= ₀[1 - ] .

Для многих практически важных задач выполняется условие: V/C << 1. Тогда для относительного сдвига частоты /₀ ( - ₀)/₀ получим:

То есть, сдвиг частоты зависит от «локальных» значений скорости волны C(z₁) C₁, C(z₂) C₂. Однако понятие «локальности» требует уточнения. Действительно, любой волновой процесс имеет «внутренний» характерный масштаб, по порядку величины равный длине волны . «Внешний» же масштаб равен расстоянию между источником и приемником. Поэтому «локальность» скорости волны определим следующим образом: если << z₂ – z₁, то C(z₁), C(z₂) есть скорость волны, усредненная по пространственному масштабу, по порядку величины равному . Если же z₂ – z₁, то усреднение следует проводить по масштабу, равному расстоянию z₂ – z₁ между источником и приемником.
Положим, что некоторый зонд, перемещающийся в атмосфере по вертикали со скоростью V, излучает (переизлучает) модулированную акустическую (или электромагнитную) волну. При этом несущая частота f₁ = ₁/(2) и частота модуляции
f₂ = ₁/(2), выбраны такими, что f₁ С/h (₁ h), а f₂ C/H (₂ H), где C – средняя скорость волны в исследуемой среде, h - требуемое пространственное разрешение, H - максимальная дальность измерений, ₁= C/f₁, ₂ = C/f₂. 
Приемник, установленный на земле, регистрирует «сдвинутые» частоты f_p1, f_p2. Для скорости волны С(z) на высоте z относительные сдвиги частот сигналов, принятых наблюдателем при z = 0, имеют вид:

где C_h – «местная» (локальная) скорость звука, C_с – средняя по трассе скорость звука:

C_h =; C_с =.

Нетрудно видеть, что отношение сдвигов частот определяется только вертикальным профилем скорости волны и не зависит от скорости движения зонда. А поскольку величина h соответствует пространственному разрешению, то положим, что C_h = C(z). Тогда получим: 

A  = = . (1)

Параметр A есть отношение относительного сдвига частоты модуляции к относительному сдвигу несущей частоты. Для краткости будем далее называть эту величину отношением сдвига частоты модуляции к сдвигу несущей частоты. Эта величина, по сути своей, может быть названа показателем неоднородности скорости звука.
Из (1) следует дифференциальное уравнение:

 = + 

Его решение имеет вид:

 = A(z) exp{} A(z) + dz, (2)

где C(0) – скорость волны на уровне земли z = 0.
Как показано в [6], при надлежащем исполнении схемы измерений рассматриваемый способ позволяет обеспечить весьма низкие погрешности измерения скорости звука – менее сантиметра в секунду!

Скорость звука и движения воздуха в атмосфере
Скорость звука С_н относительно неподвижного наблюдателя определяется, как известно, не только скоростью звука С₀ в неподвижной среде, но и скоростью W движения этой среды относительно того же наблюдателя:

Это соотношение имеет векторный характер, так что W есть проекция скорости движения среды на направление распространения акустической волны («линию визирования»). Скорость W может быть обусловлена различными конвективными потоками воздуха, в том числе, конвективными струями и термиками («теплыми пузырями»). При этом W может быть достаточно высокой, превышая 20 м/с [7].

Для ряда задач физики атмосферы, атмосферной акустики интерес представляет вертикальный профиль С_н, поскольку именно он определяет рефракцию звука. В то же время, и профили С₀ важно знать для многих задач теории и практики, в частности, для восстановления вертикальных профилей температуры и влажности воздуха [8].

В общем случае движения воздуха в атмосфере имеют турбулентный характер. Однако описание скорости звука с учетом турбулентности воздуха представляет достаточно сложную задачу. Поэтому мы ограничимся анализом только лишь ламинарных движений.

Выше полагалось, что зонд под действием сил плавучести перемещается по вертикали, причем и линия визирования является вертикалью. Однако под действием ветра зонд может «дрейфовать» в направлении ветра – по горизонтали. При этом линия визирования будет отклоняться от вертикали. Если W₀ - полная скорость ветра (по горизонтали), то ее проекция W на «линию визирования» имеет вид: |W| = |W₀| cos , где – угол места зонда относительно неподвижного наблюдателя. Знак проекции W определяется очевидными геометрическими соображениями.

Рассмотрим схему измерений, представленную на рис.1 (аналогичную схеме [6]).

1 – генератор несущей частоты f₁; 2 – формирователь частоты модуляции f₂; 3 – модулятор; 4 – излучатель; 5 – зонд с дополнительным излучателем 4_з и дополнительным приемником 6_з; 6 – приемник; 7 – блок обработки сигналов

В данном случае для распространения волны от излучателя 4 к зонду 5 скорость C₄₅ этой волны относительно неподвижного наблюдателя (источника 4 и приемника 6) имеет вид: C₄₅ = С₀ + W (знак «+» выбран в определенной мере произвольно). Для распространения волны от зонда 5 к приемнику 6 скорость C₅₆ волны относительно неподвижного наблюдателя имеет вид: C₅₆ = С₀ – W (знакиW в выражениях C₄₅ и C₅₆ противоположны друг другу). Тогда результирующий относительный сдвиг произвольной частоты f₀ имеет вид:

(f/f )₄₅₆ = [(f_p - f₀)/f₀]₄₅₆ =  +  = .

То есть, f/f зависит от скорости ветра W. Эта зависимость будет проявляться как для несущей частоты f₁, так и для частоты модуляции f₂.

Введем аналогично (1) параметр A, соответствующий суммарному распространению волны «по ветру и против ветра» и учтем, что обычно W << C, причем скорость ветра W зависит от высоты z, W =W(z). Примем также, что W_h – «местная» (локальная) скорость ветра W_h, а W_с – средняя по трассе скорость ветра:

W_h = W(z); W_с =.

Тогда

A ==; (3)

Параметр A в (3) аналогичен введенному в (1) параметру A:

A = == =.

Нетрудно видеть, что 1 - A = (C_c0 – C_h0)/C_c0 C/C. При этом |1 - A| = |C/C| << 1. В частности, A = 1 в двух случаях: при отсутствии ветра (W = 0) или же при отсутствии градиентов скорости звука (C_с =C_h).

Поскольку A очень слабо зависит от скорости ветра W, то соотношение (2) позволяет найти скорость звука в неподвижной среде: C_с0 = C_с; C_h0 (z) = C_h С₀(z) = С(z).

Абсолютные погрешности измерений скорости звука в данном случае будут примерно такими же, как и в [6], составляя всего лишь единицы сантиметра в секунду.
Итак, в данном случае скорость ветра (конвективных потоков) практически не влияет на измерение вертикального профиля скорости звука. В то же время, зная С₀, можно сделать определенные выводы о некоторых параметрах атмосферы. Действительно, скорость звука С₀ в атмосфере с абсолютной температурой T, как известно, имеет вид: 

С₀ =  (1 + 0,14 e/p),

где – показатель адиабаты, R – универсальная газовая постоянная; – молекулярный вес сухого воздуха; e, p - парциальное давление (упругость) водяного пара и общее давление воздуха соответственно [4]. Для практически важных случаев 0,14 e/p 10^-3…10^-2 << 1, так что в первом приближении можно считать, что С₀ зависит только лишь от температуры воздуха T. Однако полное игнорирование влажности воздуха может привести к заметным погрешностям определения температуры T(z) по измеренным значениям скорости звука. Эти погрешности могут доходить до значительной величины 10⁰ K. По-видимому, лишь при отрицательных температурах, когда даже для насыщенного водяного пара 0,14 e/p < 10^-3, эти погрешности не будут превосходить приемлемой для многих задач величины 10^-1 K.
Положим теперь, что зонд 5 (рис. 1) снабжен датчиком температуры (то есть, используется «стандартный» метеозонд). Тогда по независимым измерениям скорости звука и температуры можно определить и влажность воздуха. При этом восстановление профиля влажности может быть более простым, чем при использовании традиционных датчиков влажности, особенно, при низких температурах воздуха. Если температура измеряется с погрешностью 3.10^-2 K, то погрешность e измерения абсолютной влажности (упругости водяного пара) может составлять всего e = 70 Па. Отметим, что упругость насыщенного водяного пара e = 51 Па при температуре воздуха -30⁰С; e = 125 Па при температуре -20⁰С; e = 287 Па при температуре -10⁰С. То есть, определение влажности воздуха возможно и при достаточно низких температурах воздуха -20⁰С.

Определение вертикальных профилей скорости ветра

Для весьма широкого круга задач скорость ветра (скорость конвективных движений) важна сама по себе, безотносительно к акустике (метеорология, авиация, высотное строительство, артиллерийские стрельбы и т.д.). 
Распространенные радиолокационные методы определения вертикальных профилей ветра основаны на слежении за движущимся зондом. Эти методы обычно не применимы на малых высотах (до нескольких сотен метров) вследствие наличия «мертвой зоны» радиолокатора. 
Параметр A, как видно из (3), очень слабо зависит от W. Поэтому рассмотрим несколько иные дополнительные измеряемые параметры.

Пусть на зонде 5 (см. рис. 1) установлен дополнительный приемник акустических волн 6з (аналогичный «наземному» приемнику 6), сигнал с этого приемника передается на Землю по радиоканалу (СВЧ-каналу). Буква «з» в обозначении 6з означает «зонд». Тогда сдвиг частоты имеет вид:

(f/f )_46з = (f/f )₄₅ = +,

где C₀₀ – скорость электромагнитных волн в атмосфере. Однако скорость света на шесть порядков превосходит звука, C₀₀ >>> C₀ + W, поэтому практически (f/f )₄₅ .

Рассмотрим теперь параметр A₊, соответствующий распространению волны «по ветру». В этом случае C₄₅ = С₀ + W. Учтем также, что C_с0 C_с; C_h0 C_h. Тогда получим:

Установленный на зонде 5 дополнительный излучатель акустических волн 4з (аналогичный «наземному» излучателю 4) также синхронизируется с Земли по радиоканалу. Тогда соответствующий сдвиг частоты имеет вид:

(f/f )_4з6 = (f/f )₅₆ =  +  .

Рассмотрим теперь параметр A_-, соответствующий распространению волны «по ветру». Здесь C₅₆ = С₀ - W. Учтем также, что C_с0 C_с; C_h0 C_h. Тогда получим:

В этом случае имеем:

 (1 +) A (1 +);

  A( - ) = . (6)

Примем обозначение:  B и учтем, что W_h W = W(z). Тогда из (6) получим:

W_c = = C_c(- B)  - BC_c = .

Продифференцировав это соотношение по высоте зонда z, получим дифференциальное уравнение для определения вертикального профиля ветра:

, (7)

где P(z) , Q(z) , D(z) BC_c = C_c =.

Для (1), (3) нетрудно найти производную функции A = A:

В атмосфере градиенты скорости звука малы, dC/dz << C/z. Поэтому оценим эти градиенты, полагая для определенности, что C(z) линейно изменяется с высотой, = const.

C_с =.

Тогда получим:

 -.

Соответственно, коэффициент P в (7) имеет вид: P = = -.

Рассмотрим теперь величины, входящие в Q(z).

Для рассматриваемого случая = const, как нетрудно видеть, 1 – A = - z. Далее, положим, что малы не только градиенты скорости звука (dC/dz << C/z), но и градиенты скорости ветра: dW/dz<< W/z. Тогда из (6) получим:

  = -  z.

Из последнего соотношения следует, что = . В этом случае имеем:

Q(z) = [1 + ] .

В результате уравнение (7) сводится к виду:

. (8)

Решение (8) имеет вид:

W(z) = [W_z0 + , (9)

где W_z0 = W(z₀) – постоянная интегрирования (известная скорость на заданной высоте z₀). Отметим, что на высоте z = 0, точнее, в пределах так называемого слоя прилипания, скорость ветра равна нулю, так что обычно z₀ составляет 10⁰ м.

С учетом (2) соотношение (9) можно представить в виде:

W(z) = {W₀ + }. (10)

Учтем, что << 1. Тогда (10) примет вид:

W(z) = {W₀ + . (11)

В (9)-(11) измеряемыми величинами являются A, A₊, A_-. Скорость звука C(z) на высоте z вычисляется по соотношению (2). Скорость звука C(z₀) на высоте z₀, как и скорость ветра W(z₀) должны быть известны из независимых измерений. Отметим, что для скорости звука высота z₀ может быть практически любой, в том числе, и равной нулю.

В предельном случае W не зависит от высоты z зонда: dW/dz = 0. Тогда из (8) получим:

W(z) = -= - =. (12)

Оценим теперь возможные погрешности измерения W по (12), полагая, что равны абсолютные погрешности: A = A₊ = A_- = A. Учтем также, что |1 - A|, |1 – A₊|, |1 – A_-| << 1.

