Определение всех используемых понятий, терминов и обозначений  можно найти в работах . Компакт – компактное хаусдорфово пространство, не обязательно метризуемое. Все пространства предполагаются вполне регулярными. В работе рассматриваются лишь такие спектры, проекции которых являются открыто-замкнутыми сюръективными отображениями.
Определение . Пусть . Оператор продолжения е открытых множеств пространства  называется регулярным, если е удовлетворяет условиям:
а)  для любого открытого подмножества U пространства X;
б) если U  и V – открытые подмножества пространства X и , то  для любых .
Определение. Отображение  называется параллельным пространству Z, если существует регулярное вложение  такое, что .
Следующее утверждение является основным результатом работы.
Теорема 1. Пусть  - непрерывный вполне упорядоченный спектр, причем сетевой вес  и все проекции  параллельны пространству сетевого веса ,  - всюду плотное подпространство и  - непрерывное отображение  на пространство , причем характер . Тогда сетевой вес .
Доказательству теоремы 1 предпошлем несколько утверждений технического характера, которые, тем не менее, представляют и самостоятельный интерес.
Пусть  - непрерывный вполне упорядоченный спектр. Для любого   через  обозначим множество, содержащее 1 и все те непредельные  , что

,

где  - предшествующий  трансфинит. Если   и , то будем говорить, что множество  имеет конечный тип. 
Лемма 1. Естественное вложение предельного пространства непрерывного вполне упорядоченного спектра в произведение его элементов является регулярным.
Доказательство. Пусть  - непрерывный спектр с открытыми проекциями и  - произведение элементов спектра . Обозначим через  базу пространства  из открытых множеств конечного типа. Для каждого  множество

обозначим  и положим

.

Так как все проекции спектра  являются открытыми отображениями, то множество  открыто в  для любого . Положим . Покажем, что для любого  выполняется , т. е. что семейство  является базой пространства . Допустим, что существует  такое, что  и пусть   Выберем наименьшее  такое, что существует открытое множество , содержащее , причем .
Ясно, что  не является предельным и , но тогда  - противоречие. Покажем, что если , то  для любых . Точку , принадлежащую множеству

,

построим по трансфинитной индукции. Наибольшее порядковое число, принадлежащее конечному множеству , обозначим через . Пусть . Для каждого  положим .
Пусть . Предположим, что для всех  координаты  искомой точки найдены, причем

.

1-й случай. . Пусть . Так как отображение  открыто-замкнуто, то

и

.

 Выберем некоторую точку

и положим . Аналогично поступаем, если . Если  и , то выберем произвольную точку  и положим .
2-й случай.  - предельное порядковое число. Выберем точку  такую, что  для любого  и положим . Ясно, что 

.

Индукция завершена.
Покажем, что точка  искомая. В самом деле, так как  и  для любого , то для любого  и любого отрытого множества  такого, что  выполняется  и .
Естественное вложение  в  обозначим через  и для каждого открытого множества  положим 

.

Ясно, что  для любого открытого множества , причем, если  - открытые множества  и , то . Таким образом,  - искомый оператор продолжения открытых множеств. Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть  - непрерывный вполне упорядоченный спектр, причем  и для любого  отображение  параллельно пространству сетевого веса . Тогда существует регулярное вложение пространства   в тихоновское произведение , причем сетевой вес  для любого .
Доказательство. Для каждого  мы построим регулярное вложение  пространства  в тихоновское произведение  пространств сетевого веса . Построение это проведем по трансфинитной индукции. Положим  и .
Допустим, что для некоторого  и всех  построение проведено.
1-й случай. . Пусть - регулярное вложение  в . Ясно, что вложение  пространства   в пространство  регулярно. Также очевидно, что вложение  пространства  в пространство  регулярно. Положим  и .
2-й случай.  - предельный ординал. Обозначим через  естественное вложение предельного пространства спектра  в произведение  и положим . Так как вложения  и  регулярны, то регулярно вложение . Положим  и . Индукция завершена.
Пусть  - естественное вложение  в . Положим . Поскольку вложения  и  регулярны (для  это следует из леммы 1), то регулярно вложение  пространства  в тихоновское произведение . Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1. По лемме 2 существует регулярное вложение  пространства  в тихоновское произведение , причем  для любого . Так как вложение  пространства  в  регулярно, то отображение  пространства  на пространство  регулярно относительно . Следовательно, [1]. Теорема доказана. 
Естественным продолжением обсуждаемых вопросов является следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть  - непрерывный вполне упорядоченный спектр из компактов, причем  и все проекции  параллельны пространству веса ,  - замкнутое подмножество , причем . Тогда существует замкнутое подмножество  такое, что .
Доказательство. Пусть  - определяющая система окрестностей множества  в пространстве  и база множества  в , причем . Для каждого  через  обозначим подсемейство семейства , состоящее из всех элементов , содержащихся в , и положим . Ясно, что для любого  множество  не пусто. Так как семейство  центрировано, то . Выберем точку . По лемме 2 существует регулярное вложение  пространства  в тихоновское произведение , причем  для каждого . Для каждого  через  обозначим подмножество  мощности  такое, что замыкание  в  не зависит от  и положим . Ясно, что . Положим  и покажем, что . Допустим, что существует точка , не принадлежащая множеству . Выберем  такое, что  и положим . Так как вложение  регулярно (лемма 1), то , и получаем противоречие с тем, что . Таким образом , , а так как  - слой в  с основанием мощности , то получаем , что . Теорема доказана.
Следствие. Пусть  - непрерывный вполне упорядоченный спектр из компактов, причем  и все проекции  параллельны пространству веса ,  и . Тогда .

1. Архангельский А.В. Об отображениях всюду плотных подпространств топологических произведений. // Докл. АН СССР. 1971. т. 197. № 4. С. 750 – 753.
2. Дранишников А.Н. Абсолютные экстензоры в размерности n и n-мягкие отображения, повышающие размерность. // УМН. 1984. т. 39. вып. 5. С. 55 – 95.
3. Широков Л.В. Внешняя характеристика пространств Дугунджи и -метризуемых бикомпактов. // Докл. АН СССР. 1982. т. 263. № 5. С. 1073-1077.
4. Широков Л.В. О AE(n)-бикомпактах. // Известия РАН. 1992. т. 56. № 6. С. 1316 – 1327.
5. Щепин Е.В. Топология предельных пространств несчетных обратных спектров. // УМН. 1976. т. 31. вып. 5.  С. 191-226.
6. Shirokov L.V. On some forms of embeddings of topological spaces. // Russian Mathematical Surveys 42, (2), 297-298.
7. Широков Л.В. О продолжении непрерывных отображений и аппроксимативной связности // Проблемы современной науки, Центр научного знания «ЛОГОС». 2013. выпуск 9. С. 3–9.
8. Широков Л.В. О -бикомпактах и -мягких отображениях. // Сиб. матем. журн. 1992. т. 33. № 2. С. 151-156.
9. Широков Л. В. Теория аналитических функций. Аспекты приложений/Л. В. Широков, Н. П. Ямпурин, В. Д. Садков. -Арзамас: АГПИ, 2004. -188 с.
10. Trukhmanov V.B. On subdirect sums of abelian torsion-free groups of rank 1. // Journal of Mathematical Sciences. 2008. Vol. 154. № 3. С. 422-429.
11. Трухманов В.Б. Подпрямые суммы абелевых групп без кручения ранга 1. // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т. 13. № 3. С. 209-221.

Все статьи автора «Широков Лев Васильевич»