергии взаимодействия электронов (позитронов) друг с другом и кулоновской энергии взаимодействия электронов с позитронами. Cогласно [1,2,11], можно записать уравнение Шредингера для электронной и позитронной подсистем через операторы поля y⁺(), , c⁺(), c(), удовлетворяющие ферми-перестановочным соотношениям [11]. Эти операторы разлагаются по собственным функциям и cледующим образом:

; ;    (6)

; .    (7)

Отметим, что операторы поля и также удовлетворяют ферми-перестановочным соотношениям. Считаем, как обычно, что собственные функции , образует полный набор ортонормированных функций, но при этом их следует минимизировать так, чтобы они являлись решениями уравнения Шредингера. Для этого используется метод Хартри – Фока [130, 190, 196].

Создадим некоторое состояние Ф электронов и позитронов кристалла. Для этого расположим электроны и позитроны один за другим по состояниям к_–1, к_–2, …, к_–n, к₊₁, к₊₂, …, к_+m. Таким образом,

.    (8)

Используем волновую функцию (2.8) для построения среднего значения оператора Гамильтона

H  =  H_– + H₊    (9)

с дополнительным условием, что функция состояния нормирована.
Далее потребуем условия

    (10)

и вычислим его как функционал и c дополнительным
условием

.    (11)

Затем определим и с помощью варьирования, что позволит сразу же получить уравнение Хартри – Фока для одноэлектронных и однопозитронных волновых функций кристалла

;    (12)

.    (13)

Здесь – эффективные хартри-фоковские потенциалы, включающие все виды взаимодействий, в общем случае являются периодическими с периодом решетки кристалла.

Ранее никак не уточнялось, насколько заполнены получившиеся электронные и позитронные зоны. Приведенный формализм может быть применен для случая полностью заполненной валентной зоны и соседних электронных и позитронных зон проводимости с одним электроном и одним позитроном. Имеем для функции избыточного электрона

,    (14)

а для функции избыточного позитрона

, ,    (15)

где L_–, L₊, v – индексы, относящиеся к электронным и позитронным зонам проводимости и валентной зоне соответственно. Принимаем, что

.    (16)

Далее, согласно [190, 196], легко рассмотреть применение теории Блоха к системе электронов и позитронов в кристаллической решетке и дать обоснование МЭМ, позволяющие записать полные энергии

    + (члены более высокого порядка, которыми пренебрегаем).    (17)

Здесь – эффективные массы электрона или позитрона. С учетом сдвига по энергии Е₀ уравнение Шредингера в блоховском потенциале W_± (x) записывается в виде

.    (18)

Решение уравнения (18) для позитрона удобнее всего анализировать в приближении Ванье [1,2,11], позволяющем описывать локализацию позитрона в окрестности точки на протяжении примерно постоянной решетки. Важным свойством функций Ванье является их ортогональность, т.е. функции Ванье, локализованные в точках l и l^¢ или принадлежащие различным значениям m и m^¢, взаимно ортогональны

.    (19)

4. Электроны, позитроны и дырки в идеальном полупроводниковом кристалле

Формализм вторичного квантования позволяет определить электрон, позитрон и дырку как квазичастицы с эффективными массами m_–, m₊, m_v соответственно. Для этого рассмотрим взаимодействие между электронами, дырками и позитронами на примере полупроводникового кристалла. Исследуем вопрос о форме эффективных взаимодействий при наличии удаленных из валентной зоны в зону проводимости некоторых электронов (т.е. создание в валентной зоне нескольких дырок). Причем не обязательно число дырок равно числу электронов в зоне проводимости. Их число может быть значительно больше в результате ионизации мелких примесных центров даже при комнатной температуре. Позитроны же вводятся в кристаллы, например, из b⁺-радиоактивного источника (Na²², Cu⁶⁴ и т.д.) и образуют позитронную зону проводимости. Система такого типа описывается уравнением Шредингера НФ = EФ. Оператор Гамильтона Н, как и ранее, записываем через операторы поля и которые для рассмотрения состояний электронов в валентной зоне v, электронов и позитронов в зоне проводимости разлагаются по собственным функциям валентной зоны и зоны проводимости .

Вводим операторы рождения и уничтожения
дырок, электронов и позитронов соответственно. Из соотношений (2.14), (2.15) и введенных операторов рождения и уничтожения квазичастиц следует, что дырка в валентной зоне не полностью тождественна позитрону как реальной частице. Согласно проведенным расчетам [12,13], оператор Гамильтона

,    (20)

где и – операторы, описывающие взаимодействие лептонов в зоне проводимости и взаимодействие лептонов зоны проводимости и валентной зоны. В свою очередь

;    (21)

.    (22)

Здесь - взаимодействие электронов в зоне проводимости; - взаимодействие электронов с позитронами; – взаимодействие дырок в валентной зоне; – взаимодействие дырок валентной зоны и позитронов в позитронной зоне проводимости.

Таким образом, оператор Гамильтона для электронов, дырок и позитронов в кристалле может быть выбран в виде

H = H₀ + H_вз = Н_эл + Н_д + Н_поз + Н_эл-эл + Н_эл-д +     + Н_поз-д + Н_эл-поз + Н_д-д + W_зап,    (23)

где W_зап – энергия валентной зоны.

В работах [1,2,11] были получены выражения для H_ij, входящие в гамильтониан (23), через операторы рождения и уничтожения электронов, дырок и позитрона и матричные элементы энергий взаимодействия между соответствующими зонами. Выражения для энергий основного состояния электронов, позитрона и дырок для случая их нахождения вблизи краев зон записываются в виде

;    (24)

.    (25)

Сравнение (2.24) и (2.25) четко выявляет различие между позитроном и дыркой.

5. Проблема экситона, атома Рs и комплексов Уилера различной природы (позитрон-экситонные комплексы и ионы атома Рs)

С учетом приведенной выше многочастичной модели рассмотрим проблему экситонов, атома Рs и позитрон-экситонных комплексов [14,15]. Задача для общего случая позитрон-экситонного комплекса заключается опять-таки в решении уравнения Шредингера НФ = ЕФ, где гамильтониан Н описывается выражением (23).

Рассмотрим уравнение (23) для случая одного электрона, одного позитрона и одной дырки. Волновые функции электронов в состоянии k_–1, позитрона в состоянии k₊₁ и дырки в состоянии k_–2 можно получить из состояния, описывающего полностью заполненную валентную зону, последовательным действием операторов рождения , и на функцию валентной зоны

.    (26)

Из выражения (26) следует, что электрон, дырка и позитрон, пролетая друг относительно друга, испытывают взаимное рассеяние, в результате чего попадают в различные конечные состояния ,. Поэтому следует образовать функцию по всем состояниям электрона, позитрона и дырки. Исходя из этого состояния, волновая функция позитрон-экситонного комплекса имеет вид:

.    (27)

Гамильтониан трехчастичной системы с учетом сдвига по энергии с тем, чтобы опустить W_зап [1,2,11], состоит из выражения для кинетической энергии электрона, позитрона и дырки и взаимодействия между ними

H_общ  =  Н_кин + Н_эл-д + Н_эл-поз + Н_поз-д.    (28)

Действуя оператором Н_общ на функцию Ф и выполняя соответствующие преобразования и упрощения, получаем уравнение Шредингера для позитрон-экситонного комплекса

.    (29)

Позитронно-экситонный комплекс (своеобразное соединение Уилера) является аналогом классических полиэлектронных систем Уилера е^–е⁺е^– или е⁺е^–е⁺ (ионы позитрония) [16, 17]. Он открыт сравнительно недавно Миллсом [18] в результате изящных экспериментов. Сродство к позитрону (электрону) атома Рs для таких комплексов составляет величину не менее 0,1 эВ, а время жизни относительно аннигиляции, согласно расчетам Ферранте [17], ровно t_2g = 5,02×10^–10 с. Концепция позитрон-экситонного комплекса [19,20] неоднократно использовалась для объяснения природы позитронной аннигиляции в ионных кристаллах и полупроводниках. Отметим, что из записанного выше трехчастичного уравнения (28) позитрон-экситонного комплекса легко получить уравнение для атома Рs большого радиуса и экситона Ванье в кристалле.

Ранее постулировалось утверждение о том, что расстояние между электроном, позитроном и дыркой велико, следовательно, вполне разумным является разложение операторов поля y⁺(x) и y(x) по блоховским функциям. Можно, однако, рассмотреть и противоположный случай, когда электрон и позитрон находятся на одном и том же атоме – атом Рs малого радиуса или позитроний Френкеля [1,2]. При этом разложение лучше всего проводить по функциям Ванье. Волновая функция Ванье позитрония Френкеля записывается в виде

.    (30)

Здесь – оператор рождения локализованного в точке атома Ps. Разумеется, оператор его уничтожения есть . Гамильтониан позитрония Френкеля при помощи этих операторов запишется в виде

    .    (31)

Действуя этим оператором на волновую функцию Ф и проводя соответствующие упрощения [1,2], получаем выражение для энергии позитрония Френкеля

,    (32)

где - волновой вектор позитрония; . Выражение (31) представляет собой закон дисперсии для френкелевской позитрониевой зоны в кристалле [1,2].

6.
Взаимодействие позитронов и атома Рs с фононами кристалла в рамках методов

вторичного квантования и функций Грина

По методу вторичного квантования в [1,2,11] было учтено взаимодействие позитронов и атома Рs с фононами кристалла. Для этого в рамках нестационарной теории возмущений в представлении взаимодействия рассмотрены процессы cпонтанного и вынужденного испускания и поглощения фононов позитроном в кристалле.

Квантованный гамильтониан Фрелиха системы записывается, как обычно [1,2,11], в виде суммы Н = Н₀ + Н_вз, где Н₀ – гамильтониан невозмущенной задачи; Н_вз рассматривается как малое возмущение.

Диаграммная техника первого порядка теории возмущений позволяет вычислить вероятность спонтанного и вынужденного испускания и поглощения фононов позитроном. Расчеты же с использованием диаграммной техники второго порядка теории возмущений позволяют найти значения собственной энергии и перенормированной массы позитрона в кристалле: где d – сдвиг по энергии в единицах массы; – зонная эффективная масса.

Использование теоремы о точной форме решения для взаимодействия позитрона с колебаниями решетки стационарного уравнения Шредингера НФ = ЕФ в полярных кристаллах позволяет получить выражение для энергии позитронного полярона Фрелиха [1,2,11]:

.    (33)

Откуда следует, что собственная энергия Е₀ и перенормированная масса равны соответственно

;    (34)

,    (35)

где a – константа связи.

Для расчетов позитронных процессов в кристаллах был использован метод функций Грина [1]. Показано, что функция Грина позитрона имеет стандартный вид

,    (36)

и является функцией и e (здесь e имеет размерность частоты).

Рассмотрим функцию (36) для фиксированного позитрона, но переменного e. Так как знаменатель в – комплексная величина, то эта функция отображается на комплексной e-плоскости. Эта функция имеет на комплексной плоскости один полюс, действительная координата которого равна e, а мнимая – обратному значению времени жизни. Отсюда приходим к основному понятию: полюс определяет энергию и время жизни позитрона (как квазичастицы) или его взаимодействие с кристаллом (окружением).

Чрезвычайно интересно применение метода функций Грина к проблеме многих электронов и позитронов в кристалле, развитое в [1].

7. Теория атома Рs в полярных кристаллах. Учет взаимодействия с фононами

Ниже показано, что поляризация решетки ионного (полярного) кристалла, не только вызывает изменение собственной энергии и перенормировку масс электрона и позитрона, но и создает дополнительное отталкивающее взаимодействие между электроном и позитроном [1].

Исходный гамильтониан атома Рs, учитывающий взаимодействие электрона и позитрона с колебаниями решетки, записывается в виде

H  =  Н_эл + Н_поз + Н_ph + H_вз1 + Н_вз2 +Н_эл-поз.    (37)

Здесь Н_эл и Н_поз – операторы Гамильтона свободных электрона и позитрона,

,    (38)

причем в общем случае .

Оператор Н_ph описывает газ фононов (колебания решетки)

,    (39)

где и – операторы испускания (рождения) и поглощения фононов соответственно; w – частота продольных колебаний; – волновой вектор фонона.

Члены, отвечающие взаимодействию электрона и позитрона с фононами, имеют вид

, i = 1, 2.    (40)

Гамильтониан

    (41)

где – оптическая диэлектрическая проницаемость.

Задача эффективного взаимодействия электрона с позитроном (т.е. поляроном) в изложенных выше приближениях была решена методом Хакена [3-5,11]. В частности, для полной энергии имеем

.    (42)

Здесь e₀ – статическая диэлектрическая проницаемость; ;

; .    (43)

Из анализа выражения для полной энергии (42) следует, что для атома Рs, так же как и для экситонов, в экспериментах можно установить существование перехода от кулоновского взаимодействия с e_¥ при малых радиусах атома Рs к взаимодействию с e₀ при больших радиусах атома Ps.

Совершим предельный переход, т.е. полагая , получаем выражение для полной энергии позитрония большого радиуса

(44)

И соответственно для кинетической энергии электрона и позитрона

, (45)

, (46)

т.е. у электрона и позитрона, согласно Хакену [11], появляется перенормированные поляронные массы и и соответственно собственные энергии и , при этом (см. также (35)) .

Напротив, при главный вклад в дают члены

(47)

Сравнивая выражения (44), (45), (46) и (47), видим, что для позитрония, так же как и для экситона по Хакену [11], можно установить существование перехода от чисто кулоновского взаимодействия с при малых радиусах позитрония к взаимодействию с при больших расстояниях между электроном и позитроном. В последнем случае можно говорить о существовании квазипозитрония большого радиуса и о наличии перехода в некоторых случаях от квазипозитрония к обычному позитронию. Пользуясь найденными значениями перенормированных масс, путем простых действий можно легко найти характеристики позитрония как большого, так и малого радиуса соответственно. В этом направлении следует провести тщательные экспериментальные исследования.

Список литературы

1. Прокопьев Е.П. Исследования позитронных процессов в кристаллах. М., 1982. 60 с. – Деп. в ЦНИИ”Электроника”. Р-3556. МРС ВИМИ “Техника, технология, экономика”. 1983. Сер.”ЭР”.
2. Прокопьев Е.П. Позитроны и позитроний в кристаллах. М., 1982. 138 с. – Деп. в ЦНИИ “Электроника”. Р-3475. МРС ВИМИ “Техника, технология, экономика”. №8. 1983. Сер.”ЭР”.
3. Прокопьев Е.П., Урбанович С.И. Позитроний в газе фононов // Известия АН БССР. Серия физико-математических наук. 1987. №5. С.92-94.
4. Е.П.Светлов-Прокопьев. Динамика позитронов в идеальных кристаллах. 1. Нестационарная теория возмущений (первый порядок). Подвижность и дрейф позитронов в электрическом поле. Труды XVII Международного совещания “Радиационная физика твердого тела”. (Севастополь, 9 – 14 июля 2007 г.), под редакцией заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., проф. Бондаренко Г.Г. М.: ГНУ «НИИ ПМТ», 2007 г., C.625-636. http://www.niipmt.ru/index.php?p=6
5. Е.П.Светлов-Прокопьев. Динамика позитронов в идеальных кристаллах. 2. Нестационарная теория возмущений второго порядка и более высших порядков. Собственная энергия и перенормировка массы позитрона. Труды XVII Международного совещания “Радиационная физика твердого тела”. (Севастополь, 9 – 14 июля 2007 г.), под редакцией заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., проф. Бондаренко Г.Г. М.: ГНУ «НИИ ПМТ», 2007 г., C. 637-644. http://www.niipmt.ru/index.php?p=6
6. Я.И.Френкель. Избранные труды. Т.2. М.: Наука, 1958.
7. Р.Нокс. Теория экситонов. М: Мир, 1966.
8. В.М.Агранович. Теория экситонов. М: Наука, 1968.
9. В.М.Агранович, В.Л.Гинзбург. Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория экситонов. М: Наука, 1979.
10. Е.П.Светлов-Прокопьев. Исследование свойств атома позитрония в кристаллах.Труды XVIII Международного совещания “Радиационная физика твердого тела”. (Севастополь, 7 – 12 июля 2008 г.), под редакцией заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., проф. Бондаренко Г.Г. М.: ГНУ «НИИ ПМТ», 2008 г., C.?. http://www.niipmt.ru/index.php?p=6
11. Хакен Х. Квантовая теория твердого тела. М.: Наука, 1982. 262 с.
12. Прокопьев Е.П. Новые представления об аннигиляции позитронов и позитронных состояниях в полупроводниках // Химия высоких энергий. – 1994. – Т. 28, № 5. – С. 426 – 428.
13. Прокопьев Е.П. Введение в теорию позитронных процессов в полупроводниках и ионных кристаллах. – М., 1979. – 384 с. – Деп. в ЦНИИ “Электроника”. Р-2837. МРС ВИМИ “Техника, технология, экономика”. – № 27. – 1980. – Сер. “ЭР”.
    
14. Прокопьев Е.П. Комплексы Уилера в полупроводниках. – М., 1979. – 12 с. – Деп. в ЦНИИ “Электроника”. Р-2757. МРС ВИМИ “Техника, технология, экономика”. – № 28. – 1979. – Сер. “ЭР”.
    
15. Арефьев К.П., Прокопьев Е.П., Нурмагамбетов С.Б. Комплексы Уилера в кристаллах // Известия вузов. Физика. – 1981. – № 4.
16. Wheeler J.A. Polyelectron systems // Ann. N.Y. Acad. Sci. – 1946. – Vol. 48, № 1. – P. 219 – 226.
17. Ferrante G. Annihilation from Positronium Negative Ion e^–e⁺e^– // Phys. Rev. – 1968. – Vol. 170, № 1. – P. 76 -
    80.
    
18. Mills A.P., Jr. // Phys. Rev. Letters- 1981. – Vol. 46, № 11. – P. 717.
    
19. Прокопьев Е.П. Аннигиляция позитронов и комплексы Уилера в полупроводниках // Химия высоких энергий. – 1995. – Т. 29, № 5. С. 394 – 396.
20. Арефьев К.П., Воробьев С.А., Прокопьев Е.П. Позитроника в радиационном материаловедении ионных структур и полупроводников. – М.: Энергоатомиздат, 1983. – 88 с.

Позитроны, позитроний, позитронные и позитрониевые комплексы в кристалле. ОБЗОР

III. Комплексы Уилера в полупроводниках

Аннотация

    Рассмотрены процессы взаимодействия позитронов () и позитрония () со свободными носителями (электронами () и дырками (), нейтральными () и заряженными () донорами (), акцепторами () и экситонами (Ex) в полупроводниках. Показано, что эти процессы могут приводить к образованию комплексов Уиллера состава (), () и более сложных комплексов , и [Ps – Ex], [Ps – Ex^±], [Psh – Ex], [Pse^– – Ex], [Psh – Ex^±] и [Pse^– – Ex^±]. Расчеты основных характеристик аннигиляционных спектров комплексов Уилера показали, что времена жизни позитронов несколько “удлиняются”, а полуширины кривых УРАФ сужаются, что дает возможность наблюдать их в экспериментах.

Экспериментальные данные по исследованию позитронных временных спектров полупроводников (см., например, [1-3]) показали, что в этих объектах наблюдается, как правило, лишь одно короткое время жизни позитронов с интенсивностью , близкой к 100%. Причем отмечалось, что существенной разницы во временах жизни для собственного полупроводника типа, полупроводников и типов не наблюдалось. Впервые разницу в указанных выше различных типах полупроводников удалось установить в [4]. В этой работе были исследованы временные аннигиляционные спектры высокоомных образцов кремния типа и низкоомных образцов кремния и типов, легированных фосфором и бором. Было показано, что во всех образцах наблюдается лишь одна компонента со временем жизни в пределах от 0,233 нс (собственный полупроводник типа) до 0,245 нс (легированный кремний). Из данных этой работы следовало также, что различие в практически не наблюдалось между кремнием и типов. Кроме того величины в пределах экспериментальной погрешности совпадали для кристаллов кремния, полученных методом зонной плавки и по методу Чохральского. Величины времен жизни в кремнии с собственной проводимостью (как для метода безтигельной зонной плавки, так и для метода Чохральского) были меньшими, чем в легированных образцах. Это изменение в величинах равно примерно 6 ± 9 % и лежит за пределами экспериментальной погрешности (порядка 2 %).

Этот факт говорит о том, что мелкие примесные центры донорного или акцепторного типа в полупроводниках, являющихся «поставщиками» электронов в зоне проводимости или дырок в валентной зоне, при достаточно высоких концентрациях оказывают существенное влияние на аннигиляционные временные спектры, а следовательно и на свойства квазипозитронных и квазипозитрониевых состояний [1-3]. Поэтому представляет интерес рассмотреть вопрос о процессах взаимодействия квазипозитронов и квази – [1-3,5] ( – химический символ атома позитрония [6]) с носителями и другими системами в полупроводниках и основные свойства образующихся квазипозитронных и квазипозитрониевых состояний.

    Рассмотрим два предельных случая. Первый, когда тепловая энергия позитрона , где – энергия ионизации мелких доноров либо мелких акцепторов , – постоянная Больцмана, – температура. Рассмотрим процессы, в которых участвуют свободные термализованные позитроны и квази- в этом случае.

В этом случае свободные квазипозитроны естественно взаимодействуют с валентными электронами и свободными носителями (электронами в полупроводниках типа и дырками в полупроводниках типа): а) ; б) (двухквантовая аннигиляция при столкновениях квазичастиц) и в) процесс «» – аннигиляции квази- на валентных электронах, рассмотренный в [7-9].

Сечения процессов образования квази- и аннигиляции позитронов при столкновениях со свободными электронами можно оценить по методу работы [10]. Например, при энергии позитрона равной 13,6 эВ вероятность образования квази- уже в 43 раза больше вероятности аннигиляции при свободных столкновениях. В свою очередь оценки [1] показали, что сечение образования квази- и сечение аннигиляции на валентных электронах также сопоставимы с результатами [10].

В полупроводниках типа возможен процесс взаимодействия квазипозитрона с дырками в валентной зоне, причем взаимодействие этих квазичастиц естественно будет сводиться лишь к упругому рассеянию.