Тогда получим:

Учтем далее, что 1 - A = C/C; W/C << 1. Тогда выражение для погрешности W/W примет вид:

 .

Окончательно получим:

W =  .

Погрешность A примем такой же, как в [6]: A 10^-6 10^-7. Положим для оценок, что C/C 10^-3. Это соответствует относительному изменению температуры T/T 2.10^-3, что вполне реально для обычных условий тропосферы. Тогда получим: W (10^-1 10^-2) м/с.

Итак, погрешности измерения скорости ветра W могут составлять десятки, а в лучшем случае – единицы сантиметров в секунду.

Заключение

- Акустическое зондирование атмосферы на основе особенностей эффекта Доплера в неоднородных средах рассмотрено с точки зрения влияния скорости ветра (проекции скорости ветра на линию визирования) на результаты измерений. Показано, что в случае, когда источник и приемник акустических волн расположены на земле, а зонд с пассивным ответом перемещается по вертикали, влияние скорости ветра на измерение скорости звука пренебрежимо мало. То есть, отношение сдвига частоты модуляции к сдвигу несущей частоты (показатель неоднородности скорости звука) весьма слабо зависит от скорости ветра. Но в этом случае практически невозможно сделать какие-либо выводы об этой скорости.
- Для получения значимой информации о скорости ветра предложено использовать зонд с активным ответом (зонд, снабженный источником и приемником акустических волн). В процессе зондирования следует измерять показатель неоднородности скорости звука дополнительно в двух режимах – «по ветру» и «против ветра». В одном из них используются источник, установленный на земле, а приемник – на зонде. В другом режиме – наоборот: приемник, установленный на земле, а источник – на зонде. В этих режимах отношение сдвига частоты модуляции к сдвигу несущей частоты значительно сильнее зависит от скорости ветра, чем в режиме, соответствующем суммарной трассе зондирования «по ветру и против ветра».
- Получено дифференциальное уравнение, позволяющее вычислить вертикальный профиль скорости ветра (проекции скорости на линию визирования – направление распространения акустической волны) по измеренным значениям отношения сдвига частоты модуляции к сдвигу несущей частоты в трех режимах: «по ветру», «против ветра», на суммарной трассе «по ветру и против ветра». 
- При сравнительно несложном исполнении аппаратуры оказывается возможным одновременное определение вертикального профиля скорости звука и вертикального профиля скорости ветра. При этом можно обеспечить малые погрешности измерений: скорости звука – 10⁰ см/с; скорости ветра – 10¹ см/с.
- По профилю скорости звука можно вычислить профиль температуры, что особенно важно для зонда с пассивным ответом. Погрешность определения температуры уменьшается с уменьшением абсолютной влажности воздуха, и при отрицательных температурах не будет превосходить приемлемой для многих задач величины 10^-1 K. В то же время, возможно использование «стандартного» метеозонда, снабженного датчиком температуры. Тогда по независимым измерениям скорости звука и температуры можно определить и абсолютную влажность воздуха. При этом восстановление профиля влажности может быть более простым, чем при использовании традиционных датчиков влажности, особенно, при низких температурах воздуха (-20⁰С).

Доплеровская локация свободно погружающегося пассивного отражателя

Эффект Доплера (доплеровская локация) широко используется в измерительной технике для определения скорости V движения различных объектов. При этом неявно полагается, что известна фазовая скорость волны C. Однако если в среде имеются градиенты фазовой скорости волны, то возникает вопрос, какое именно значение C следует использовать при вычислении V? С другой стороны, зная V, можно, в принципе, определить и C. Анализ показывает, что эффект Доплера применительно к средам с градиентами скорости звука (показателя преломления) имеет особенность, состоящую в следующем [5-7]. На сдвиг частоты влияют лишь «локальные» значения скорости звука (показатель преломления) в окрестности движущихся источника и приемника. «Локальность» скорости волны можно определить следующим образом. Если длина волны много меньше расстояния между источником и приемником, то локальная скорость волны есть скорость, усредненная по пространственному масштабу порядка длины волны. В противном случае усреднение следует проводить по масштабу, равному указанному расстоянию. 
Положим, что «неподвижное» (лежащее в дрейфе) судно находится на некоторой глубине z₀ (для надводного судна z₀ = 0). Установленный на судне доплеровский локатор излучает акустическую волну с несущей частотой f₁ = ₁/(2), модулированную «низкой» частотой f₂ = ₂/(2). Если h - требуемое пространственное разрешение, H - максимальная глубина измерений, то указанные частоты выбираются из следующих условий: f₁ С/h (₁ h); f₂ C/H (₂ H), где C – средняя скорость звука в исследуемой среде, ₁ = C/f₁, ₂ = C/f₂. 
Эта волна направляется на некоторый пассивный отражатель, погружающийся по вертикали («тонущий» в воде) со скоростью V = dz/dt.
С практической точки зрения требования к отражателю минимальны – его эффективный поперечник рассеяния должен быть достаточным для уверенного приема отраженного (рассеянного) акустического сигнала. Таким отражателем может быть некоторый сбрасываемый с судна диск («расходный материал»), опускающийся на дно под действием собственного веса. Верхняя (обращенная к судну) поверхность диска может быть выполнена катафотной. 
Для скорости звука С(z) на глубине z частоты f_p1, f_p2 сигналов, принятых локатором при z = 0, имеют вид:

где

C_h =; C_с =.

Поскольку величина h соответствует пространственному разрешению, то можно принять, что C_h = C(z) есть «локальная» скорость звука. Очевидно, C_с есть средняя скорость звука (скорость, усредненная по глубине от z₀ до z – z₀).
Отношение C(z)/C_с не зависит от скорости V движения отражателя и определяется только вертикальным профилем скорости звука: 

 A =  = . (1)

Для большинства практических задач, связанных с зондированием океана, относительные изменения скорости звука весьма малы, т.е. |A – 1| << 1. Тогда из (1) нетрудно получить дифференциальное уравнение:

 = + 

Его решение имеет вид:

 A(z) + dz, (2)

