Определение всех используемых понятий, терминов и обозначений можно найти в работах . Компакт – компактное хаусдорфово пространство, не обязательно метризуемое. Все пространства предполагаются вполне регулярными. В работе рассматриваются лишь такие спектры, проекции которых являются открыто-замкнутыми сюръективными отображениями.
Определение . Пусть . Оператор продолжения е открытых множеств пространства называется регулярным, если е удовлетворяет условиям:
а) для любого открытого подмножества U пространства X;
б) если U и V – открытые подмножества пространства X и , то для любых .
Определение. Отображение называется параллельным пространству Z, если существует регулярное вложение такое, что .
Следующее утверждение является основным результатом работы.
Теорема 1. Пусть - непрерывный вполне упорядоченный спектр, причем сетевой вес и все проекции параллельны пространству сетевого веса , - всюду плотное подпространство и - непрерывное отображение на пространство , причем характер . Тогда сетевой вес .
Доказательству теоремы 1 предпошлем несколько утверждений технического характера, которые, тем не менее, представляют и самостоятельный интерес.
Пусть - непрерывный вполне упорядоченный спектр. Для любого через обозначим множество, содержащее 1 и все те непредельные , что
Лемма 1. Естественное вложение предельного пространства непрерывного вполне упорядоченного спектра в произведение его элементов является регулярным.
Доказательство. Пусть - непрерывный спектр с открытыми проекциями и - произведение элементов спектра . Обозначим через базу пространства из открытых множеств конечного типа. Для каждого множество
обозначим и положим
Ясно, что не является предельным и , но тогда - противоречие. Покажем, что если , то для любых . Точку , принадлежащую множеству
Пусть . Предположим, что для всех координаты искомой точки найдены, причем
1-й случай. . Пусть . Так как отображение открыто-замкнуто, то
и
Выберем некоторую точку
2-й случай. - предельное порядковое число. Выберем точку такую, что для любого и положим . Ясно, что
Покажем, что точка искомая. В самом деле, так как и для любого , то для любого и любого отрытого множества такого, что выполняется и .
Естественное вложение в обозначим через и для каждого открытого множества положим
Лемма 2. Пусть - непрерывный вполне упорядоченный спектр, причем и для любого отображение параллельно пространству сетевого веса . Тогда существует регулярное вложение пространства в тихоновское произведение , причем сетевой вес для любого .
Доказательство. Для каждого мы построим регулярное вложение пространства в тихоновское произведение пространств сетевого веса . Построение это проведем по трансфинитной индукции. Положим и .
Допустим, что для некоторого и всех построение проведено.
1-й случай. . Пусть - регулярное вложение в . Ясно, что вложение пространства в пространство регулярно. Также очевидно, что вложение пространства в пространство регулярно. Положим и .
2-й случай. - предельный ординал. Обозначим через естественное вложение предельного пространства спектра в произведение и положим . Так как вложения и регулярны, то регулярно вложение . Положим и . Индукция завершена.
Пусть - естественное вложение в . Положим . Поскольку вложения и регулярны (для это следует из леммы 1), то регулярно вложение пространства в тихоновское произведение . Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1. По лемме 2 существует регулярное вложение пространства в тихоновское произведение , причем для любого . Так как вложение пространства в регулярно, то отображение пространства на пространство регулярно относительно . Следовательно, [1]. Теорема доказана.
Естественным продолжением обсуждаемых вопросов является следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть - непрерывный вполне упорядоченный спектр из компактов, причем и все проекции параллельны пространству веса , - замкнутое подмножество , причем . Тогда существует замкнутое подмножество такое, что .
Доказательство. Пусть - определяющая система окрестностей множества в пространстве и база множества в , причем . Для каждого через обозначим подсемейство семейства , состоящее из всех элементов , содержащихся в , и положим . Ясно, что для любого множество не пусто. Так как семейство центрировано, то . Выберем точку . По лемме 2 существует регулярное вложение пространства в тихоновское произведение , причем для каждого . Для каждого через обозначим подмножество мощности такое, что замыкание в не зависит от и положим . Ясно, что . Положим и покажем, что . Допустим, что существует точка , не принадлежащая множеству . Выберем такое, что и положим . Так как вложение регулярно (лемма 1), то , и получаем противоречие с тем, что . Таким образом , , а так как - слой в с основанием мощности , то получаем , что . Теорема доказана.
Следствие. Пусть - непрерывный вполне упорядоченный спектр из компактов, причем и все проекции параллельны пространству веса , и . Тогда .
Библиографический список
- Архангельский А.В. Об отображениях всюду плотных подпространств топологических произведений. // Докл. АН СССР. 1971. т. 197. № 4. С. 750 – 753.
- Дранишников А.Н. Абсолютные экстензоры в размерности n и n-мягкие отображения, повышающие размерность. // УМН. 1984. т. 39. вып. 5. С. 55 – 95.
- Широков Л.В. Внешняя характеристика пространств Дугунджи и -метризуемых бикомпактов. // Докл. АН СССР. 1982. т. 263. № 5. С. 1073-1077.
- Широков Л.В. О AE(n)-бикомпактах. // Известия РАН. 1992. т. 56. № 6. С. 1316 – 1327.
- Щепин Е.В. Топология предельных пространств несчетных обратных спектров. // УМН. 1976. т. 31. вып. 5. С. 191-226.
- Shirokov L.V. On some forms of embeddings of topological spaces. // Russian Mathematical Surveys 42, (2), 297-298.
- Широков Л.В. О продолжении непрерывных отображений и аппроксимативной связности // Проблемы современной науки, Центр научного знания «ЛОГОС». 2013. выпуск 9. С. 3–9.
- Широков Л.В. О -бикомпактах и -мягких отображениях. // Сиб. матем. журн. 1992. т. 33. № 2. С. 151-156.
- Широков Л. В. Теория аналитических функций. Аспекты приложений/Л. В. Широков, Н. П. Ямпурин, В. Д. Садков. -Арзамас: АГПИ, 2004. -188 с.
- Trukhmanov V.B. On subdirect sums of abelian torsion-free groups of rank 1. // Journal of Mathematical Sciences. 2008. Vol. 154. № 3. С. 422-429.
- Трухманов В.Б. Подпрямые суммы абелевых групп без кручения ранга 1. // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т. 13. № 3. С. 209-221.