В полупроводниках типа квази- может участвовать в следущих основных процессах: а) (орто-пара конверсия квази-, рассмотренная в [11]; б) (отрицательный ион квази-, существование и свойства которого были впервые предсказаны Уилером [12]); в) (процесс «» – аннигиляции квази- на свободных носителях и валентных электронах).

В полупроводниках типа возможно также следующих процессов: а) (своеобразный комплекс Уиллера [12], состоящий из электрона, позитрона и дырки); б) . Вопрос орто-пара-конверсии на дырках здесь не рассматривается в силу принципа тождественности этих квазичастиц(позитрона и дырки) в кристалле. Действительно, заряд позитрона и дырки одинаков, но эффективные скалярные массы не равны. Интересно отметить, что в образцах типа возможен процесс «оптической аннигиляции по схеме: в) оптические кванты и г). Однако, по-видимому, вероятность этого процесса очень мала по сравнению с процессом «» – аннигиляции квази- на свободных носителях и валентных электронах кристалла.

Существование комплексов Уилера и при комнатных температурах вполне реально, ибо энергии их связей составляют величины порядка несколько десятых долей эВ [12]. Их времена жизни в отношении аннигиляционного распада с учетом процесса «» – аннигиляции близки короткому времени жизни , наблюдаемому в полупроводниках [1-3].

В другом предельном случае в полупроводниках и типа наряду с процессами рассеяния, «» – аннигиляции и орто-пара конверсии возможные процессы захвата квазипозитронов и квази- нейтральными и заряженными донорными и акцепторными состояниями с образованием сложных комплексов Уилера: и , где – символ акцептора, а – донора.

Таким образом, все квазпозитронные и квазипозитрониевые состояния , а также комплексы Уиллера могут быть разбиты на две основные группы: а)делокализованные состояния и б) локализованные состояния. В табл.1 приведена условная классификация этих состояний и их аналоги, как это, например, было сделано Лампертом [13] для комплексов, включающих в свой состав электрон дырки и экситоны .

Таблица 1

Возможные типы позитронных и позитрониевых состояний и комплексы Уилера в полупроводниках

Изложим ниже основные положения теории позитронных состояний в дефектных кристаллах полупроводников. Вначале рассмотрим полупроводники с мелкими примесными центрами с достаточно идеальной кристаллической решеткой (т.е. реальные полупроводники) [1-3, 5, 14-16]. В таких полупроводниках наибольший интерес представляет взаимодействие позитронов е⁺ и атома Ps со свободными носителями, локализованными и делокализованными комплексами, такими как нейтральные доноры ; акцепторы ; экситоны Ex; заряженные доноры и акцепторы ; ионы экситона ; биэкситоны ; , связанные с , , , и т.д. В этом случае могут образовываться довольно своеобразные комплексы Уилера [2, 17], включающие в свой состав e⁺ и . Из аннигиляционных характеристик таких комплексов также можно, в принципе, получить полезную информацию об электронно-дырочных комплексах в полупроводниках. Приведем основные сведения о делокализованных комплексах Уилера [2, 17].

Комплексы [Pse^–] и [Psh]. Заметим, что и h – символы носителей – электронов и дырок в полупроводниках соответственно. Для оценок свойств этих комплексов можно принять, что , т.е. . Здесь и далее - эффективные массы электрона, позитрона и дырки соответственно. Расчеты дают [5,13] для системы [Pse^–] энергию диссоциации относительно распада на и Ps эВ. Время жизни этого комплекса относительно двухквантового аннигиляционного распада по оценкам [1-3] составляет величину с. Для комплекса [Psh] могут встретиться случаи: а) >> 1 и >>
(эта система похожа по своим свойствам на квазиатомную систему атом водорода плюс позитрон () [15]; энергия диссоциации такой системы составляет величину  эВ); б) << 1 и << 1 (в этом случае можно рассматривать движение легкой дырки в поле неподвижного диполя конечной длины [18-20]; энергия диссоциации такой системы не превышает величину нескольких сотых долей электрон-вольта). Вероятнее всего в обоих случаях время жизни комплекса [Psh] относительно самоаннигиляции не превышает величину порядка с [15].

Комплексы Уилера [Ps – Ex], [Ps – Ex^±], [Psh – Ex], [Pse^– – Ex], [Psh – Ex^±] и [Pse^– – Ex^±]. Существование комплексов Уилера такого типа возможно в интервале температур в полупроводниках n- и p-типа ( и др.) с высокой концентрацией экситонов. Система [Ps – Ex]
является аналогом как молекулы () [17,21,22], так и биэкситона (см., например, [23-25]. В простейшем приближении . Этот комплекс можно рассматривать как модель из атомов Ps, в которой каждый атом действует, как электрический диполь конечной длины, что приводит к притяжению между диполями [21]. В этом приближении энергия связи такой системы составляет величину 0,55 эВ, а межатомное расстояние –
. Вариационные расчеты по Оре [26], Хиллерасу и Оре [27] дают энергии связи 0,135 и 0,11 эВ соответственно, а Шармы [22] – 0,948 эВ. Заметим, что время жизни комплекса относительно самоаннигиляции в этом случае также не должно превышать величину порядка 0,5 нс [1]. Таким образом, в этом приближении можно с полной уверенностью говорить о возможности существования комплекса [Ps – Ex] в полупроводниках (по аналогии с работой [23] для случая ).

Рассмотрим некоторые другие случаи, которые могут встретиться для условий существования комплексов [Ps – Ex]. Это случай ~
и >>
, >>
. Такого рода системы ближе по своим свойствам к молекуле водорода . В другом предельном случае >>
и >>
имеем аналогию с молекулой антиводорода . Ее характеристики примерно такие же, как и молекулы . Общий случай для комплекса [Ps – Ex]
может быть рассмотрен вариационным методом, как это делалось для [24,25]. Расчеты экситонных молекул для случаев анизотропных “легких” электронных масс и “тяжелых” дырок с анизотропной эффективной массой показали возможность существования этих молекул, а следовательно, по аналогии с ними комплексов Уилера [Ps – Ex]
для различных величин и .

Приведем основные результаты для комплексов Уилера . Имея значения общей энергии системы для различных значений , дадим общий анализ процессов связывания и распада комплексов Уиллера этого типа. В частности, энергия связи комплекса в отношении распада на и будет равна

, (1)

где – энергия связи атома позитрония и экситона.

Расчеты энергий связи комплексов Уилера [Ps – Ex^±], [Psh – Ex], [Pse^– – Ex], [Psh – Ex^±] и [Pse^– – Ex^±] еще более сложны по сравнению с расчетами комплексов [Ps – Ex]. Однако асимптотические случаи >> 1 и >> 1 либо, наоборот, >> 1 и >> 1 показывают, что такие образования можно рассматривать как квазимолекулярные системы, подобные . Сопоставление свойств таких квазимолекулярных систем с обычными молекулярными ионами дает основание полагать, что в некоторых случаях такие системы могут быть динамически стабильными. Далее рассмотрим некоторые локализованные комплексы в полупроводниках, включающие в свой состав позитроны и атом Ps.

Мелкие акцепторные позитронные состояния. Позитроны при низких температурах могут захватываться на мелкие акцепторные уровни. Такого рода состояния обычно рассматриваются в приближении метода эффективной массы (МЭМ) с поправками на ход потенциала в непосредственной близости от примесного центра. В этом случае энергия связи позитрона не превышает, как правило, нескольких сотых долей электрон-вольта.

Комплексы Уилера или , или , и . Оценим основные параметры комплексов Уилера такого типа в приближении МЭМ. Вначале проведем оценки для случая комплексов и . Как было показано [17], энергия связи этих комплексов зависит от параметра и описывается выражением

    .    (2)

Зная экспериментальное значение (а.е. МЭМ), можно легко построить зависимость от . Полученные в экспериментах значения энергий связи систем для ряда полупроводников и расходятся в области значений энергий, вычисленных по формуле (2) для систем Уилера. При этом из оценок нижней и верхней границ энергий связи критическая величина определяется неравенством .

Выражение для энергий систем и в приближении МЭМ определяется следующим образом:

    .    (3)

Отсюда легко получить зависимость от , если использовать экспериментальные значения (а.е. МЭМ). Условия стабильности этого типа комплексов выражаются неравенством . Сопоставление расчетных значений Е по формуле (4.8) и экспериментальных значений энергий для комплексов , или , решает положительным образом возможность их существования в полупроводниках, по крайней мере, при низких температурах. Например, в при @ энергия связи комплексов мэВ, а мэВ. Дальнейшее усложнение комплексов Уилера вида приводит, по существу, к необходимости расчета аннигиляции позитронов в конденсированных экситонных каплях (Л.В.Келдыш, 1971 г.) [28, 29].

Расчеты основных характеристик аннигиляционных спектров комплексов Уилера показали [2,17], что времена жизни позитронов несколько “удлиняются”, а полуширины кривых УРАФ сужаются. Однако эти эффекты не столь значительны и поэтому экспериментальное наблюдение комплексов Уилера представляет собой довольно трудную задачу, так как все измерения следует проводить при температурах жидкого гелия и на установках с максимальным разрешением. Все же проблема комплексов Уилера в полупроводниках и других веществах настолько важна, что будущие эксперименты в этом направлении неизбежны.

Заключение.     Рассмотрены два предельных случая взаимодействия позитронов и позитрония со свободными носителями в полупроводниках. Первый, когда тепловая энергия позитрона , где – энергия ионизации мелких доноров либо мелких акцепторов , – постоянная Больцмана, – температура. В этом случае свободные позитроны естественно взаимодействуют с валентными электронами и свободными носителями (электронами в полупроводниках типа и дырками в полупроводниках типа): а) ; б) (двухквантовая аннигиляция при столкновениях квазичастиц) и в) процесс «» – аннигиляции позитрония () на валентных электронах. В полупроводниках типа возможен процесс взаимодействия квазипозитрона с дырками в валентной зоне, причем взаимодействие этих квазичастиц естественно будет сводиться лишь к упругому рассеянию. В полупроводниках типа участвовать в следущих основных процессах: а) (орто-пара конверсия ; б) (отрицательный ион , существование и свойства которого были впервые предсказаны Уилером); в) (процесс «» – аннигиляции квази- на свободных носителях и валентных электронах). В полупроводниках типа возможно также следующих процессов: а) (своеобразный комплекс Уиллера, состоящий из электрона, позитрона и дырки). Существование комплексов Уилера и при комнатных температурах вполне реально, ибо энергии их связей составляют величины порядка несколько десятых долей эВ. В другом предельном случае в полупроводниках и типа наряду с процессами рассеяния, «» – аннигиляции и орто-пара конверсии возможные процессы захвата позитронов и нейтральными и заряженными донорами и акцепторами с образованием сложных комплексов Уилера: и , где – символ акцептора, а – донора. Таким образом, все квазпозитронные и квазипозитрониевые состояния , а также комплексы Уиллера могут быть разбиты на две основные группы: а)делокализованные состояния и б) локализованные состояния. Наряду с этим возможно существование комплексов Уилера [Ps – Ex], [Ps – Ex^±], [Psh – Ex], [Pse^– – Ex], [Psh – Ex^±] и [Pse^– – Ex^±], где Ex – символ экситона. Существование комплексов Уилера такого типа возможно в интервале температур в полупроводниках n- и p-типа ( и др.) с высокой концентрацией экситонов. Расчеты основных характеристик аннигиляционных спектров комплексов Уилера показали, что времена жизни позитронов несколько “удлиняются”, а полуширины кривых УРАФ сужаются, что дает возможность наблюдать их в экспериментах.

