УДК 511

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТСУТСТВИЯ НЕЧЁТНЫХ СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ

Миронов Фёдор Семёнович
Самарский государственный университет путей сообщения
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики
E-mail: moislu2911@yandex.ru

Аннотация
В данной работе доказывается, что нечётные совершенные числа не существуют.

Ключевые слова: нечётные совершенные числа, совершенные числа, теория чисел


PROOF OF THE ODD PERFECT NUMBERS ABSENCE

Mironov Fyodor Semyonovich
Samara State University of Railway Transport
Phd in physics and mathematics, Assistant Professor of higher mathematics chair

Abstract
This article proves that odd perfect numbers do not exist.

Keywords: odd perfect numbers, perfect numbers, theory of numbers


Рубрика: Общая рубрика

Библиографическая ссылка на статью:
Миронов Ф.С. Доказательство отсутствия нечётных совершенных чисел // Исследования в области естественных наук. 2013. № 7 [Электронный ресурс]. URL: http://science.snauka.ru/2013/07/5558 (дата обращения: 29.04.2017).

Вопрос о существовании нечётных совершенных чисел относится к самым старейшим в математике вопросам без ответов. В данной работе доказывается, что нечётные совершенные числа не существуют.

Натуральное совершенное число а определяется равенством

,    (1)

где      – сумма всех делителей числа а.

При доказательстве будут использованы леммы 1 и 2.

Лемма 1. Если натуральные числа q и t

,

где      – различные простые числа, tj – различные простые числа, взаимно просты, то

,

где

,

.

Доказательство леммы 1 приводится, например, в [1, с.15] и основывается на единственности представления каждого натурального числа в виде произведения простых чисел, доказательство чего приводится, например, в [2, с.10].

Лемма 2. Нечётное совершенное число а, если оно и существует, должно быть равно

,     (2)

где

,     (3)

 – различные простые числа,  – простое число, причём .

Доказательство

В [1, с.17-19] доказано, что нечётные числа вида:

  1. , где е – число из (3);
  2. , где q – простое число, ;
  3. , где pq – различные простые числа, ,

    не являются совершенными.

  4. Допустим, что число 

    ,     (4)

    где      – различные простые числа, является совершенным. Тогда из (1) на основании леммы 1 имеем равенство

    .

    Выражение в каждой скобке является чётным числом, т.е. левая часть равенства содержит чётный множитель , тогда как правая часть равенства содержит чётный множитель 2. Так как подобное равенство невозможно, то полученное противоречие доказывает, что число из (4) не является совершенным.

  5. Допустим, что число

    ,     (5)

    где     е – число из (3), а  – число из (4), является совершенным. Тогда из (1) на основании леммы 1 имеем равенство

    .

    .

    Выражение в каждой квадратной скобке является чётным числом, т.е. левая часть равенства содержит чётный множитель 
    , тогда как правая часть равенства содержит чётный множитель 2. Так как подобное равенство невозможно, то полученное противоречие доказывает, что число из (5) не является совершенным.

  6. После проведённого рассмотрения единственно возможным видом нечётного совершенного числа является составное число вида

    ,     (6)

    где     е – число из (3), q – простое число, .

    Итак, допустим, что нечётное совершенное число а имеет вид из (6). Тогда с учётом леммы 1 равенство (1) запишется в виде

    ,     (7)

    где

    ,

    а) , б) .     (8)

    Обозначив , где , перепишем L в виде

    ,     (9)

    где

    .

    Равенство (7) с учётом (9) перепишется в виде

    .

    Так как правая часть этого равенства – нечётное натуральное число, то получаем, что  и  – нечётные числа, что возможно, если только  и , где . Последнее равенство перепишется в виде

    ,     (10)

    где

    .

    Покажем теперь, что в (3) . Перепишем равенство (10) в виде

    ,     (11)

    где

    .     (12)

    При записи (12) использовалась формула суммы геометрической прогрессии.