где C(z₀) – скорость звука на уровне z = z₀, причем A(z₀) = 1.
Глубина z - z₀ отражателя в каждый момент времени может быть определена, например, штатным эхолотом. С другой стороны, эта глубина определяется наклонной дальностью и углом места отражателя. В свою очередь, эти характеристики могут быть измерены либо штатными судовыми средствами, либо в соответствии с методикой [6].
Оценим возможные погрешности измерений в соответствии со схемой рис. 1.
В локаторе несущая частота f₁ и частота модуляции f₂ формируются из опорной частоты f₀ путем деления последней в требуемое число раз: f₁ = f₀/k₁; f₂ = f₀/k₂. Для оценок положим, что f₀ 10⁸ Гц,k₁ = 10³ (f₁ 10⁵ Гц, ₁ 10⁰ см), k₂ = 10⁸ (f₂ 10⁰ Гц, ₂ 10⁰ км).
Для скорости движения отражателя V 1,5 м/с имеем: f₁/f₁ f₂/f₂ = 2V/C 210^-3. То есть, относительные сдвиги частоты малы. Если измерять частоты принятых на судне сигналов, то затем необходимо будет найти и малую разность f_i = f_pi - f_i двух сравнительно больших величин f_pi, f_i (i = 1, 2). При этом соответствующие относительные погрешности должны быть существенно меньше, чем 10^-3. Однако нас интересуют лишь относительные сдвиги частоты, измерения которых можно обеспечить более простым путем. 
Если принятый на судне сигнал несущей частоты f_p1 смешать с сигналом «несмещенной» частоты f₁, то мы получим «биения» – результирующий сигнал с частотой f_p1 f₁, модулированный по амплитуде частотой f₁ = f_p1 – f₁. Измерение периода T₁ этой частоты T₁ = 1/f₁ легко осуществить путем заполнения его метками времени с периодом опорной частоты T₀ = 1/f₀ и подсчета соответствующего количества N₁ импульсов: T₁ = N₁T₀.

Рис. 1. Функциональная схема измерений

1 – генератор опорной частоты f₀; 2 – формирователь несущей частоты f₁; 
3 - формирователь частоты модуляции f₂; 4 – модулятор; 5 – передающая антенна;
6 – приемная антенна 7 – пассивный отражатель; 8 – блок разделения несущей частоты и частоты модуляции; 9 – смеситель (для несущей частоты); 10 – измеритель длительности периода биений несущей частоты; 11 – умножитель частоты модуляции; 12 – смеситель (для частоты модуляции); 13 – измеритель длительности периода биений частоты модуляции; 14 – блок обработки

Тогда f₁/f₁ = T₁/T₁ = k₁T₀/N₁T₀ = k₁/N₁. Если, как отмечалось выше, положить k₁ = 10³, V/C = f₁/f₁ 10^-3, то N₁ 10⁶. Оценим теперь относительную погрешность измерения f₁/f₁:

Но f₁/f₁ = T₁/T₁ = N₁/N₁ + T₀/T₀ = N₁/N₁ + f₀/f₀. 
При электронно-счетном методе измерения периода можно считать, что N₁/N₁ 1/N₁.
В рассматриваемом случае существенна лишь кратковременная относительная нестабильность опорной частоты f₀/f₀ – за время, существенно меньшее секунды. Поэтому такая нестабильность может быть не хуже 10^-7 при сравнительно несложной электронной схеме. Частота f₁ формируется путем деления опорной частоты f₀. Поэтому можно считать, что относительные нестабильности этих двух частот равны: f₁/f₁ f₀/f₀ 10^-7.
Тогда получим:

Если, как отмечалось выше, принять, что N₁ 10⁶, то (f₁/f₁ )/(f₁/f₁) 10^-6.
Нетрудно видеть, что за время измерения T₁ отражатель пройдет расстояние
VT₁ = V/f₁ = C/f_1 1. То есть, и с рассматриваемой точки зрения пространственное разрешение примерно равно длине волны.
При измерении сдвига частоты модуляции исходной волны непосредственное выделение биений вряд ли перспективно, поскольку резко возрастает время измерений и резко ухудшается пространственное разрешение. 
Поэтому в данном случае можно поступить следующим образом. Как отмечалось выше, частоту модуляции f₂, как и несущую частоту f₁, получают из опорной частоты f₀ путем деления, причем f₁ =f₀/k₁; f₂ = f₀/k₂. То есть, f₂ = f₁/М, где М k₂/k₁ – известное число. При надлежащем выборе значений k₁, k₂ число М может быть целым числом (М 10⁴ 10⁵). 
Итак, частоту модуляции f_p2 принятого на судне сигнала умножают на то же самое число М. Полученная частота f*_p2 = Mf_p2 будет очень близка к несущей частоте f₁. Далее измерения проводятся аналогично измерениям на несущей частоте: при смешении «умноженной частоты модуляции» f*_p2 с опорной частотой получают биения, затем выделяют период этих биений T₂ и заполняют его метками времени с периодом частоты T₀ = 1/f₀ и подсчитывают соответствующее количество N₂ импульсов: T₂ = N₂T₀ (N₂ 10⁶). В этом случае (f₂/f₂ )/(f₂/f₂) 1/N₂ 10^-6.
Для относительной погрешности A/A получим:
A/A = (f₁/f₁ )/(f₁/f₁) + (f₂/f₂ )/(f₂/f₂) 1/N₁ + 1/N₂ 210^-6. Но A 1, поэтому
A 210^-6.
С другой стороны, A – 1 C/C. Для оценок положим, что A/A C/C.
Итак, C/C 210^-6; C 0,3 см/с. То есть, абсолютная погрешность определения скорости звука не превосходит 1 см/с.
Следует отметить, что при определении вертикального профиля для каждого значения скорости звука необходимо знать соответствующую глубину. Если исходить из того, что глубина z определяется обычным эхолотом, то для относительной погрешности z/z можно принять типичное значение z/z 10^-2.
Качка судна и доплеровская локация
Выше неявно предполагалось, что во время измерений судно неподвижно, что качка отсутствует. Это может быть справедливым для подводной лодки, находящейся на достаточной глубине. Надводные же суда в подавляющем большинстве случаев подвержены различным видам качки – бортовой, килевой и т.д. Рассмотрим поэтому возможное влияние качки на результаты измерений.
Положим, что судно под действием качки совершает в направлении линии визирования гармонические колебания с некоторыми амплитудой X₀ 10⁰ м частотой 10^-2 с^-1 . Тогда для несущей частоты получим:

f₁/f₁ 2[ + sin(t + )].

Здесь – фаза колебаний судна под действием качки.
Поскольку f₁ 10⁵ Гц, то <<< f₁. При этом за характерное время порядка T₁ = 1/f₁ движение судна можно считать линейным. То есть, в данном случае действие качки эквивалентно изменению скорости отражателя V. Однако отражатель находится на глубине z, на которой скорость звука есть C(z), в то время как судно находится на поверхности воды (z = 0), где скорость звука есть C(z = 0) =C(0).
Для частоты модуляции имеем:

f₂/f₂ 2[ + sin(t + )].