Список литературы

1. Прокопьев Е.П., Кузнецов Ю.Н., Хашимов Ф.Р. Основы позитроники полупроводников. М.,1976. 343 с. – Деп. в ЦНИИ “Электроника”. Р-2073. РИ.77.06.3412.
2. Прокопьев Е.П. Введение в теорию позитронных процессов в полупроводниках и ионных кристаллах. М., 1979. 384 с. – Деп. в ЦНИИ “Электроника”. Р-2837. МРС ВИМИ “Техника, технология, экономика”. №27. 1980. Сер.”ЭР”.
3. Арефьев К.П., Воробьев С.А., Прокопьев Е.П. Позитроника в радиационном материаловедении ионных структур и полупроводников. М.: Энергоатомиздат, 1983. 88 с.
4. P.Sen, C.Sen //J. Phys. 1974. Vol.C7. P.2776.
5. Е.П.Прокопьев, С.П.Тимошенков, В.И.Графутин, Г.Г.Мясищева, Ю.В.Фунтиков. Позитроника ионных кристаллов, полупроводников и металлов. М.: Ред.-изд. отдел МИЭТ (ТУ), 1999. 176 с.
6. В.И.Гольданский. Физическая химия позитронов и позитрония. М.: Наука, 1968.
7. Прокопьев Е.П. Об аномальных свойствах атома позитрония (Ps) в ионных кристаллах и полупроводниках // Физика твердого тела. 1977. Т.19. Вып.2. С.472-475.
8. Прокопьев Е.П. Позитроний и его свойства в полупроводниках и щелочно-галоидных кристаллах // Химия высоких энергий. 1978. Т.12. Вып.2. С.172-174.
9. W.Brandt, J.Reinheimer // Phys. Rev. 1970. Vol.B8. P.3104.
10. Д.Иваненко, А.Соколов // ДАН СССР. 1978. Т.239. С.1082.
11. Варисов А.З., Кузнецов Ю.Н., Прокопьев Е.П. Почему в полупроводниках наблюдается одно короткое время жизни позитронов // ДАН СССР. 1978. Т.239. №5. С.1082-1085.
12. J.Wheeler // Ann. N. Y. Acad. Sci, 1946. Vol,48. P.219.
13. M.A.Lampert // Phys. Rev. Lett. 1958. Vol.1, P.450.
    
14. Кузнецов Ю.Н., Прокопьев Е.П., Варисов А.З. Основы теории позитронных состояний в ионных кристаллах. – М., 1978. – 292 с. – Деп. в ЦНИИ “Электроника”, Р-2382. Сб. ВИМИ “Военная техника и экономика”. Сер. общетехническая. – № 14. – 1978.
15. Варисов А.З., Арефьев К.П., Воробьев А.А., Кузнецов Ю.Н., Прокопьев Е.П. Позитроны в конденсированных средах. – М., 1977. – 489 с. – Деп. в ЦНИИ “Электроника”. Р-2317. Сб. ВИМИ “Военная техника и экономика”. Сер. общетехническая. – № 9. – 1978.
16. Прокопьев Е.П. Исследования в области физики медленных позитронов. Позитронная аннигиляция – новый метод изучения строения вещества. – М., 1986. – 86 с. – Деп. в ЦНИИ “Электроника”. Р-4367. Сб. реф. НИОКР, обзоров, переводов и деп. рукописей. Сер. “ИМ”. – №12. – 1987.
17.  Прокопьев Е.П. Комплексы Уилера в полупроводниках. – М., 1979. – 12 с. – Деп. в ЦНИИ “Электроника”. Р-2757. МРС ВИМИ “Техника, технология, экономика”. – № 28. – 1979. – Сер. “ЭР”.
18. В.Н.Абакумов, В.И.Перель, И.Н.Яссиевич // ФТП. 1978. Т.12. С.3.
19. В.Н.Абакумов, И.Н.Яссиевич // ЖЭТФ. 1976. Т.71. С.657.
20. В.Н.Абакумов, В.И.Перель, И.Н.Яссиевич // ЖЭТФ. 1977. Т.72. С.674.
21. G.T.Hill // NuovoCimento. 1972. Vol.10B. P.511.
22. R.R.Sharma // Phys. Rev. 1968. Vol.171. P.36.
23. J.R.Haynes // Phys. Rev. Lett. 1966. Vol.17. P.860.
24. O.Akimoto, E.Hanamura // J. Phys. Soc. Japan. 1972. Vol.33. P.1537.
25. O.Akimoto // J. Phys. Soc. Japan. 1973. Vol.35. P.973.
26. A.Ore // Univ. Bergen Arbook. №9, №12. 1949.
27. E.Hylleraas, A.Ore // 1947. Vol.71. P.493.
28. Л.В.Келдыш // УФН. 1970. Т.100. С.514.
29. Л.В.Келдыш // В сб. Экситоны в полупроводниках. М.: Наука, 1971. С.5.

Аннотация

В рамках метода Полинга рассмотрены особенности позитрониевой (бозонной) [] (1), ионной [] (2) и обычной двухэлектронной связи [] (3) в галогенидах позитрония (.- символ атома галогена). Наличие позитрониевой связи в приводит к аномалиям в характеристиках временных (ВС) и угловых спектрах (УС) аннигиляции: во ВС наблюдается долгоживущая компонента с, соответствующая широкой компоненте в УС, обусловленной аннигиляцией связанных позитронов на электронах ионов галогенов.

Abstracts

Within the framework of Pauling’s method the features of positronium (boson) [] (1), ionic [] (2) and usual two-electron bonds [] (3) in positronium halogenids are considered, where (X – symbol of halogen atom). Presence of positronium bond in reduces to anomalies in time spectrums (TS) and angle annihilation spectrums (AS): in TS the long time component is observed conformable to a wide component in AS stipulated annihilation of connected positrons on electrons of halogen ions .

Исследования позитронных состояний, позитронных процессов и позитронной аннигиляции в различных веществах [1-5] показывают, что процесс аннигиляции связанных позитронов и атома позитрония в атомных и молекулярных системах играет большую роль. Особый интерес вызывают химические аспекты поведения позитронов и атома позитрония, приводящие к связанным состояниям за счет осуществления однопозитронной связи [6,7] и позитронно-электронной связи, рассматриваемой ниже (по аналогии с одноэлектронной связью в и двухэлектронной связью в [8]). Такого типа позитронсодержащие системы могут наблюдаться как в полупроводниках, так и в астрофизике черных дыр (системы со многими электронами и позитронами, http://www.erjournal.ru/journals_n/1351429142.pdf).

Известно [9-12], что в кристаллах и водных растворах солей галогенидов щелочных металлов и в газовой фазе (- символ атома галогена) возможно образование квазиатомных систем и [12], или иначе так называемых галогенидов позитрония [9-11]. Экспериментальное значение энергии связи в молекуле в отношении распада на атом позитрония и атом фтора составляет величину эВ [10], а в молекуле
эВ [11]. Теоретический расчет [13] систем по методу Хартри-Фока дает величины и эВ. Как видим, расхождение расчетных и экспериментальных величин весьма значительное. Это обусловлено вероятнее всего неучетом в хартри-фоковских расчетах ковалентных структур в (при расчетах учитывалась лишь одна ионная структура ).

    Следуя Полингу [8], рассмотрим в галогенидах позитрония следующие структуры

, ,

1            2                3

В структуре 1 связь осуществляется за счет электрон-позитронной пары в синглетном (s) и триплетном (t) состояниях (электрон и позитрон в нерелятивистском приближении частицы не тождественные); в структуре 2 связь сугубо ионная (ионную структуру , то есть , не учитываем по сравнению со структурой (, как менее вероятную). Считаем, что в структуре 3 реализуется обычная двухэлектронная связь, свойственная, например, молекуле водорода.

Итак, галогениды позитрония можно рассматривать как молекулы , содержащие ординарные связи между двумя неодинаковыми атомами. При этом полная волновая функция, согласно (1), записывается в виде

             (2)

Для расчета и можно использовать квазиадиабатический метод Шмелева [14], в то время как рассчитывается по методу Хартри-Фока [13]. Наилучшими значениями и являются такие, при которых энергия связи максимальна, причем отношения и в общем случае не равны друг другу. Поэтому энергия связи между и больше (или равна) энергии ковалентной связи между этими атомами. Эта добавочная энергия обусловлена ионным характером связи и является дополнительной ионной резонансной энергией. Согласно Полингу [8], энергия связи (в эВ) определяется уравнением

(3)

Здесь - энергия связи молекулы позитрония ( эВ [15]); - энергия связи молекулы галогена; - электроотрицательность атома галогена [8], а - электроотрицательность атома позитрония, определяемую следующим образом

эВ = 3,44·10² кДж/моль.

Здесь эВ – энергия связи атома позитрония, эВ [16] – сродство к электрону атома позитрония. Таким образом, стандартная электроотрицательность атома позитрония, в единицах электроотрицательности атома лития = 1,19.

Используя данные Полинга [8], данные справочника [17], рассчитали разности электроотрицательностей атома позитрония и атомов галогенов (в единицах электроотрицательностей атома лития [17]) для случая структур 2 и 3

С этими значениями и значениями=0,948 эВ и из [8] по формуле (3) рассчитали полные энергии связи с учетом структур 2 и 3: эВ; эВ; эВ; эВ. Здесь первые цифры в сумме относятся к значениям энергий для ковалентной составляющей структуры 3, а вторые – характеризуют значения энергий ионных составляющих структур 2.

    Далее, согласно Полингу [8], по значениям определили степени ионности связи в галогенидах позитрония, характеризуемых структурами 2 и 3:

    Для того, чтобы учесть вклад структуры 1 , необходимо ввести понятие “электроотрицательности” в отношении присоединения атомами в галогениде позитрония электронно-позитронной пары, определяемую по формуле

, (4)

где - первый потенциал ионизации атома галогена, - сродство к позитрону атома галогена, определяемое по методу потенциала нулевого радиуса [18]: = 0,10 эВ. С этим значением и значением из [17] по формуле (4) вычислили эВ; эВ; эВ; эВ. При этом разности “электроотрицательностей” в отношении присоединения атомами электронно-позитронной пары (атома позитрония) оказались равными:


С этими значениями по формуле (3) вычислили полные энергии связи в галогенидах позитрония с учетом структур 1 и 2:

эВ; эВ; эВ; эВ.

По методу Полинга [8] по значениям определили также степени ионности связи в, характеризуемых структурами 1 и 2: Сопоставление рассчитанных выше значений и экспериментальных значений [10,11] говорит в пользу химической связи в галогенидах позитрония, осуществляемой бозонной парой e^-e⁺ (S = 0,1) в структуре 1 и ионной составляющей структуры 2, хотя вклад структуры 3 также, по-видимому, возможен.

