О некоторых свойствах пределов обратных спектров топологических пространств

Широков Лев Васильевич — Sat, 12 Jul 2014 06:24:14 +0000

Определение всех используемых понятий, терминов и обозначений можно найти в работах . Компакт – компактное хаусдорфово пространство, не обязательно метризуемое. Все пространства предполагаются вполне регулярными. В работе рассматриваются лишь такие спектры, проекции которых являются открыто-замкнутыми сюръективными отображениями.
Определение . Пусть . Оператор продолжения е открытых множеств пространства  называется регулярным, если е удовлетворяет условиям:
а)  для любого открытого подмножества U пространства X;
б) если U и V – открытые подмножества пространства X и , то  для любых .
Определение. Отображение  называется параллельным пространству Z, если существует регулярное вложение  такое, что .
Следующее утверждение является основным результатом работы.
Теорема 1. Пусть  - непрерывный вполне упорядоченный спектр, причем сетевой вес  и все проекции  параллельны пространству сетевого веса ,  - всюду плотное подпространство и  - непрерывное отображение  на пространство , причем характер . Тогда сетевой вес .
Доказательству теоремы 1 предпошлем несколько утверждений технического характера, которые, тем не менее, представляют и самостоятельный интерес.
Пусть  - непрерывный вполне упорядоченный спектр. Для любого   через  обозначим множество, содержащее 1 и все те непредельные , что

где - предшествующий трансфинит. Если и , то будем говорить, что множество имеет конечный тип.
Лемма 1. Естественное вложение предельного пространства непрерывного вполне упорядоченного спектра в произведение его элементов является регулярным.
Доказательство. Пусть - непрерывный спектр с открытыми проекциями и - произведение элементов спектра . Обозначим через базу пространства из открытых множеств конечного типа. Для каждого множество

обозначим и положим

Так как все проекции спектра являются открытыми отображениями, то множество открыто в для любого . Положим . Покажем, что для любого выполняется , т. е. что семейство является базой пространства . Допустим, что существует такое, что и пусть Выберем наименьшее такое, что существует открытое множество , содержащее , причем .
Ясно, что не является предельным и , но тогда - противоречие. Покажем, что если , то для любых . Точку , принадлежащую множеству

построим по трансфинитной индукции. Наибольшее порядковое число, принадлежащее конечному множеству , обозначим через . Пусть . Для каждого положим .
Пусть . Предположим, что для всех координаты искомой точки найдены, причем

1-й случай. . Пусть . Так как отображение открыто-замкнуто, то

Выберем некоторую точку

и положим . Аналогично поступаем, если . Если и , то выберем произвольную точку и положим .
2-й случай. - предельное порядковое число. Выберем точку такую, что для любого и положим . Ясно, что

Индукция завершена.
Покажем, что точка искомая. В самом деле, так как и для любого , то для любого и любого отрытого множества такого, что выполняется и .
Естественное вложение в обозначим через и для каждого открытого множества положим

Ясно, что  для любого открытого множества , причем, если  - открытые множества  и , то . Таким образом,  - искомый оператор продолжения открытых множеств. Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть  - непрерывный вполне упорядоченный спектр, причем  и для любого  отображение  параллельно пространству сетевого веса . Тогда существует регулярное вложение пространства   в тихоновское произведение , причем сетевой вес  для любого .
Доказательство. Для каждого  мы построим регулярное вложение  пространства  в тихоновское произведение  пространств сетевого веса . Построение это проведем по трансфинитной индукции. Положим  и .
Допустим, что для некоторого  и всех  построение проведено.
1-й случай. . Пусть - регулярное вложение  в . Ясно, что вложение  пространства   в пространство  регулярно. Также очевидно, что вложение  пространства  в пространство  регулярно. Положим  и .
2-й случай.  - предельный ординал. Обозначим через  естественное вложение предельного пространства спектра  в произведение  и положим . Так как вложения  и  регулярны, то регулярно вложение . Положим  и . Индукция завершена.
Пусть  - естественное вложение  в . Положим . Поскольку вложения  и  регулярны (для  это следует из леммы 1), то регулярно вложение  пространства  в тихоновское произведение . Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1. По лемме 2 существует регулярное вложение  пространства  в тихоновское произведение , причем  для любого . Так как вложение  пространства  в  регулярно, то отображение  пространства  на пространство  регулярно относительно . Следовательно, [1]. Теорема доказана.
Естественным продолжением обсуждаемых вопросов является следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть  - непрерывный вполне упорядоченный спектр из компактов, причем  и все проекции  параллельны пространству веса ,  - замкнутое подмножество , причем . Тогда существует замкнутое подмножество  такое, что .
Доказательство. Пусть  - определяющая система окрестностей множества  в пространстве  и база множества  в , причем . Для каждого  через  обозначим подсемейство семейства , состоящее из всех элементов , содержащихся в , и положим . Ясно, что для любого  множество  не пусто. Так как семейство  центрировано, то . Выберем точку . По лемме 2 существует регулярное вложение  пространства  в тихоновское произведение , причем  для каждого . Для каждого  через  обозначим подмножество  мощности  такое, что замыкание  в  не зависит от  и положим . Ясно, что . Положим  и покажем, что . Допустим, что существует точка , не принадлежащая множеству . Выберем  такое, что  и положим . Так как вложение  регулярно (лемма 1), то , и получаем противоречие с тем, что . Таким образом , , а так как  - слой в  с основанием мощности , то получаем , что . Теорема доказана.
Следствие. Пусть  - непрерывный вполне упорядоченный спектр из компактов, причем  и все проекции  параллельны пространству веса ,  и . Тогда .

Научно-практический журнал «Исследования в области естественных наук» » характер

О некоторых свойствах пределов обратных спектров топологических пространств