Поскольку f₂ 10⁰ Гц, то << f₂. При этом за характерное время порядка T₁ = 1/f₂ движение судна можно считать линейным. То есть, и в данном случае действие качки эквивалентно изменению скорости отражателя V. При этом в оба слагаемых входит одна и та же величина C_c - скорость звука, усредненная по глубине z. 
Обозначим линейную скорость суда за счет качки через V₀: V₀ X₀ sin(t + ). Тогда

A =  = .

Нетрудно видеть, что V₀ X₀ 10^-2 м/с << V 10⁰ м/с. При этом выражение для A можно упростить:

A [].

Отсюда получим:

AC_c = C(z)() - .

Итак, при наличии качки параметр A зависит не только от интересующих нас скоростей звука C(z), C_c, но, к сожалению, и от соотношения скоростей V и V₀. То есть, наличие качки приводит к дополнительным погрешностям измерения скорости звука. Если V₀/V << 1, то дополнительные относительные погрешности будут иметь тот же порядок малости V₀/V. Если же V₀ = 0, то мы получим соотношение (1).
Для приведенных выше значений V₀/V 10^-2. Однако такие погрешности вряд ли приемлемы для практики. Поэтому необходимы какие-то приемы для устранения (компенсации) влияния качки.
Один из таких приемов состоит в следующем. Доплеровский локатор помимо «основной» волны, направленной на пассивный отражатель, излучает дополнительную волну с теми же частотными характеристиками, однако направленную не на отражатель, а на грунт.
Поскольку относительно грунта судно движется только за счет качки, то для частот f_p1⁰, f_p2⁰ дополнительной волны, принятых локатором при z = 0, имеем:

f_p1⁰ = f₁[1 + ]; f_p2⁰ = f₂[1 + ].

Если теперь на смеситель 9 (рис. 1) вместо сигнала с частотой f₁ подать сигнал с частотой f_p1⁰, то результирующий сигнал «биений» с частотой f₁ = f_p1 – f₁ будет иметь тот же вид, что и сигнал в случае отсутствия качки: f₁/f₁ = 2V/C(z). Аналогично, если на смеситель 12 (рис. 1) вместо опорной умноженной частоты Mf₂ подать умноженную частоту Mf_p2⁰, то результирующий сигнал «биений» с частотой f₂ = f_p2 – f₂ будет иметь тот же вид, что и сигнал в случае отсутствия качки: f₂/f₂ = 2V/C_с. 
Таким образом, влияние качки суда на результаты измерения скорости звука может быть устранено путем определенного усложнения конструкции – введения дополнительной акустической волны, направленной на грунт с использованием смещения ее частоты для компенсации погрешностей при измерениях по основной акустической волне.
Доплеровская локация морского грунта
При наличии отражателя глубина z (отсчитываемая от уровня поверхности) определяется положением этого отражателя, причем изменение z соответствует погружению отражателя и, по сути, является непрерывным. В данном случае использование только одной частоты модуляции достаточно для корректного измерения вертикального профиля скорости звука в пределах заданной глубины.
В то же время, для многих практических задач, по-видимому, достаточной является «грубая» оценка гидрологических условий, например, выбор одного из следующих типовых случаев вертикального профиля скорости звука: отрицательная рефракция; положительная рефракция; изотермия; слой скачка скорости звука; подводный звуковой канал [1].
Рассмотрим поэтому ситуацию, когда глубина остается фактически неизменной, но при этом в измерениях используются различные частоты модуляции. Тогда при определении профиля скорости звука различные длины волн в определенном смысле соответствуют различным значениям z. По сути, имеет место определенная аналогия с доплеровским гидроакустическим лагом [8]. В этом случае полезный сигнал обусловлен отражением акустической волны от грунта. Соответственно, практическая реализация таких измерений может существенно проще, чем при использовании отражателя.
Положим, что судно движется на некоторой глубине z₀ (для надводного судна z₀ = 0) со скоростью V_л, а доплеровский локатор «зондирует» грунт. Излучение локатора с несущей частотой f₁модулируется различными частотами f₂, f₃, …, f_к - такими, что соответствующие длины волн ₂, ₃, …, _к определяют требуемые глубины, по которым производится усреднение. Здесь к определяет количество частот модуляции – «точек отсчета», по которым будет производиться вычисление вертикального профиля скорости звука. Приемник локатора регистрирует «сдвинутые» частоты f_p1, f_p2, …, f_pк. 
Относительные сдвиги частот сигналов, принятых на судне, имеют вид: 

где V – проекция линейной скорости V_л судна на линию визирования; V = V_лsin; – зенитный угол (угол направления акустической волны с осью OZ). Пусть h_i - глубина относительно уровня z₀: h_i z_i –z₀; h₀ = 0. Тогда скорость звука C_i определяется соотношением:

C_i = =,

Длина волны несущей частоты ₁ 10¹ см достаточно мала по сравнению с остальными линейными масштабами рассматриваемой задачи. Поэтому можно считать, что C₁ – «местная» (локальная) скорость звука на глубине z₀, C₁ = C(z₀). Далее, C₂, C₃, …, C_k - скорость звука, усредненная по трассе l₂ = p₂₂, l₃ = p₃₃,…, l_k = p_kk. Здесь p₂, p₃, …, p_k – численные коэффициенты порядка единицы, определяющие фактический масштаб усреднения для данной длины волны ₂, ₃, …, _k. Указанным трассам соответствуют глубины: h₂ = l₂cos, h₃ = l₃cos,…, h _k = l _kcos.
Найдем теперь отношение относительных сдвигов частоты: 

A_i  = , i = 2, 3,…, к. . (3)

Видно, что это отношение определяется только вертикальным профилем скорости звука C(z) и не зависит от скорости движения судна. 
В рассматриваемом случае мы не можем определить «тонкую структуру» профиля скорости звука, поскольку имеем дело лишь со скоростями, усредненными по различным пространственным масштабам. Поэтому рассмотрим вопрос о «грубой» структуре этого профиля, о вертикальном градиенте скорости звука. 
Положим, что A_i+1 - A_i A; h_i+1 - h_i h; G_i A/h. Тогда:

G_i = = = {- }= , (4)

где

C_i^* = = [ - ] = (h_i+1 C_i+1 - h_iC_i) = C(z₀).