    Рассчитаем аннигиляционные характеристики исходя из волновой функции вида (2), учитывающей вклады структур 1 и 2. Нетрудно видеть, согласно стандартным методам [1-5], что полная вероятность двухквантовой аннигиляции для синглетного состояния в галогенидах позитрония с учетом структур 1 и 2 определяется формулой

, (5)

где - вероятность двухквантовой аннигиляции синглетного состояния атома позитрония, а – вероятность двухквантовой аннигиляции связанного позитрона на внешних - электронах в квазиатомной системе [19]. Нетрудно убедиться, что полная вероятность двухквантовой аннигиляции триплетного состояния дается выражением

(6)

Значения коэффициентов и , характеризующих вклады структур 1 и 2, могут быть оценены по формулам

(7)

Используя полученные выше величины, входящие в формулы (7), и значения из [19] по формулам (5) и (6) вычислили значения величин и в галогенидах позитрония , а также соответствующие времена жизни и . Для нашли ; ; ; .Для; ; ;.Для; ; ; . Для : ; ; ; .

    Из этих данных следует, что для времена жизнии входят в короткоживущую компоненту в экспериментальных временных спектрах [9-13]. Для
входит в компоненту, а может вносить уже вклад в долгоживущую компоненту. Для случаев и ситуация ясна: расчетные компоненты относятся к компоненте, а компоненты соответствуют долгоживущим компонентам во временных спектрах аннигиляции [9-12,20]. Таким образом, в экспериментальных временных спектрах аннигиляции галогенидов щелочных металлов должна наблюдаться долгоживущая с компонента, обязанная аннигиляции связанных позитронов на валентных электронах ионов и . Экспериментальные данные [9-12,20] по временным спектрам и угловым распределениям аннигиляционных фотонов (угловые спектры) подтверждают этот вывод наших расчетов, а, следовательно, наличие вклада структур 1 и 2 в галогенидах позитрония. Наличие вклада структур 2 и 3 в галогенидах позитрония наблюдать очень трудно, так как в этом случае времена жизни входят полностью в экспериментальную компоненту, имеющую очень сложный характер и практически неразрешимую на компоненты.

    Особенности однопозитронной и позитрониевой химической связи между атомами и молекулами вещества предполагается рассмотреть в отдельном сообщении. Это прежде всего квазимолекулярные системы типа
и т.д. Рассмотрение этих систем целесообразно проводить или методом МО ЛКАО или методами, развитыми Полингом [8].

 НИЦ Курчатовский институт, ФГБУ «ГНЦ РФ ИТЭФ». Москва, Россия, E-mail: epprokopiev@mail.ru

Развитие исследований в области Экологии и Космоса [1,2] должны стать ключевыми в силу возможности выживания Человечества в окружающем Мире. Поэтому исследования с применениями современных технологий и нанотехнологий в области экологии важны и необходимы для Человечества в силу необходимости сохранения и поддержания ресурсов Земли для жизни всего Живого (Флоры и Фауны). Исследования в области Космоса должны дать возможность найти Человечеству Пространства для будущего обитания и развития, а также защиту Земли от различных внешних космических воздействий, например, от метеоритной и астероидной опасности.

При этом для Земли необходимы колоссальные средства на такие Программы. Они могут быть найденными при условии переключения средств из военных расходов Человечества на экологические и космические исследования. Это возможно на основе договорных обязательств расходования средств всех стран Земли и прежде всего стран двадцатки и восьмерки в области Экологии и Космоса. Возглавлять такие работы и исследования несомненно должны руководители стран Земли, имеющие доступ к финансово-техническим ресурсам, программам и проектам. Такого рода общемировые Программы и Проекты совместной работы могут стать объединяющим началом мирной жизни для всего Человечества и естественно ослабления враждебности друг к другу. Предстоит долгий и трудный путь в этом направлении. Но этот путь, по-видимому, может дать возможность выжить Человечеству в нашей прекрасной Вселенной (или Вселенных).

Библиографический список

1. Е.П.Прокопьев Об использовании современных нанотехнологий в космических проектах Нанотехнологическое общество России. НОР – 2013. Сборников тезисов четвертой ежегодной конференции Нанотехнологического общества России, 20 декабря 2012, Москва , http://www.rusnor.org/pubs/reviews/8667.htm, с.123-124.
2. Е.П.Прокопьев. Экология и Космос – магистральные направления развития Человеческой Цивилизации. Почему это. НОР – 2013. Сборников тезисов четвертой ежегодной конференции Нанотехнологического общества России, 20 декабря 2012, Москва , http://www.rusnor.org/pubs/reviews/8667.htm http://www.rusnor.org/pubs/reviews/8667.htm, с.125.

e-mails: grafutin@itep.ru,
epprokopiev@mail.ru, elnikova@itep.ru , spt@mail.ru

The report proves that one of the effective methods to define sizes of nanodefects (vacancies, clusters of vacancies), free pore volumes, cavities and holes, and their concentration and chemical composition in annihilation space in nanomaterials and other technically important materials, is positron annihilation spectroscopy. Here, we briefly reviewed the experiments for nanodefects in porous silicon, silicon and monocrystals and in quartz powders, irradiated by protons, as well as in metals and alloys, irradiated by protons and neutrons.

INTRODUCTION

Positron annihilation spectroscopy (PAS) (Goldanskii, 1968; Grafutin, Prokopiev, 2002; Prokopiev, Timoshenkov, Grafutin et al.,1999), allowing to define both electronic structure of perfect crystals and various imperfections of especially small sizes in solids and porous systems, such as vacancies, clusters of vacancies and free volumes up to one cubic nanometer, comprises three basic methods: studying of time distribution of annihilation photons (TDAP), angular distribution of annihilation photons (ADAP) and Doppler width of annihilation lines with energy 0.511 МeV (DWAL) (Goldanskii, 1968; Grafutin, Prokopiev, 2002). TDAP method gives data on electronic density in positron annihilation place and ADAP and DWAL methods give information on distribution of electron impulses and on chemical compound of the environment surrounding nanoobjects in annihilation place. There are two groups of PAS methods. In the first group there are used slow positrons that allow to investigate surface layers on small depths. In the second group there are used fast positrons that can get into an investigated object on greater depths µm and give information on the type, concentration and distribution of defects in the whole volume of a solid. All these methods have already received wide application for research in modern material science, particularly in nuclear and electronic material science (see, for e.g., Wurschum, Schaefer 1996; Druzhkov, Perminov, 2007; Gusev, 2005; Wurschum, Schaefer, 1996; Arefiev, Vorobiev, Prokopiev, 1983; Krause-Rehberg, Leipner 1999; Arefiev, Prilipko, Prokopiev et al, 1983; Batavin, Druzhkov, Garnak et al. 1980; Prokopiev, 1993; Fedorov, Prilipko, Prokopiev et al., 1982; Prilipko, Prokopiev, 1980; Britkov, Gavrilov, Grafutin et al.,2004; Grafutin V.I., Ilyukhina O.V., Kalugin et al., 2006; Gavrilov, Grafutin, Ilyukhina et al., 2005; Prokopiev, 1996; Jean, 1990 ; Gregory Roger, 1991; Varisov, Grafutin, Zaluzhnyi et al., 2007; Eldrup, Lightbody, Sherwood, 1991; Shantarovich, Yampolskii, Kevdina, 1994; Prokopiev, Grafutin, Timoshenkov et al., 2008 ; Britkov, Gavrilov, Grafutin et al., 2007; Grafutin, Ilyukhina, Myasishcheva, 2005; Grafutin, Zaluzhnyi, Timoshenkov et al., 2008; Kozlov, Kozlovskii, 2001; Kozlov, Kozlovskii, Lomasov, 2000; Grafutin, Zaluzhnyi, Timoshenkov et al., 2008; Prokopiev, 1990).

The researches of positron annihilation in compacted nanocrystal metals and alloys (Grafutin, Prokopiev, 2002; Prokopiev, Timoshenkov, Grafutin et al.,1999; Schaefer, 1993; Gusev, 2005; Arefiev, Prilipko, Prokopiev et al, 1983; Wurschum, Schaefer 1996; Arefiev, Vorobiev, Prokopiev, 1983), and also in semiconductors (Krause-Rehberg, Leipner 1999; Batavin, Druzhkov, Garnak et al. 1980; Prokopiev, 1993; Fedorov, Prilipko, Prokopiev et al., 1982; Prilipko, Prokopiev, 1980; Britkov, Gavrilov, Grafutin et al.,2004; Grafutin, Ilyukhina, Kalugin et al. 2006) and porous silicon (Gavrilov, Grafutin, Ilyukhina et al., 2005) have yielded the following basic results (Goldanskii, 1968; Prokopiev, Timoshenkov, Grafutin et al.,1999; Schaefer, 1993; Gusev, 2005; Wurschum, Schaefer, 1996):

1.Lifetimes of positrons in compacted nanocrystal metals and alloys as well as in elementary Ge and Si semiconductors subjected to irradiation by various elementary particles and γ beams differ from lifetimes of free positrons τ_f in ideal crystals (Gusev, 2005).

2. The share of positrons grasped by vacancies, grows with increase in pressure in case of metals and alloys as well as with increase in doze of irradiation in case of semiconductors. In the first case it means that the increase in pressure leads to the growth of area of section (interfaces) borders, and in case of semiconductors – to the increase in concentration of dot defects with nanometer sizes (Gusev, 2005).

3. In nanomaterials based on metals and alloys positrons are mainly grasped by monovacancies and divacancies on the section border of two adjacent grains (in joints of grains), and also by nanopores, that are the joints of three adjacent crystal particles and free volumes of absent crystal particles. These conclusions are made on the basis of measurements of positron lifetimes in compacted metals and alloys (Gusev, 2005; Prokopiev, 1990). In these samples lifetime τ₁ is close to lifetime τ_N in crystal lattice vacancies in a volume of metal. It is generally accepted that the shortest lifetime τ₁ experimentally fixed in TDAP spectra, is caused by positron annihilation in vacancies on the border of grain section (the interface vacancies) with sizes < 0.2–0.4 nm. Intermediate lifetime τ₂ characterizes positron annihilation in three-dimensional vacancy agglomerates (nanopores whose size reaches 10 removed atoms ≈0.6–0.8 nm). Very long lifetime τ₃ corresponds to positron annihilation in pores – free volumes whose size is close to the size of crystal particles nm. It enables to study the structure of section borders, which defines alongside with the small sizes of grains the majority of properties of nanomaterials.

4. In irradiated semiconductors and pore systems (Goldanskii, 1968; Grafutin, Prokopiev, 2002; Prokopiev, Timoshenkov, Grafutin et al.,1999; Prokopiev, 1993; Arefiev, Prilipko, Prokopiev et al, 1983; Fedorov, Prilipko, Prokopiev et al., 1982Prilipko, Prokopiev, 1980; Britkov, Gavrilov, Grafutin et al.,2004; Grafutin, Ilyukhina, Kalugin et al. 2006; Britkov, Gavrilov, Grafutin et al, 2007; Grafutin, Ilyukhina, Myasishcheva, 2005; Grafutin, Zaluzhnyi, Timoshenkov et al., 2008; Grafutin, Zaluzhnyi, Timoshenkov et al., 2008) positrons are grasped by dot defects with average size nm and by pores with average size of nm mainly of monovacancy and divacancy type and to a lower degree of tetra-, penta-and hexavacancy type as the most widespread among other radiating defects, for example, in silicon.

5. Free vacancy volumes grasping positrons at low temperatures in metals and alloys belong to section borders rather than to crystal particles (Gusev, 2005).