    Дробь  является убывающей последовательностью от параметра . Действительно,

    .

    Из (12) получим:

        (13)

    Так как – возрастающая последовательность от с, то минимальное значение  равно

    .

    Поскольку , то из (11) с учётом (13) следует неравенство

    .     (14)

    Допустим, что m = 1. Тогда для дроби  с учётом (8) получим цепочку сравнений:

    .

    Но, учитывая (14), дробь не может быть меньше . Из полученного противоречия следует, что . Лемма 2 доказана.

    Возможный вид нечётного совершенного числа а из (2) был ранее получен Л. Эйлером.

    Теорема. Не существует нечётных совершенных чисел.

    Доказательство

    Так как простое число  не делится нацело на , то из (10) с учётом (8а) следует, что

    ,     (15)

    где     . Из (15) видно, что параметр с возрастает с увеличением .

    Покажем, что  является возрастающей последовательностью от . Действительно,

    ,

    где

    .

    Следовательно, с учётом вышесказанного, z является возрастающей последовательностью от .

    Но из (8) следует, что

    ,

    откуда видно, что z является убывающей последовательностью от . Полученное противоречие доказывает теорему.

    Теорема доказана.


Библиографический список
  1. Д.Ф. Базылев. Справочное пособие к решению задач: диофантовы уравнения. – Минск: НТЦ «АПИ», 1999. – 160 с.
  2. Э. Трост. Простые числа. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. – 135 с. (перевод с немецкого).


Все статьи автора «Миронов Фёдор Семёнович»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

2 комментариев к “Доказательство отсутствия нечётных совершенных чисел”

  1. 10.08.2014 в 13:25

    Доказательство очень простое в техническом плане, но в некоторых местах недостаточно прозрачно в идейном.

    Некоторые замечания:

    1) В формулировке Леммы 2 для условия (3) прямо указано, что m>=2. Поэтому часть доказательства, начиная с:
    (МФС 2)>> Покажем теперь, что в (3) m>=2.
    представляется избыточной. Это опечатка в условии (3)? или в формулировках / доказательствах п.5 и п.6 под e^2 понималось что-то другое?

    2) Следующее утверждение (см. также его аналоги в других местах доказательства) требуют отдельного пояснения:
    (МФС 2)>> Из (15) видно, что параметр $c$ возрастает с увеличением $p^i' \forall i'$.

    В идейном плане не сразу понятно, что стоит за этим утверждением. Например, возникают такие сомнения:

    2.а) Поскольку равенство (15) получено исходя из предположения о свойствах совершенного числа (выполняется равенство (10), как минимум), то (МФС 2), по-видимому, неявно предполагает наличие других (а далее и бесконечного числа) нечётных совершенных чисел.

    2.б) Почему, собственно, при увеличении $p^i'$ должно вырасти $c$? Очевидно, нет. Ведь тогда с изменившимся $c$ простые сомножители могут совершенно иначе перераспределиться между множителями (10). Можно утверждать только, что представление (15) станет совершенно иным.

    Либо же в этом месте доказательства неявно предполагается существование различных нечётных совершенных (см. замечание 2.а) с очень жёстким ограничением на взаимосвязи в их разложении (10), (15). А затем доказывается от противного, что такого быть не может. Но в таком случае этот простой факт не доказывает Теорему.

    Я не уверен в своих сомнениях, поскольку не являюсь экспертом в данной области, но в доказательстве с такой предельно простой техникой надеялся увидеть столь же простую для понимания идею. С учётом важности вопроса было бы очень полезно разжевать идею хотя бы в комментариях (благо, формат электронной версии журнала это позволяет).

  2. 10.09.2014 в 01:06

    К сожалению, не увидел вовремя на форуме dxdy ветку, посвящённую этой статье. Там обсуждение куда более чёткое и лаконичное:
    http://dxdy.ru/topic86591.html
    Дальнейшие обсуждения есть смысл проводить в кругу экспертов, я считаю.

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: