Явления неравновесных фазовых переходов (НФП) в полупроводниках лежат в основе работы ряда важных приборов, используемых в современной технике. Для изучения нелинейной динамики полупроводники представляют собой наиболее подходящие модельные системы.
Возможность существования фазового перехода в неравновесном квазидвумерном электронном газе впервые была показана в работах [1, т.38, с.3478], [2, т.38, с.2565]. Дальнейшее изучение указанных явлений было показано в работах [3, с.22], [4, с.6], [5, с.2]. В последних работах использовался результат расчета плотности тока для газа, косинусоидальный закон дисперсии которого является неаддитивным и непараболическим [3, с.22].
Для вычисления плотности тока можно использовать кинетическое уравнение Больцмана в -приближении. Но есть и другой способ определения выражения для плотности тока, который основывается на простейшей модели проводимости – модели Друде. Далее покажем, что выражения для плотности тока, полученные каждым из способов, совпадают.
Сначала рассмотрим модель Друде. Речь пойдет об электронах проводимости, которые образуют электронный газ. В этой модели кулоновским взаимодействием между электронами пренебрегают.
Электроны при своем движении сталкиваются с примесями, с неоднородностями, с колебаниями решетки и т. д., которые, в общем, называются рассеивателями. Моменты столкновения предполагаются случайными, т. е. можно предсказать только вероятность столкновения электрона с этими носителями.
При включении электрического поля, под действием которого электронный газ начинает перемещаться, происходит перенос заряда, т. е. течет электрический ток. Один заряд за 1 сек. через площадку в 1 см² переносит ток, равный . Необходимо подсчитать плотность тока, создаваемого многими электронами. В модели Друде вводится понятие некого среднего электрона, скорость которого определяется следующим образом
где n – число электронов; - скорость i-го электрона. В момент столкновения предполагается, что электрон полностью теряет приобретенный от поля импульс и принимает значение, равное “тепловому” импульсу.
Применительно к среднему электрону
причем необходимо определить. Определим эту скорость.
Пусть - момент времени, соответствующий последнему соударению электрона перед временем t. Тогда скорость одного электрона
где - вероятность того, что последнее соударение перед моментом времени произошло в момент времени , а - скорость, которую набрал электрон за время .
Вклад в скорость среднего электрона дают разные электроны, т. е. надо учесть все моменты столкновения. Поэтому
зависит от условий задачи (какое поле существует в данный момент).
Таким образом, остается определить . Это есть не что иное, как вероятность того, что столкновение произошло в данном интервале , в нашем случае для имеем
Тогда
Зная (3), можно определить электрический ток (1), протекающий через образец.
Найдем выражение для . Для этого сначала надо вычислить . Что далее и будет сделано.
Для предлагаемого [3, с.22], [4, с.6]энергетического спектра получаем выражение для скорости в виде
Для нахождения скорости как функции времени воспользуемся знаниями курса электродинамики
,
где - квазиимпульс.
Проинтегрировав это уравнение по t, получаем
Для и соответственно получаем , . Введя обозначение , получим
Подставляя (4) в (3), имеем
Используя тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму и учитывая усреднение по ,которое равно получим
,
где - некоторый коэффициент, введенный для удобства вычислений. Каждый из интегралов, стоящих в квадратных скобках, является табличным. В результате приходим к следующему выражению для
С учетом и выражения для имеем
После преобразования выражения в скобках окончательно получаем для
Подставляя (5) в (3) и вводя обозначение - проводимость электрического поля, для плотности тока имеем
где
Выражение для получается путем замены , т. е.
Аналогичный результат для плотности тока получается с помощью кинетического уравнения Больцмана в -приближении [3, с.22], [4, с.6].
Библиографический список
- Эпштейн Э. М., Шмелев Г. М., Маглеванный И. И. Неравновесные фазовые переходы в квазидвумерном электронном газе в электрическом поле. // ФТТ, 38, 3478 (1996)
- Шмелев Г. М., Эпштейн Э. М. Спонтанное возникновение поперечной ЭДС в проводнике с неаддитивным законом дисперсии. // ФТТ, 38, 2565 (1992)
- Горшенина Т.А. Неравновесные фазовые переходы и стохастический резонанс в квазидвумерном электронном газе. //Диссертация на соискание ученой стпени кандидата физико-математических наук, Волгоград, 2006
- Горшенина Т.А. Неравновесные фазовые переходы и стохастический резонанс в квазидвумерном электронном газе. // Автореферат диссертации на соискание ученой стпени кандидата физико-математических наук, Волгоград, 2006
- Горшенина Т.А., Шмелев Г.М. Неравновесный квазидвумерный электронный газ как сегнетоэлектрик // Нано- и микросистемная техника, №7, 2006