6. The capture of positrons by crystal particles in metals and alloys is unlikely as plastic deformation of metals leads to smaller change of lifetime of positrons than in compacted nanocrystal metals (Gusev, 2005).

For the time being it is experimentally proved that positrons effectively probe free volumes (basically vacancies and divacancies) with sizes nm both in metals and alloys, and in semiconductors and pore systems and nanocrystal compacted materials (Goldanskii, 1968; Prokopiev, Timoshenkov, Grafutin et al.,1999; Gusev, 2005; Prokopiev, 1993; Fedorov, Prilipko, Prokopiev et al., 1982; Prilipko, Prokopiev, 1980; Arefiev, Prilipko, Prokopiev et al, 1983; Britkov, Gavrilov, Grafutin et al.,2004; Grafutin, Ilyukhina, Kalugin et al., 2006; Britkov, Gavrilov, Grafutin et al, 2007; Grafutin, Ilyukhina, Myasishcheva, 2005; Grafutin, Zaluzhnyi, Timoshenkov et al., 2008; Grafutin, Zaluzhnyi, Timoshenkov et al., 2008; Prokopiev, 1990).However, other direct methods including transmission electronic microscopy of high resolution and diffusion of atoms hardly give the opportunity to study interfaces. PAS methods sensitivity concerning the contents of positron sensitive defects thus is limited to ≥10¹⁴–10¹⁵cm^-3.

The study says (Gusev, 2005) that up to now there has not been investigated (or understood) the question on the structure of interfaces and their nuclear density, on the influence of nanopores and other free volumes on the properties of nanomaterials. Therefore one of the main purposes of works on research of nanomaterials by positron method is in the establishment of correlations between the nature, the sizes and concentration of nanoobjects and the quality of modern materials used in practice. For this purpose there can bee used various methods so that to search for such correlations.

Below there are being examined methods defining the sizes of nanoobjects, their concentration and a chemical composition of the environment surrounding nanoobjects, on experimentally measured parameters of TDAP and ADAP spectra for positrons annihilated in porous systems and in elementary semiconductors of Ge and Si type subjected to irradiation by various elementary particles and beams and other technically important materials on the basis of the theoretical grounds developed in (Prokopiev, 1996; Jean, 1990; Gregory Roger, 1991; Varisov, Grafutin, Zaluzhnyi et al., 2007; Eldrup, Lightbody, Sherwood, 1991; Shantarovich, Yampolskii, Kevdina, 1994; Prokopiev, Grafutin, Timoshenkov et al., 2008) and various examples of their applications.

DEFINITION OF SIZES OF VACANCY FREE VOLUMES, PORES, HOLES IN POROUS SYSTEMS AND NANOMATERIALS AND OTHER TECHNICALLY IMPORTANT MATERIALS

Usually for calculations of the pore size there is used a simple model in which the cavity is modeled by a spherical hole with an infinite potential barrier of radius R₀. Positron and positronium are in this cavity and annihilate in it. Thus parapositronium (p-Ps) annihilates mainly on its own electron, and orthopositronium (o-Ps) and positron annihilate on electrons of the environment surrounding the cavity. To provide the possibility of pick-of annihilation it is postulated that in border area with size ΔR there happens the overlapping of wave functions of positron and the positron which is the part of o-Ps with wave functions of environment electrons. Thus the radius of pore free volume R will equal ΔR=R₀–R.

Simple quantum-mechanical calculations allow to correlate the lifetime of positron and orthopositronium o-Ps in the cavity with the size of the cavity
R₀ and ΔR (Jean,1990)

(1)

In this formula ns (Dannefaer, 1987) is meaningful for the lifetime positron or ns is an average of spins
positronium lifetime
in the environment volume (outside of a pore or a vacancy) (Jean, 1990; Gregory Roger, 1991; Varisov, Grafutin, Zaluzhnyi et al., 2007; Eldrup, Lightbody, Sherwood, 1991; Shantarovich, Yampolskii, Kevdina, 1994; Prokopiev, Grafutin, Timoshenkov et al., 2008).

The analysis of o-Ps annihilation in materials with definite values of radii of pores in molecular solids and zeolites on the basis of the equation (1) has shown (Jean,1990), that value ΔR=R₀–R=1.66Å. Generally speaking, ΔR depends on the substance nature. Therefore in this case equation (1) for silicon and quartz probably can be applied only to estimate the sizes of pore radiuses. It should be mentioned that TDAP spectroscopy has turned out an extremely effective method of defining the sizes of pores and micropores and pore distribution along the radiuses in porous systems (adsorbents, zeolites, molecular solid substances, etc.) (Gusev, 2005; Prokopiev, 1996; Jean, 1990; Gregory Roger, 1991; Varisov, Grafutin, Zaluzhnyi et al., 2007; Eldrup, Lightbody, Sherwood, 1991; Shantarovich, Yampolskii, Kevdina, 1994; Prokopiev, Grafutin, Timoshenkov et al., 2008).

We shall apply the same quantum model of Ps with the purpose to establish dependence between the experimental values (FWHM(full width half-maximum)) of narrow components of ADAP and radius of free volume R. In this case the parity between and for p-Ps is as follows (Jean, 1990) , (2)

where R, ΔR and are expressed in Å and mrad correspondingly. Using equations (1), (2), we can estimate radiuses of free volumes in porous systems, defective materials and nanomaterials on measurement of sizes of narrow components by ADAP method. We shall note that in cases with silicon and quartz for the parity between R and it is rational to use the approximate formula

, (3)

as value for silicon and quartz in case of p-Ps have not been found in other studies. In formula (3), denotes a width of narrow components in ADAP spectra defined by movement of the center of p-Ps weights.

The advantage of ADAP method in comparison with TDAP method is that ADAP method gives orientation dependence of R (along the direction of measured impulses) while TDAP method gives average values of R. But the measurements of ADAP spectra takes more time than TDAP method. Below there are given data on the definition of the sizes of nanoobjects and their concentration by ADAP method for porous silicon, silicon and monocrystals of quartz irradiated by protons, as well as in powders of quartz on the basis of stated above calculation methods and the experimental data received earlier (Grafutin, Prokopiev, 2002; Prokopiev, Timoshenkov, Grafutin et al., 1999; Britkov, Gavrilov, Grafutin et al., 2004; Grafutin, Ilyukhina, Kalugin et al., 2006; Gavrilov, Grafutin, Ilyukhina et al., 2005; Britkov, Gavrilov, Grafutin et al., 2007; Grafutin, Ilyukhina, Myasishcheva et al., 2005; Grafutin, Zaluzhnyi, Timoshenkov et al., 2008; Grafutin, Zaluzhnyi, Timoshenkov et al., 2008), and in a number of new experiments in monocrystals and powders of quartz.

DEFINITION OF RADII OF PORES AND THEIR CONCENTRATION IN POROUS SILICON

Data of fig.1, 2 and tab. 1 fig.1 show presence p-Ps in porous silicon (see, for example, the sample of porous silicon PR86 (tab.1) and fig.2).

Fig.1. Angular distributions of annihilation photons in monocrystal samples of silicon: Si-monocrystal, mirror, p-type, orientation <111>, SDB – 10, h = 340 µm): 1 – ADAP curve plotted on experimental points 2,3 – parabolic and gauss components of the spectrum respectively. The X-axis shows channels of the analyzer (the value of the channel 0.2 mrad), the Y-axis shows the number of even

Fig. 2. Angular distributions of annihilation photons in pore samples of silicon: Si – pore; <111>; SDB – 0.03; h = 360 – 370 µm;
HF:C₂H₅OH = 2 : 1; porosity 45 % ± 3 %; (2 of gauss + parabola) (see tab.1)): 1 – total spectrum (the sum of spectra 3, 4, 5), 2 –ADAP curve plotted on experimental points, 3 – the first gauss component of spectrum, 4 – parabolic component of spectrum, 5 – the second gauss component of spectrum, points – experiment. The X-axis shows channels of the analyzer (the value of the channel 0.2 mrad), the Y-axis shows the number of events.

Table 1

Parameters of investigated samples of porous silicon, features of their production and characteristic of ADAP spectra

Notes: h is thickness of silicon plates, <111> is crystallographic orientation, SDB – 0,03 is the mark of silicon plates alloyed by B with specific resistance 0.03 оm·cм, I_g =
S_gi/S_sum (i=1,2) – intensity of gauss components, and
I_P = S_p/S_sum is the intensity of parabolic component in Adap spectra (S_sum is the total area of the Adap spectrum, and S_gi
and
S_p are areas of the gauss and parabolic components in this spectrum respectively). J is the current density.

The experimental ADAP spectra of this sample of porous silicon are well approximated by parabola
(I_p) and by two gausses (I_g1, I_g2). In a defectless crystals of silicon (fig.1) and in a number of porous samples (Britkov, Gavrilov, Grafutin et al., 2007), these spectra are represented by the superposition of parabola and gauss. Positron annihilation characterized by parabolic component can be explained by positron annihilation on electrons of valence zone of silicon. In its turn wide gauss component is caused by positron and o-Ps annihilation through different channels in a faultless part of a crystal, volume and on the surface of pores, and narrow gauss component
I_g2 is caused by p-Ps annihilation in the volume of pores. The full width of this component on FWHM
half-height makes up (θ_1/2)_g2=0.8 mrad, which corresponds to kinetic energy of an annihilating electron-positron pair of 0.044 eV, and its intensity of 1.5 %; and general output of Ps in porous silicon reaches 6 %.To define of radiuses R_g2 of pores of width ( θ_1/2)_g2, there the formula (2) was used. For the experimental value ( θ_1/2)_g2=0.8 mrad (see above) , there was received an average value of pore radius R_g2≈19.09Å≈2 nm.

The consideration of the kinetic scheme of annihilation disintegrations and transformation p-Ps in a pore layer enables to receive dependence between constant of capture k_tr and component intensity I_g2 (Britkov, Gavrilov, Grafutin et al, 2007)

s^-1 . (4)

Here we use s^-1 is a velocity of p-Ps annihilation in the volume of crystal. Thus, the constant of capture speed p-Ps, estimated on the basis of data in tab.1 and formula (4) makes up s^-1.

On the other hand the value of capture speed can be in its turn defined on the basis of certain expression (Britkov, Gavrilov, Grafutin et al., 2007)

, s^-1 (5)

Here is a dimensionless value of p-Ps and positron annihilation probability, grasped by defect (Prokopiev, 1990).is an average value of capture section by defects of p-Ps or positron; is velocity of thermalized p-Ps or positron; is an average concentration of defects (in defective area of crystal) sensitive to thermalized states of positron or p-Ps. Thus, from the given expressions, it is possible to define the values of N_g2, if we have such parameters as and . The average thermal p-Ps or positron velocity at room temperature is estimated with formula , cm/s, where is the Boltzmann constant, is effective p-Ps weight, is mass of free positron. From this formula for positron where we receive cm/s, and for p-Ps where – cm/s. From this, it appears that at by formula (5) cm^-3. According to these data it can be supposed that the effective free centers (areas of p-Ps capture) are most likely to be ultramicropores and micropores of closed and open type with sizes ≤2 nm.

DEFINITION OF RADII OF PORES AND THEIR CONCENTRATION IN WAFERS OF SILICON IRRADIATED BY PROTONS

Investigated samples with sizes 10´20´10 mm³ have been cut out from the whole plates of silicon. For researches there have been chosen four samples designated by us as Si 10 (the initial unirradiated sample), Si 14, Si 15 (the samples of silicon irradiated by protons with energy Е and fluence Ф). The parameters of the investigated n- and p – silicon plates, features of their production and the main characteristics of ADAP spectra are given in tab.2-5.

Table 2

Parameters of investigated samples of silicon, special features of their production and characteristic of ADAP spectra

Notes: h is thickness of silicon plates, <100> – their crystallographic orientation, SDP – 4,5 is a mark of silicon plates doped by P with specific resistance 4,5 and 2-3 оm·cm, Е and Ф are the energy and the fluence of protons respectively, , mrad is a width of a gauss component with intensity I_g = S_g/S_sum, and (, mrad) is a cutoff angle for the parabolic component with intensity I_P = S_p/S_sum
in ADAP spectra (S_sum is a total number of coincidence events, and S_g and
S_p are the coincidence event rates corresponding to the gauss and parabolic components in ADAP curves).

Table 3

Parameters of investigated samples of Si of p-type and features of their production

Table 4

Characteristics of ADAP spectra of investigated samples of Si of p-type and parameters OF RADIATION DEFECTS

Table 5

Parameters of investigated samples OF Si of p-type, feature of their PRODUCTION and characteristics of ADAP spectra

Notes: h is a thickness of silicon plates, <111> is their crystallographic orientation, SDB-10 and SDB-10/20 are marks of silicon plates doped by B, Е and Ф are the energy and the fluence of protons respectively, I_g = S_g/S_sum is an intensity of gauss component, and
I_P = S_p/S_sum is intensity of a parabolic component in ADAP spectra (S_sum is a total area of experimental ADAP spectrum, and S_g and
S_p relate to the area of the gauss and parabolic component respectively).

According to (Britkov, Gavrilov, Grafutin et al., 2004; Grafutin, Ilyukhina, Kalugin et al., 2006, Grafutin, Ilyukhina, Myasishcheva et al., 2005), the difference between the intensities of gauss component I_g
(irradiated), that is the irradiated plates of silicon, and
I_g (unirradiated) (initially unirradiated plate) in ADAP spectra, can be written down in the form of

ΔIg = I_g (irradiated) )–I_g (unirradiated) = . (6)

It means that the average value of capture speed of capture makes

ΔIg/, (7)

where

. (8)

In formula (6), τ₁ is a short lifetime of positron in a silicon crystal, g_i is statistical weight of the i-positron «defective state», contributing to the process of general annihilation. In its turn k_tr can be evaluated by formula (3). An average thermal speed of positrons at temperature T was estimated by the formula , cm/s.

Let’s estimate the value of , evaluated by expression (4), for (see the bottom line in tab.2) (Grafutin, Ilyukhina, Myasishcheva et al., 2005). With this value of by formula (3) for the value of τ₁=2.19∙10^-10 with (Dannefaer, 1987) we will receive s^-1.

The size of vacancies, complexes of vacancies or pores and energy in the assumption of their spherical geometry in the annihilation place on external valence electrons can be also found by using only ADAP data, In fact, the dispersion σ of gauss component of ADAP spectra approximated by the normal law of error distribution is unequivocally dependant on energy of annihilating electron-positron pairs which are in a pore of radius R_g

, (9)

where mrad. Here is a total width of ADAP curve on the half-height. As the majority of works use not the dispersion but the width on the half-height, we will give the expression connecting energy of annihilating electron-positron pair with the full width on the half-height

(10)

Here
the energy E is in
eV, and is a total width of ADAP curve on the half-height, in mrad.

Thus for samples of silicon (see tab.2) the measured value of makes up 11.1 mrad and it corresponds to energy of annihilating electron-positron pair E=8.5 eV, and, for example, for 11.5 mrad E=9.13 eV. Taking into consideration that before annihilation the positron has time to be thermalized the measured energy is defined mainly by electron energy. The table value of energy for of electronic external shell of silicon is eV (Babichev, Babushkina, Bratkovsky, 1991). As we can see the correlation of these values of energies and is quite satisfactory. Thus, positrons annihilate mainly on external valence electrons of silicon atom of pore “wall”. It is possible to assume that the difference of values эВ is caused by the contribution of positron energy in the volume of a potential hole (spherical defect) to the energy of annihilating electron-positron pairs.

Then using equation (1) we have defined for comparison radiuses of free volumes of vacancies according to the measurement lifetime of positrons in the silicon irradiated by electrons and protons by TDAP method (Dannefaer, 1987; Puff, Dannefaer, et al., 1987; Prokopiev, 1987; Prokopiev, 1980; Batavin, Prokopiev, Salmanov et al., 1982). We assumed that for our case enough moderated energies and dozes of protons during the irradiation of plates of silicon are generated mainly to dot defects (Dannefaer, 1987). Lifetimes in mono vacancies remain within the limits from 266 up to 270 ps, in divacancies – within the limits from 300 up to 325 ps, in tetra vacancies; it equals 435 ps, in pent vacancies, it equals 505 ps, and in hex vacancies it makes up about 520 ps (Dannefaer, 1987; (Puff, Dannefaer, et al., 1987; Prokopiev, 1987; Prokopiev, 1980; Batavin, Prokopiev, Salmanov et al., 1982). In fig.3 there is given the diagram of dependence of these values from plotted by formula (1). The average value of effective radius of radiation defects calculated by formula (1) to the average value lifetime makes up the value of Å.

Fig.3. The dependence of positron lifetime in pores from effective radius R₀ of pores. The calculation is carried out by the formula (1) for ∆R=1.66 Å (Yean, 1990) and τ_b=0.219 ns (Dannefaer, 1987).

Thus, if we assume, that in the vacancy (pore) (potential hole) there is a positron instead of positronium, and it annihilates on electrons of wall material, its energy in the hole should be about 0.35 eV at Е = 11.1 eV. As the energy of the particle being in a potential hole is defined by the size of a hole then according to formula (2) the energy of a positron should correspond to a hole with radius R_g ≤10.4 Å for = and 11.1 mrad. Quite great divergences R_g values defined by TDAP and ADAP methods can be explained either by methodical errors or by the fact that TDAP method defines average values of in spherical approach for vacancies while ADAP method can give orientation dependence of R_g (along the direction of measured impulses). According to the microscopy theory of vacancies (for example, for vacancy (Boorguen, Lanno, 1985) in silicon), orientation dependences of electronic properties of vacancy along various crystallographic directions possess significant features. It appears that vacancy has four charge states , and only two of them (the latter) can be observed by EPR. Apparently, ADAP method enables to observe orientation dependences of electronic properties of vacancy walls and their sizes depending on crystallographic directions. It is of course necessary to continue thorough researches in this direction. The constant of silicon lattice equals a=5.43 Å, and the average value of interatomic distance in silicon equals r_si=2.087 Å. Thus, the comparison of the values radiuses measured by TDAP method R_g ≈1.7 Å and r_si=2.087 Å says about the satisfactory character of the models used. Then using R_g ≈1.7 Å we define the average value of positron capture section by defects cm². To estimate the average values of concentration of radiation defects by formula (4) we accept s^-1, cm² and v≈10⁷ cm/s. Thus we receive the value of concentration of radiation defects in silicon of – type with the orientation (100) (Grafutin, Ilyukhina, Myasishcheva, 2005; Grafutin, Ilyukhina, Kalugin et al., 2006) that equals cm^-3, and in silicon of p-type with the orientation (111) (Britkov, Gavrilov, Grafutin et al.,2004; Grafutin, Ilyukhina, Kalugin et al., 2006), cm^-3 (see tab.2-5). On the basis of the above-stated it is possible to suppose that in investigated -type and p-type silicon plates irradiated by protons there can first of all be found radiation defects of type of monovacancies V and their complexes. It is Dot radiating defects with sizes (diameters) of about from 2 up to 10 Å that are the effective centers of positron capture (Varisov, Grafutin, Zaluzhnyi et al., 2007). Thus, positron method allows to estimate effectively the concentration of dot radiation defects in silicon with sizes nm, which is practically inaccessible by means of the existing methods. It should be noted that It was positron methods that allowed to establish the fact that in different defective solids dot defects plays the main role.

Definition of radii of free volumes and their concentration in the monocrystals of quartz irradiated by protons

As it has been shown in our experiments (Grafutin, Zaluzhnyi, Timoshenkov at al., 2008), at the annihilation of completely thermalized p-Ps atoms in monocrystals of quartz in the interval of temperatures 288-633 K the full width of narrow component on its half-height (θ_1/2)_g2 at the intensity θ_g2 makes up about (θ_1/2)_g2 ≈ 1.03–1.25 mrad, and for wide component with intensity I_g1
the full width is θ_1/2 ≈ 10 mrad (see tab. 6).

Table 6

Annihilation Parameters of positrons in quartz at different

temperatures

These data allow to speak about the presence of p-Ps in monocrystals of quartz. The general positronium output in quartz reaches 12 %, and its energy is about 0.025 – 0.06 eV. It is necessary to note that interaction delocalized of p-Ps with the crystal lattice of quartz leads to the occurrence of lateral peaks at angles inversely proportional to the value of the vector of reciprocal lattice. At the same time these lateral peaks can’t be observed in monocrystalls of quartz with the highest concentration of impurities (Grafutin, Zaluzhnyi, Timoshenkov at al., 2008).

Evidently, this circumstance says that atom p-Ps in this case is localized in monocrystals of quartz with the highest concentration of impurities or radiation defects in the area of certain volume (cavity) with radius that equals the constant of quartz lattice. The average value of cavity radius (see tab.1) modeled by potential hole with radius R with infinitely high potential barrier in which there occurs annihilation in quartz estimated by formula (3) given in tab.6. It should be noted that dependence of intensity I_g2=S₂/S_sum of the narrow component (tab.6) is enough weak, that in general satisfies the theoretical dependence I_g2 received in works (Goldanskii, 1968; Grafutin, Prokopiev (2002); Prokopiev, Timoshenkov, Grafutin et al.,1999; Grafutin, Zaluzhnyi, Timoshenkov et al., 2008). Here S₂ is a coincidence counting rate, that is the area corresponding intensity I_g2 in ADAP spectra, and S_sum is a total number of coincidences. From tab.6 we can see that radiuses of localization of p-Ps atom depend on temperature and vary in temperature interval from 288 K to 633 K from 16,3 Å at 288 K up to 13,3 Å at 633 K. The explanation of such abnormal dependence of R, which is difficult to explain within the framework of the used evaluation model, can be made within the framework of the concept of quasi-particle state of Ps caused by Ps – phonon interaction of this localized atom with oscillatory states of defects of crystal structure (Prokopiev, 1987; Ikari, Fujiwara, 1979). Here the effective weight of Ps decreases with rise of temperature. It is can be nothing but the quantum effect caused by the attenuation of quasi-particle state of positronium in a crystal. Such effect leads to higher values of , and consequently to lower R (see equation (2) and tab.5). Then using the data tab.5 we define the concentration of capture centers in quartz, where R ≈ 12∙10^-8cm, I_g2≈0.03, cm^-3. According to these data it is possible to suppose that the effective free centers (areas of positronium capture) are most likely to be vacancies or divacancies, which appear as a result of elastic stress caused by interstitial impurities and radiation disruptions in the volume of quartz crystal (Grafutin, Zaluzhnyi, Timoshenkov at al., 2008).