Здесь C_i^* - скорость звука, усредненная по глубине между уровнями h_i и h_i+1; C_i – скорость звука, усредненная по глубине между уровнями h₀ (h₀ = 0) и h_i. Для общности примем, что C₁^* = C₁ =C(z₀).
В определенном смысле для рассматриваемой задачи величина G_i является мерой вертикального градиента скорости звука. Отметим, что в этом же смысле C_i^* может рассматриваться как мера локальной скорости звука на глубине h = (h_i+1 + h_i)/2.
Итак, (4) позволяет найти зависимость G_i и C_i^*от глубины.
Оценим теперь возможные погрешности измерений в соответствии с (4), полагая, что h_i+1 = h_i = h; A_i+1 = A_i = A: 
Для G_i получим:

G/ G_i + = +.

Если измерение A_i производится по схеме, аналогичной схеме рис. 1, то для абсолютной погрешности определения A можно принять то же значение: A 10^-6.
Положим для оценок, что G_i . На больших глубинах температура и соленость меняются мало, так что основной вклад в изменение скорости звука с глубиной вносит изменение гидростатического давления, причем_TS 10^-5 м^-1. Здесь _TS – частная производная по глубине при постоянных температуре T и солености S.
На малых глубинах в теплых водах основной вклад в изменение скорости звука с глубиной вносит изменение температуры, причем _PS 10^-4… 10^-3 м^-1. Здесь _PS – частная производная по глубине при постоянных давлении P и солености S. То есть, для оценок можно считать, что вне области подводного звукового канала G_i 10^-5… 10^-3 м^-1 [9]. Отметим, что в области звукового канала, где скорость звука минимальна, G_i может быть меньше приведенного выше значения 10^-5 м^-1.
Далее, можно принять, что h 10¹…10² м. Тогда  10^-4…10^-3.
Глубина h определяется длиной трассы усреднения скорости звука. Однако эта длина есть оценочная величина, а не измеряемая, поэтому положим, что >> .
То есть, погрешность определения градиента скорости звука в основном определяется погрешностью h определения (оценки) глубины h:

G/ G_i .

В свою очередь, поскольку h_i = p_ii cos, то для погрешности h = h_i получим:

 = + + tg .

Поскольку глубина h_i есть оценочная величина, то неясно, как эту глубину можно определить обычными способами. Тем не менее, погрешность , по-видимому, заведомо превышает погрешности ; tg . Тогда имеем:

G/ G_i .

Обоснование оценки требует проведения самостоятельных исследований. Однако «из общих соображений» представляется, что  > 10^-2. Тогда G/ G_i 10^-1.
Для C_i^* получим:

C_i^*/C(z₀) () = () =  G_i +A.

Положим, что  10² м;  10¹; G_i 10^-6… 10^-4 м^-1; A 10^-6. Тогда

C_i^*/C(z₀)  G_i 10^-4… 10^-2; C_i^* 10^-1… 10¹ м/с.

Как и следовало ожидать, в данном случае погрешность определения скорости звука заведомо больше, чем погрешность в случае измерений с пассивным отражателем. 

Заключение

1. Рассмотрена акустическая доплеровская локация модулированными волнами свободно погружающегося в океане пассивного отражателя. Относительный сдвиг частоты зависит от скорости звука, усредненной по пространственному масштабу, определяемому длиной волны, соответствующей несущей частоте и/или частоте модуляции. Вследствие этого оказывается возможным восстановление вертикального профиля скорости звука. Для восстановления профиля скорости звука достаточно использования только одной частоты модуляции, поскольку глубина измерений возрастает за счет погружения отражателя.
Оценены возможные погрешности. При сравнительно несложном исполнении приемно-передающей аппаратуры можно обеспечить абсолютную погрешность измерений скорости звука не хуже 10⁰см/с. 
Требования к отражателю в рассматриваемом случае являются минимальными, так что этот отражатель является, по существу, «расходным материалом». То есть, рассматриваемое измерение вертикального профиля скорости звука в определенном смысле может быть названо дистанционным, не требующим никаких «контактных» датчиков.
2. Качка судна приводит к дополнительным погрешностям измерения скорости звука. Для большинства случаев эти погрешности вряд ли приемлемы для практики. 
Показано, что влияние качки судна на результаты измерения скорости звука может быть устранено путем определенного усложнения конструкции – введения дополнительной акустической волны, направленной на грунт с использованием смещения ее частоты для компенсации погрешностей при измерениях по основной акустической волне.
3. Рассмотрен доплеровский гидроакустический лаг, работающий в режиме модулированных волн. При этом глубина остается неизменной фактически, но в измерениях используются различные частоты модуляции. Тогда при определении профиля скорости звука различные длины волн в определенном смысле соответствуют различным значениям глубины.
Оценены возможные погрешности. При сравнительно несложном исполнении приемно-передающей аппаратуры можно обеспечить относительную погрешность измерения вертикального градиента скорости звука не хуже 10^-1. 
Как и следовало ожидать, в данном случае погрешность определения скорости звука заведомо больше, чем погрешность в случае измерений с пассивным отражателем. То есть, такого рода измерения позволяют получить лишь «грубую» оценку гидрологических условий. Однако в этом случае полезный сигнал обусловлен отражением акустической волны от грунта. Соответственно, практическая реализация таких измерений может существенно проще, чем при использовании отражателя.

Рефракция акустических волн
Положим, что в верхней полуплоскости ZOX некоторой среды имеется вертикальный градиент скорости C звука, причем C(z = 0) = C₀. Акустический пучок входит в эту среду под начальным углом φ₀. Если dC/dz > 0, то есть, c увеличением высоты увеличивается и скорость звука, то в процессе распространения пучка его угол φ наклона к оси OZ будет увеличиваться вплоть до значения φ=π /2 при некотором значении z = z_m (рис.1). Затем угол изменит знак на противоположный. Если начальный угол меньше (больше), чем φ₀, то максимальная высота подъема акустического пучка будет больше (меньше), чем z_m, как показано на рис. 1 штрих-пунктирными линиями.

Рис. 1. Рефракция акустических волн в тропосфере

Зависимость C(z) может быть обусловлена наличием градиентов температуры или влажности воздуха [5, 6]. При этом желаемый знак градиента dC/dz > 0 практически реализуется только в условиях развитой инверсии [7].
В то же время, скорость звука C в движущейся среде (при наличии ветра) есть векторная сумма скорости звука C_н в неподвижной среде и скорости ветра W. Обычно скорость ветра с высотой увеличивается, dW/dz > 0, поэтому для рассматриваемой задачи интерес представляет случай распространения акустического пучка «по ветру», когда
C = C_н + W (для упрощения записи, мы под W будем понимать соответствующую проекцию скорости ветра на направление распространения акустического пучка).
Рассмотрим закономерности рефракции волнового пучка аналогии с геометрической оптикой. Для угла наклона пучка к оси 0Z в слое среды со скоростью звука C (на высоте z) имеет место соотношение:

=.

Отсюда следует, что

tg =  =  = . (1)

В частности, если C = C₀, то tg φ= tgφ₀. В этом случае имеет место прямолинейное распространение пучка. 
Если C = C₀/sinφ₀, то φ = π /2. На рис. 1 это реализуется в точке с координатами
x = x(z_m); z = z_m.
Найдем теперь траекторию распространения пучка, проинтегрировав (1):

x(z) = sin₀ . (2)

В общем случае интеграл (2) «не берется», поскольку не задан явный вид зависимости C(z). Поэтому, учитывая, что в приземном слое атмосферы скорость звука с высотой меняется достаточно медленно, разложим C(z) в ряд Тейлора и ограничимся членами первого порядка малости:

Поскольку нас интересуют лишь достаточно большие сдвиги ветра, далее для конкретности положим, что зависимость C(z) обусловлена только зависимостью W(z), пренебрегая зависимостью от высоты z скорости звука в неподвижной среде C_н. То есть, мы положим, что

где γ ≡ , причем полагается, что γ z << 1; dW/dz = const; C₀ = C_н + W₀.
Тогда из (2) получим уравнение траектории акустического пучка z(x):

2γz = cos²φ₀ – (- cos₀)².   (3)

Уравнение (3) описывает параболу, обращенную ветвями вниз (рис. 1) и пересекающую ось OX в двух точках: x = 0; x = x_L = (sin2φ₀)/γ. Вершина параболы есть точка с координатами: x = x(z_m) = (sin2φ₀)/2γ; z = z_m = (cos²φ₀)/2γ. 
Если = 0, то уравнение (3) переходит в уравнение прямой: z = x/tgφ₀.
Нетрудно видеть, что z_m монотонно возрастает с уменьшением ₀, причем z_m = 0 при
₀ = /2. Максимальное значение z_m достигается при φ₀ = 0, когда 2γz_m = 1. То есть, в этом случае z_m = 1/2γ.
В то же время, x_L монотонно возрастает с увеличением угла φ₀ в интервале 0 ≤ φ_{0 ≤ π}/4, и убывает с увеличением ₀ в интервале /4 ₀ /2. В данном случае x_L = 0, если φ₀ = 0 или же φ₀ = π/2, тогда как максимальное значение x_L достигается при φ₀ = π /4, когда x_L = 1. То есть, в этом случае x_L = 1/γ. Отметим, что z_m(φ₀ = π /4) = 1/4γ.

Однако выше мы ограничились реализуемым на практике в подавляющем большинстве случаев условием γz << 1. Отсюда сразу следует ограничение на возможное значение φ₀: cos²φ₀ << 1. То есть, практически это означает, что φ₀ > 70⁰. Другими словами, угол места или, как говорят в артиллерии, угол возвышения a₀ = π/2 – φ₀ должен быть меньше 20⁰.

Для рассматриваемой параболы (3), как нетрудно видеть, имеет место соотношение: x(z_m)/z_m= 2tgφ₀. При этом для реальных условий (для «настильной» траектории) 2tgφ₀ > 5,5. То есть, в общем случае из того, что γz << 1, не следует вывод о том, что γx << 1.

Найдем теперь длину L траектории пучка, то есть, длину выбранного участка параболы:

L = dz = dz (1 - ). (4)

Как видно из (4), если γ = 0, то L = x/sinφ₀. В этом случае рефракция отсутствует, и траектория пучка представляет собой прямую линию.

Схема измерений
Рассмотрим схему измерений, представленную на рис. 2.

Рис. 2. Функциональная схема измерений при горизонтальной трассе

1 – излучающая антенна локатора; 2 – приемная антенна локатора;
3 – блок  управления и обработки.

Излучающая антенна 1 акустического локатора установлена неподвижно, а приемная антенна 2 установлена в кузове автомобиля, движущегося с некоторой скоростью V (или наоборот, движется излучающая антенна, а приемная антенна неподвижна). Номинальное расстояние между антеннами есть x_L. При этом скорость V не слишком велика для того, чтобы за время измерений расстояние x_Lпрактически не изменялось.

Ось диаграммы направленности антенны 1 составляет угол φ₀ с вертикалью, причем ширина диаграммы направленности достаточно велика для того, чтобы обеспечить уверенный прием сигнала антенной 2 в процессе движения последней.

Обе антенны подсоединены к блоку 3 управления и обработки сигналов. Скорость ветра W с высотой возрастает, так что имеет место «положительная» рефракция акустического пучка.

В данном случае, в принципе, возможны измерения, аналогичные измерениям при наклонных трассах [4]. Однако при этом, по-видимому, погрешности могут быть весьма значительными, в первую очередь, вследствие погрешностей определения высоты. В то же время, для многих практических задач в приземном слое атмосферы достаточно всего лишь оценки величины сдвига ветра. Поэтому перейдем теперь непосредственно к определению параметра γ ≡ , характеризующего вертикальный градиент скорости ветра (сдвиг ветра). Для приземного слоя атмосферы C₀ может быть измерена независимыми методами, (например, методом, описанным в [4]), так что в дальнейшем будем полагать скорость C₀ известной.

Итак, излучение локатора с несущей частотой f₁ модулируется частотой f₂, такой, что соответствующая длина волны l₂ = C/f₂ ≈x_L/2.Приемный блок локатора регистрирует «сдвинутые» частоты  f_p1,f_p2.

Относительные сдвиги частот сигналов имеют вид:

(f_p1 – f₁)/f₁ = Df₁/f₁ = 2V/C₁; (f_p2 – f₂)/f₂ = Df₂/f₂ = 2V/C₂.

Длина волны несущей частоты l₁ £ 10¹ см достаточно мала по сравнению с остальными линейными масштабами рассматриваемой задачи. Поэтому можно считать, что C₁ – «местная» (локальная) скорость звука на высоте излучающей антенны – практически, «на уровне земли». То есть, C₁ = C₀. Далее, C₂ - скорость звука, усредненная по трассе, длина которой по порядку величины равна L/2, где L определяется (4). Рассматриваемое усреднение, по сути, есть усреднение по высоте от нуля до z_m:

C₂ = == C(z) = C₀(1 + γz_m/2).

