УДК 536.248.2

ОБРАЗОВАНИЕ ЛЬДА ПРИ КОНТАКТЕ ХОЛОДНОГО ТЕЛА И ЖИДКОСТИ

Дмитриев Владислав Леонидович
Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета

Аннотация
В работе рассматривается процесс образования и роста толщины слоя льда при контакте холодного твердого тела с жидкостью. Задача имеет подвижную границу и рассматривается в плоскоодномерном приближении, получено ее автомодельное решение. В процессе решения задачи определено условие, при выполнении которого лед на границе раздела холодного тела и воды не образуется.

Ключевые слова: автомодельное решение, лед, образование льда, подвижная граница, уравнение теплопроводности


THE FORMATION OF ICE UPON TO CONTACT OF THE COLD BODY AND FLUID

Dmitriev Vladislav Leonidovich
Sterlitamak branch of the Bashkir state University

Abstract
In this work examines process of formation and growth of the thickness of the ice layer at the boundary cold of the solid with a liquid. The problem is considered in one-dimensional approximation and has a movable boundary, obtained self-similar solution. In the process of solving the problem defined the criteria by which the ice at the boundary of cold body and water is not formed.

Keywords: a movable boundary, ice, ice formation, self-similar solution, the heat equation


Рубрика: Физика

Библиографическая ссылка на статью:
Дмитриев В.Л. Образование льда при контакте холодного тела и жидкости // Исследования в области естественных наук. 2015. № 3 [Электронный ресурс]. URL: http://science.snauka.ru/2015/03/9716 (дата обращения: 29.04.2017).

Хотя лед и относится к числу давно известных материалов, однако его свойства изучены еще далеко не достаточно. Именно поэтому многие современные исследования направлены на решение различных проблем, связанных с образованием льда.
Так, проблемы защиты искусственных и природных покрытий от различных видов намерзания, создающего угрозу жизнедеятельности людей и безопасной эксплуатации технических сооружений, рассмотрены в работе [1].
В работе [2] развивается серия публикаций о конечноэлементном моделировании контактного взаимодействия ледяного покрова с некоторыми конструкциями и средами. Проведен сравнительный анализ результатов моделирования контакта ледяных образований с учетом гидродинамики на базе выбранного CAE-алгоритма контактного взаимодействия льда с водой.
В работе [3] рассмотрена математическая модель замерзания воды в замкнутом объеме с учетом растворенных газов, учитывающая изменение сжимаемости среды из-за выделения газа. Разработана математическая модель замерзания воды, учитывающая влияние выделения растворенного газа на динамику роста давления. Создана программа численного решения поставленной задачи с фазовым переходом «вода – лед». Выявлен ряд закономерностей в динамике замерзания и роста давления в замкнутых объемах, не описывающихся ранее другими моделями, не учитывающими фактор растворенного газа.
В статье [4] проанализирован ряд алгоритмов современных CAE-систем для целей конечноэлементного моделирования контактного взаимодействия льда и металлической конструкции, а также отдельных ледяных образований между собой. Обсуждены особенности применения этого алгоритма в задачах прогнозирования поведения льда.
Некоторые другие задачи с подвижными границами также рассмотрены в работах [5, 6], посвященных изучению разложения газовых гидратов в природных пластах.
В рассматриваемой работе автором поставлена простая задача (с подвижной границей) одномерного моделирования процесса образования льда при контакте холодного тела и жидкости на основе уравнений теплопроводности.
Рассмотрим полубесконечное холодное твердое тело, контактирующее с жидкостью (например, водой). В плоскости контакта тела с жидкостью (координата ) начинается процесс образования льда. При этом мы имеем дело с подвижной границей, на которой происходит прирост нового слоя льда (координата ). Схема образования льда приведена на рис. 1. Здесь в области  находится твердое тело, в области  расположен слой образующегося льда, а в области  находится жидкость.
Необходимо выяснить, как изменяется координата , определяющая толщину слоя льда, со временем. Для этого нужно решить температурную задачу для контактирующих сред.


Рисунок 1 – Схема образования льда с подвижной границей

Для описания распределения температур в рассматриваемых зонах воспользуемся уравнениями теплопроводности:
 (1)
где  – плотность,  – удельная теплоемкость,  – теплопроводность; нижний индекс  относится к твердому телу, льду и жидкости соответственно.
На границах раздела сред «твердое тело – лед» и «лед – жидкость» имеют место условия равенства температур и тепловых потоков, математическая запись которых имеет вид:
 (2)
где  – удельная теплота плавления льда,  – температура кристаллизации. Температуру  на границе раздела «твердое тело – лед» будем считать постоянной .
Будем считать, что в начальный момент времени  температуры твердого тела и жидкости однородны и равны соответственно  и .
В такой постановке задача допускает введение автомодельной переменной  в виде , где  – коэффициент температуропроводности льда. Координата границы, на которой происходит образование льда, в этом случае найдется как , а скорость ее движения  найдется как .
Система уравнений теплопроводности (1) в рамках введенных обозначений примет следующий вид:
 (3)
Здесь  и  – коэффициенты температуропроводности для твердого тела и жидкости соответственно.
Решения этой системы имеют вид:
 (4)
В решениях (4) неизвестными величинами являются координата границы льдообразования  и температура . Определить их можно на основе системы условий (2) баланса тепловых потоков на границах раздела сред, предварительно записанной в автомодельных координатах. С учетом полученных решений (4) для распределения температур, система (2) примет вид:
 (5)
Записанная система уравнений легко решается средствами системы MathCAD.
На основе полученных решений о распределении температур в системе «твердое тело – лед – жидкость» проанализируем влияние параметров такой системы на динамику образования слоя льда.
На рис. 2 показана зависимость температуры в системе «железо – лед – вода» от автомодельной координаты  при различных начальных температурах твердого тела. Начальная температура воды во всех случаях . Линия 1 соответствует температуре железа , линия 2 – температуре железа , и линия 3 – температуре железа . При этом для соответствующих температур и координат границы образования льда имеем:  (линия 1);  (линия 2);  (линия 3). Толщина слоя льда по истечении 24 часов в случае  будет составлять около 22,1 см, а в случае  – около 15,6 см.


