Рисунок 1 – Схема образования льда с подвижной границей

Для описания распределения температур в рассматриваемых зонах воспользуемся уравнениями теплопроводности:
 (1)
где  – плотность,  – удельная теплоемкость,  – теплопроводность; нижний индекс  относится к твердому телу, льду и жидкости соответственно.
На границах раздела сред «твердое тело – лед» и «лед – жидкость» имеют место условия равенства температур и тепловых потоков, математическая запись которых имеет вид:
 (2)
где  – удельная теплота плавления льда,  – температура кристаллизации. Температуру  на границе раздела «твердое тело – лед» будем считать постоянной .
Будем считать, что в начальный момент времени  температуры твердого тела и жидкости однородны и равны соответственно  и .
В такой постановке задача допускает введение автомодельной переменной  в виде , где  – коэффициент температуропроводности льда. Координата границы, на которой происходит образование льда, в этом случае найдется как , а скорость ее движения  найдется как .
Система уравнений теплопроводности (1) в рамках введенных обозначений примет следующий вид:
 (3)
Здесь  и  – коэффициенты температуропроводности для твердого тела и жидкости соответственно.
Решения этой системы имеют вид:
 (4)
В решениях (4) неизвестными величинами являются координата границы льдообразования  и температура . Определить их можно на основе системы условий (2) баланса тепловых потоков на границах раздела сред, предварительно записанной в автомодельных координатах. С учетом полученных решений (4) для распределения температур, система (2) примет вид:
 (5)
Записанная система уравнений легко решается средствами системы MathCAD.
На основе полученных решений о распределении температур в системе «твердое тело – лед – жидкость» проанализируем влияние параметров такой системы на динамику образования слоя льда.
На рис. 2 показана зависимость температуры в системе «железо – лед – вода» от автомодельной координаты  при различных начальных температурах твердого тела. Начальная температура воды во всех случаях . Линия 1 соответствует температуре железа , линия 2 – температуре железа , и линия 3 – температуре железа . При этом для соответствующих температур и координат границы образования льда имеем: ,  (линия 1); ,  (линия 2); ,  (линия 3). Толщина слоя льда по истечении 24 часов в случае  будет составлять около 22,1 см, а в случае  – около 15,6 см.

Рисунок 2 – Профили температур для системы «железо – лед – вода»: линия 1 – , линия 2 – , линия 3 – 

Из графиков видно, что выравнивание температур в твердом теле для всех случаев примерно одинаково, тогда как градиент падения температуры больше в случае более низких температур тела. Выравнивание температур во льду и воде происходит достаточно быстро.
На рис. 3 показана зависимость температуры в системе «твердое тело – лед – вода» от автомодельной координаты для различных материалов твердого тела. Начальная температура воды во всех случаях , начальная температура твердого тела . Линия 1 соответствует алюминию, линия 2 – меди, и линия 3 – железу. Соответствующие температуры и координаты границ образования льда: для линии 1 – , , для линии 2 – , , для линии 3 – , . Толщина слоя льда через 24 часа в этих трех случаях при  будет составлять 23,3 см, 24,4 см и 22,1 см соответственно.

Рисунок 3 – Профили температур для системы «твердое тело – лед – вода»: линия 1 – алюминий, линия 2 – медь, линия 3 – железо

Из графиков также видно, что выравнивание температур в твердом теле для разных случаев сильно отличается: быстрее всего выравнивается температура в железе. Это объясняется более низким коэффициентом теплопроводности железа по сравнению с алюминием и медью. Поэтому температурная волна в железе не успевает достаточно глубоко проникнуть.
На рис. 4 показана зависимость координаты границы образования льда  от начальной температуры твердого тела  для систем «медь – лед – вода» (линия 1) и «железо – лед – вода» (линия 2). Начальная температура воды . Видно, что для одних и тех же начальных температур твердого тела координата границы образования льда больше в случае меди, что, как уже было сказано выше, объясняется более высокой теплопроводностью меди. С ростом температуры твердого тела отмеченная разность координат границ образования льда постепенно уменьшается.

Рисунок 4 – Зависимость координаты границы образования льда  от температуры твердого тела  для систем «медь – лед – вода» (линия 1) и «железо – лед – вода» (линия 2).

Таким образом, получили ожидаемые выводы о том, что при одной и той же температуре холодного твердого тела и жидкости скорость роста ледяного слоя сильно зависит от теплопроводности твердого тела: для более теплопроводного твердого тела процесс льдообразования идет более интенсивно.
Кроме того, в работе получено, что образование ледяного слоя возможно только в случаях, если температуры твердого тела и жидкости удовлетворяют следующему условию. (6)В частном случае, когда в качестве жидкости выступает вода, условие образования льда (6) может быть переписано в виде

,

т.к. для воды температуры  и  в этом случае одинаковы, и равны ; при этом  и  выражены в градусах Цельсия.
Так, например, в случае, когда в качестве холодного твердого тела выступает железо при температуре , образование льда на границе раздела «железо – вода» возможно, если только температура воды удовлетворяет условию . В противном случае лед образовываться не будет.
На основе приведенной простейшей модели образования льда при контакте жидкости с холодным телом, можно строить другие более сложные модели. Например, можно учитывать наличие источников тепла, рассматривать ограниченные области, рассмотреть указанную задачу в условиях радиальной симметрии, и т.д.