Введем параметр A, который, как легко видеть, не зависит от скорости V:

A≡  =  =  ≈ 1 – γz_m/2.

Отсюда следует, что γz_m= 2(1 – A). Входящую в это выражение величину z_m мы не можем измерить, поэтому ограничимся оценками, исходя из вида параметров параболы (3).

Поскольку γx_L/2 = sinφ₀cosφ₀ = cosφ₀, то cos²φ₀ = [1 - ]/2. При решении соответствующего квадратного уравнения взято только одно решение, отвечающее меньшему значению cos²φ₀ (меньшему значению z_m). Тогда получим:

z_m = (cos²₀)/2 = [1 - ]/4 = 2(1 – A).

Отсюда нетрудно найти искомую величину γ:

γ=  (5)

В (5) под знаком корня стоит неотрицательное число, поскольку 3/4 £ A £ 1. При этом
A = 3/4, когда γz_m= 1/2 (cos²φ₀ = 1); A = 1, когда γz_m= 0 (cos²φ₀ = 0).

Если γx_L << 1, то γz_m ≈ (γx_L)²/8. При этом 1 – A << 1, так что 4A – 3 ≈ 1, т.е.

. (6)

Для геометрии схемы рис. 2 в распоряжении исследователя, по сути, есть только два параметра: угол φ₀, который составляет с вертикалью ось диаграммы направленности передающей антенны, и расстояние x_Lмежду передающей и приемной антеннами локатора.

Для некоторого заданного значения γ максимальное значение x_L = 1/γ реализуется при φ₀ = π/4, причем для этого же угла z_m = 1/4γ. При больших значениях γ будет иметь место «недолет» акустического пучка до приемной антенны для любых φ₀. При меньших значениях γ будет иметь место «перелет», который, однако, может быть устранен при некотором значении φ₀  ≠ π/4 (желательно, φ₀ < π/4). 

Некоторые численные оценки

Положим, что вертикальный сдвиг ветра dW/dz относится к метеорологическим явлением, опасным для полётов и составляет 4 м/с на 30 м высоты. Положим также, что
γ = dW/(C₀dz) ≈ 4*10^-4 м^-1. Тогда максимальное значение x_L= 1/γ = 2,5 км реализуется при
φ₀ = π/4,причем для этого же угла z_m= 1/4γ = 625 м. В этом случае A = 1/(1 + γz_m/2) ≈ 0,89.

Пусть теперь сдвиг ветра на порядок меньше, γ ≈ 4*10^-5 м^-1. Тогда при том же значении x_L= 2,5 км имеем: γx_L = 10^-1; cosφ₀ ≈ γx_L/2 = 5*10^-2. Отсюда следует, что угол места (угол возвышения) a₀ = π/2 – φ₀ ≈ 5*10^-2 ≈ 3⁰. В этом случае z_m≈ 31 м; 1 – A = 10^-4.

Оценим теперь погрешности измерений, соответствующие (6). Относительную погрешность ∂γ/γ определения γ можно найти по соотношению: ∂γ/γ ≈   + , где – относительная погрешность измерения x_L; ∂A - абсолютная погрешность измерения A.
Если обработка электронных сигналов производится аналогично схемам [2, 4], то абсолютная погрешность  ∂A достаточно мала: ∂A ≈ 10^-6. Положим далее, что 1 – A ≈ 10^-4. Тогда < 10^-6.

Рассмотрим теперь погрешность ∂x_L/x_L. Поскольку приемная антенна движется с некоторой скоростью V, то x_Lменяется непосредственно во время измерений. При этом для оценок можно положить, что именно этот фактор дает основной вклад в погрешности. Пусть время единичного измерения t ≈ 1/f₂ ≈ x_L/C₀. За это время антенна 2 пройдет расстояние
Vt = x_L(V/C₀). Именно это расстояние и примем в качестве абсолютной погрешности ∂x_L. Тогда ∂x_L/x_L = V/C₀. Если положить, что V = 3 м/c ≈ 10 км/час, то получим: ∂γ/γ ≈ 10^-2.

При этом угол возвышения a₀ = π/2 – φ₀, по-видимому, следует подбирать непосредственно во время измерений (производить «прицеливание»излучающей антенны на приемную). Относительная погрешность измерения вертикального сдвига ветра может составлять 10^-2.

Следует отметить, что в принципе параметр γ может быть определен из приведенного выше соотношения: cos²φ₀ = [1 - ]/2. Тогда вместо измерения доплеровских сдвигов частоты следует проводить измерения угла φ₀. Однако с практической точки зрения погрешность соответствующих измерений вряд ли может быть сравнительно небольшой.  

Заключение
Измерения при использовании лишь «горизонтальных» трасс – размещение всей аппаратуры на поверхности земли, без каких-либо специальных «запускаемых» отражателей акустических волн – представляют интерес для многих практических задач. В данном случае не требуется установки на аэродроме высоких мачт с соответствующими измерительными приборами, запуска воздушных шаров, воздушных змеев и т.д. (в значительной мере усложняющих обеспечение безопасности полётов). 
Общая идея такого рода измерений состоит в следующем. При наличии вертикальных сдвигов ветра измеряемая скорость звука в подветренном направлении возрастает с высотой, вследствие чего имеет место явление рефракции – отклонения акустической волны «к земле» от первоначального направления, задаваемого передающей антенной. При определенных условиях эта волна может восприниматься приемной антенной локатора, удаленной от передающей антенны на заданное расстояние и движущейся относительно передающей антенны. Частота модуляции выбирается такой, чтобы соответствующая длина волны соответствовала этому расстоянию. Отношение сдвига частоты модуляции к сдвигу несущей частоты не зависит от взаимной скорости движения антенн, но зависит от отношения «локальной» скорости звука к скорости звука, усредненной по трассе распространения – то есть, усредненной по высоте от уровня размещения антенн до уровня, определяемого «полным внутренним отражением» акустического пучка в градиентной среде.
Получены соотношения, позволяющие вычислить сдвиг ветра (вертикальный градиент скорости ветра) по измеренным сдвигам частоты. 
Оценены возможные погрешности. При сравнительно несложном исполнении приемно-передающей аппаратуры можно обеспечить относительную погрешность измерения сдвига ветра 10^-2.
Показано, что при расстоянии между передающей и приемной антеннами акустического локатора x_L ≈10⁰ км возможно определение вертикального сдвига ветра в приземном слое атмосферы в диапазоне, представляющем непосредственный практический интерес (включая значения, опасные для полетов авиации).