Definition of radii of free volumes of pores and their concentration in powders of quartz

In case of powders of quartz ADAP spectra decomposed into three components with intensities I_gi and widths (tab.7).

Table 7

Results of processing experimental data of samples of quartz powders by ACARFIT program

The component with intensity I_gi and width is referred to positron annihilation on valence electrons of quartz (most likely on free electrons of oxygen anions of quartz and from the bound states of quasiatomic systems of positron-anion (Bartenev, Tsyganov, Prokopiev, 1971 )). The components with intensities I₂, I_g3 and widths , are referred to p-Ps annihilation, the various type grasped by traps of various kind with radii R_g2, R_g3 in the area of powder. In this case to evaluate radii R_g2, R_g3 there is used the formula (3). So for mrad, %, Å we receive the average concentration of traps of g₂ type that equals cm^-3 ; and for mrad, %, Å for traps of g₃ type – cm^-3. On the basis of these data it is possible to make the assumption that to the traps of g₂ type refer p-Ps capture centers in surface areas of quartz, and to the traps of g₃ type – inter grain free volumes of large radiuses.

Thus, the researches of positron annihilation in powders of quartz show that positrons probe effectively various free volumes in the samples of quartz.

CONCLUSION

With the ADAP method there are defined chemical composition of environment in an annihilation space: on external valence electrons of a silicon atoms pore “wall”, the sizes and the concentration of nanodefects in a number of nanomaterials: in monocrystal silicon plates and in monocrystals of quartz irradiated by protons, in porous silicon, and also in powders of quartz.

References

Arefiev K.P., Vorobiev S.A., Prokopiev E.P. (1983). Positronics in radiation material science of ionic structures and semiconductors. Energoatomizdat, Moscow, Russia.

Arefiev, K.P., Prilipko, V.I., Prokopiev, E.P., Fedorov V.A. (1983). News High schools. Physics (Rus.), 8, 117-120.

Babichev, A.P., Babushkina, N.A., Bratkovsky, A.M. (1991). Physical values. Grigorieva I.S., Melikhova E.Z.(eds.) М.: Energoatomizdat, Moscow, Russia.

Bartenev, G.M., Tsyganov, A.D., Prokopiev, E.P., Varisov A.Z.
(1971).
Annihilation of positrons in ionic in ionic crystals. Uspekhi-Physics 103 (2), 339-354.

Batavin V.V., Druzhkov А.P., Garnak A.E., Mokrushin A.D., Prokopiev E.P., Hashimov F.R (1980).
Microelectronics, 9(11), 120-122.

Batavin V.V., Prokopiev E.P., Salmanov A.R., Funtikov Yu.V. (1982). About a problem of definition of charging states of oxygen in silicon by a method of positron annihilation. 111. – TSNII “Electronics”. 3475.

Boorguen H. and Lanno M.(1985). Dot defects in semiconductors. Experimental aspects. Mir, Moscow, Russia.

Britkov, O.M., Gavrilov, S.A., Grafutin, V.I., Dyagilev, V.V., Kalugin, V.V., Ilyukhina, O.V., Myasishcheva, G.G., Svetlov-Prokopiev, E.P., Timoshenkov, S.P., Funtikov, Yu.V. (2004). Application of a method of positron annihilation spectroscopy for research of defect structure of solid. Questions of a nuclear science and technics (Sarov). Sulfurs. Theor. and appl. (Rus.). 3, 40-50.

Britkov O.M., Gavrilov S.A., Grafutin V.I., Kalugin V.V., Timoshenkov A.S., Ilyukhina O.V., Myasishcheva G.G., Тимошенков А. S., Svetlov-Prokopiev E.P., Timoshenkov, S.P., Grigoriev D.K., Funtikov Yu.V. (2007). Positron annihilation spectroscopy and property of porous silicon. Petersburg journal of electronics (Rus.), №3, 15-28.

Dannefaer S. (1987). Defect and oxygen in silicon studied by positrons. Phys. stat. sol. (a),102 (2), 481-491.

Druzhkov A.P., Perminov D.A. (2007). Chapter 5. Chacterization of Nanostructural Features in Reactor Materials Using positron annihilation spectroscopy. In: NuclearMaterials Devolopments. Ed. J.F.Keister, North Science Publishers, Inc.

Eldrup M., Lightbody D., Sherwood J. N. (1981). The temperature dependence of positron lifetimes. Chem. Phys., 1981, V. 63(1), 51-58. See also http://positron.physik.uni-halle.de/talks/IMPRS_Lecture_positrons_in_nanoporoes.pdf

Fedorov V.A., Prilipko V.I., Prokopiev E.P., Arefiev K.P.
(1982). News High schools. Physics (Rus.), 5, 40-43.

Gavrilov S.A., Grafutin V.I., Ilyukhina O.V., Myasishcheva G.G., Prokopiev E.P., Timoshenkov S.P., Funtikov Yu.V. (2005). Direct experimental supervision of positronium atom in porous silicon by method of positron annihilation spectroscopy. Letters in JETP (Rus.), 81(11-12), 680-682.

Goldanskii V.I.
(1968).
Physical chemistry of a positron and positronium. Nauka, Moscow, Russia.

Grafutin V.I., Ilyukhina O.V., Myasishcheva G.G., Каlugin V.V., Prokopiev E.P., Timoshenkov S.P., Khmelevskii N.O., Funtikov Yu.V.
(2005).
Researches by a method of positron annihilation spectroscopy of defects in the silicon irradiated by protons. Microelectronics, 34(3), 218-224.

GrafutinV.I., Zaluzhnyi A.G., Timoshenkov S.P., Britkov O.M., Ilyukhina O.V., Myasishcheva G.G., Prokopiev E.P., Funtikov Yu.V.(2008).
Research of positron states and nanoobjects in the monocrystals of quartz irradiated by protons. Positronium atom in quartz. JETP, 133(3), 723-734.

Grafutin V.I., Zaluzhnyi A.G., Timoshenkov S.P., Britkov O.M., Ilyukhina O.V., Komlev V.P., Myasishcheva G.G., Prokopiev E.P., Funtikov Yu.V. (2008). Research of radiating infringements in the monocrystals of quartz irradiated by protons. Journal of Surface Investigation, Synchrotron and Neutron Techniques, 7, 10-18.

Grafutin V.I., Prokopiev E.P.
(2002).
Positron annihilation spectroscopy in materials structure studies. Physics–Uspekhi, 172(1), 67-74.

Grafutin V.I., Ilyukhina O.V., Kalugin V.V., Myasishcheva G.G., Prokopiev E.P., Funtikov J.V., Timoshenrov An., Grigoriev D.K., Timoshenrov S.P. (2006). Research of positron states and defects in the silicon irradiated by protons. Physics and chemistry of processing of materials, 5, 5-12.

Gregory Roger B. J. (1991). Free-volume and pore size distributions determined by numerical Laplace inversion of positron annihilation lifetime data. Appl. Phys., 70, 4665-4670.

Gusev A.I. (2005) Nanomaterialy, Nanostruktury, nanoterhnologii. (Nanomaterials, Nanostructure, nanotechnology). Fizmatlit, Moscow, Russia.

Jean Y.C. (1990). Positron annihilation spectroscopy for chemical analysis: A novel probe for microstructural analysis of polymers. Microchem. J., 42(1), 72-102.

Ikari H., Fujiwara K.
(1979).
Positronium atom in - quartz. J. Phys. Soс. Japan, 46(1), 92-101.

Kozlov V.A., Kozlovskii V.V. (2001). Doping of semiconductors by radiating defects at an irradiation protons and alpha-particles. Semiconductors, 35(7), 769-793.

Kozlovskii V.V., Kozlov V.A.. Lomasov V.N.
(2000). Modifying of semiconductors by bunches of protons, Semiconductors, 34(2), 128-147.

Krause-Rehberg R., Leipner H.S.
(1999).
Positron Annihilation in Solids. Defect Studies. Springer, Berlin, Germany.

Prilipko V.I., Prokopiev E.P. (1980). Positron annihilation as investigation method of study of materials. Elektronnaya promyshlennost (Electronics industry), 11-12, 20-22.

Prokopiev E.P. (1993). Journal of Surface Investigation, Synchrotron and Neutron Techniques, 10, 91-94.

Prokopiev E.P., Timoshenkov S.P., Grafutin V.I., Myasishcheva G.G., Funtikov Yu.V. (1999). Positronics of ionic crystals, semiconductors and metals. MIET, Moscow, Russia.

Prokopiev E.P. (1996). Features of definition of free volumes and their distribution on radiuses in technically important materials by method of PATS spectroscopy. 46 Meeting on nuclear spectroscopy and structure of a nuclear nucleus. Theses. Reports. St.-Petersburg: PIYAF, 377.

Prokopiev E.P., Grafutin V.I., Timoshenkov S.P., Funtikov Yu.V. (2008). Possibility of research of porous systems and nanomaterials by method of positron annihilation spectroscopy. Journal of Defect Investigations, 9, 25-32.

Prokopiev E.P. (1990). Diffusion and annihilation model of disintegration of positron states on spherical defects in metals. Letters in JTP 16(24), 6-10.

Prokopiev E.P.
(1981).
Simple model of the bond state of a positron on vacancies of metals. In: Radiating defects in metals. Materials 2 All-Union meetings. Alma-Ata. 1980. Nauka, Alma-Ata, USSR.

Prokopiev E.P. (1983). Ps localized in a crystal., In: TSNII “Electronics”. Р-3634. МRС VIMI ” Technics, technology, economy “. № 9. NIIMV. Moscow, USSR.

Prokopiev E.P.
(1987).
Annihilation of positrons on A-centers in silicon . In: Theses of reports ” 37 Meeting on nuclear spectroscopy and structure of a nuclear nucleus”. Nauka, Leningrad, USSR

Puff, W., Dannefaer, Masher, P., Kerr D.P. (1987). Defect characteristics in different crystallographic directions in Cz-Si as a function of doping and annealing. Phys. stat. sol. (a.), 102(2), 527-531.

Shantarovich V.P., Yampolskii C., Kevdina I. (1994). Free volume and time of a life of positronium in polymeric systems. Chemistry of high energy, 28(1), 53-59.

Varisov A.Z., Grafutin V.I., Zaluzhnyi A.G., Ilyukhina O.V., Myasishcheva G.G., Prokopiev E.P., Timoshenkov S.P., Funtikov Yu.V. (2007). About diffusion of positrons and positronium in nanomaterials. Journal of Surface Investigation, Synchrotron and Neutron Techniques, 11, 1-8.

Wurschum R.,
Schaefer H.-E. (1993). Mechanical properties and deformation behavior of materials having ultrathine microstructure. Eds. Nastasi M.A., Parkin D.M., Gleiter H.,: Kluver Academic Press, Dordrechts, The Netherlands.

Wurschum R., Schaefer H.-E. (1996). Nanomaterials: Synthesis, Properties, and Applications. Eds. Edelstein A.S. and Cammarata R.C. Institute Physics. Bristol.UK.