Рисунок 2 – Профили температур для системы «железо – лед – вода»: линия 1 – , линия 2 – , линия 3 – 

Из графиков видно, что выравнивание температур в твердом теле для всех случаев примерно одинаково, тогда как градиент падения температуры больше в случае более низких температур тела. Выравнивание температур во льду и воде происходит достаточно быстро.
На рис. 3 показана зависимость температуры в системе «твердое тело – лед – вода» от автомодельной координаты для различных материалов твердого тела. Начальная температура воды во всех случаях , начальная температура твердого тела . Линия 1 соответствует алюминию, линия 2 – меди, и линия 3 – железу. Соответствующие температуры и координаты границ образования льда: для линии 1 – , для линии 2 – , для линии 3 – . Толщина слоя льда через 24 часа в этих трех случаях при  будет составлять 23,3 см, 24,4 см и 22,1 см соответственно.


Рисунок 3 – Профили температур для системы «твердое тело – лед – вода»: линия 1 – алюминий, линия 2 – медь, линия 3 – железо

Из графиков также видно, что выравнивание температур в твердом теле для разных случаев сильно отличается: быстрее всего выравнивается температура в железе. Это объясняется более низким коэффициентом теплопроводности железа по сравнению с алюминием и медью. Поэтому температурная волна в железе не успевает достаточно глубоко проникнуть.
На рис. 4 показана зависимость координаты границы образования льда  от начальной температуры твердого тела  для систем «медь – лед – вода» (линия 1) и «железо – лед – вода» (линия 2). Начальная температура воды . Видно, что для одних и тех же начальных температур твердого тела координата границы образования льда больше в случае меди, что, как уже было сказано выше, объясняется более высокой теплопроводностью меди. С ростом температуры твердого тела отмеченная разность координат границ образования льда постепенно уменьшается.


Рисунок 4 – Зависимость координаты границы образования льда  от температуры твердого тела  для систем «медь – лед – вода» (линия 1) и «железо – лед – вода» (линия 2).

Таким образом, получили ожидаемые выводы о том, что при одной и той же температуре холодного твердого тела и жидкости скорость роста ледяного слоя сильно зависит от теплопроводности твердого тела: для более теплопроводного твердого тела процесс льдообразования идет более интенсивно.
Кроме того, в работе получено, что образование ледяного слоя возможно только в случаях, если температуры твердого тела и жидкости удовлетворяют следующему условию. (6)В частном случае, когда в качестве жидкости выступает вода, условие образования льда (6) может быть переписано в виде

,

т.к. для воды температуры  и  в этом случае одинаковы, и равны ; при этом  и  выражены в градусах Цельсия.
Так, например, в случае, когда в качестве холодного твердого тела выступает железо при температуре , образование льда на границе раздела «железо – вода» возможно, если только температура воды удовлетворяет условию . В противном случае лед образовываться не будет.
На основе приведенной простейшей модели образования льда при контакте жидкости с холодным телом, можно строить другие более сложные модели. Например, можно учитывать наличие источников тепла, рассматривать ограниченные области, рассмотреть указанную задачу в условиях радиальной симметрии, и т.д.


Библиографический список
  1. Лапшин В.Б., Палей А.А., Жохова Н.В., Соколов В.А., Смирнов А.Н., Балышев А.В. Экспериментальные исследования методов защиты от обледенения // Исследовано в России: электронный научный журнал. 2007. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2007/107.pdf
  2. Лобанов В.А. Гидродинамика льда в задачах с конечноэлементной постановкой // Дифференциальные уравнения и процессы управления: электронный журнал. 2010. №1. – С. 10-17.
  3. Самылова Ю.А. Численное моделирование замерзания воды с растворенным газом в замкнутых объемах: автореф. дис. … канд. физ.-мат. наук. – Тюмень: Сургутский гос. пед. ун-т. 2010. – 18 с.
  4. Лобанов В.А. Моделирование взаимодействия льда с конструкциями // Вестник научно-технического развития. 2011. № 10 (50). – С. 31 – 39.
  5. Шагапов В.Ш., Насырова Л.А., Потапов А.А., Дмитриев В.Л. Тепловой удар под воздействием энергии излучения на пористую среду, частично заполненную газогидратом // Инженерно-физический журнал. 2003. Т.76. №5. – С. 47-53.
  6. Дмитриев В.Л., Потапов А.А. Инжекция горячего газа как энергоэффективный способ добычи газа из газогидратного месторождения // Сборник научных трудов II Всероссийской научно-технической конференции с международным участием «Высокие технологии в современной науке и технике». Т.2. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета. 2013. – С. 365-368.


Все статьи автора «Дмитриев Владислав Леонидович»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: