Подчинить вычисления своей воле, сгруппировать математические операции, научиться их классифицировать по степени трудности, а не по внешним признакам – вот задачи математиков будущего, так, как я их понимаю, вот путь, по которому я хочу пойти…
Э. Галуа
На рубеже средних веков в работах арабских математиков формируется термин алгебра. Начиная с этого момента, она выделяется в самостоятельную отрасль математического знания, в центре которой занимает место решение алгебраических уравнений различных степеней в радикалах. Среди наиболее ранних работ в этой области можно отметитьработы Лагранжа, Руффини, Абеля. Но фундаментальные результаты в этой области получены в 1830-1832 гг.Э. Галуа. Он впервые ввел такиеалгебраические понятия как группа, подгруппа, нормальный делитель и поле. Всякому алгебраическому уравнению Галуа ставил в соответствие однозначно определенную группу, впоследствии названной группой Галуа. Разрешимость данной группы определяла разрешимость соответствующего ему алгебраического уравнения.
Исследования Галуа привели к новой точке зрения на предмет и задачи алгебры. С этого момента не решение уравнений, а изучение алгебраических операций, производимыми над элементами произвольного множества становится объектом алгебры.
Это постепенное преобразование алгебры как науки приобрело четкие очертания в работах Эмми Нетер – одной из талантливейших женщин мира. Она, начиная с 1920 года, заложила фундамент нового направления в алгебре, так называемой абстрактной или общей алгебры, т. е. общей теории колец, полей, идеалов. Работы Нетер были продолжены Штейницем, Артином и его учеником Ван дер Варденом.
Во всяком разделе математики, в частности, алгебре и теории чисел, приходится иметь дело с различными множествами. Традиционно понятие множества ассоциируется с числовым множеством, хотя как показывает практика, числовыми множествами представлена всего лишьих малая часть. Дальнейшее развитие этого понятия приводит нас к различным действиям над элементами заданного множества, именуемых в дальнейшем операциями, а если быть более точным – алгебраическими операциями. Наряду с этим главное отличие операций друг от друга – наличие или отсутствие определенных свойств. Таким образом, предметом изучения алгебры является традиционная тройка: множество, операция над элементами данного множествами и свойства данной операции, именуемой алгебраической структурой. При этом в центре алгебры находится действие той или иной операции над элементами произвольного множества, наряду с тем как природа элементов носит второстепенный характер.
В арифметике и алгебре оперируют с разными числами: целыми, рациональными, иррациональными, комплексными, с многочленами и алгебраическими дробями; при этом часто констатируют, что свойства производимых над разными объектами действий в основном одни и те же. В развитии алгебры углубленное изучение отдельных типов алгебраических структур происходило параллельно с выяснением их общих свойств. Так возникло одно их основных понятий абстрактной алгебры – кольцо. Обратимость операции умножения приводит к понятию частного случая кольца – поля (иногда называемого телом). Группы, кольца, поля – все это конкретные алгебраические структуры, или, точнее, типы алгебраических структур. Дальнейшее развитие этих понятий приводит нас к понятию модуля, идеала и мн. др.
Из курса общей алгебры известны «естественные» числовые поля – поле рациональных чисел, поле действительных чисел и поле комплексных чисел. В свою очередь, очевидно, что поле комплексных чисел является расширением поля действительных чисел, поле действительных чисел – расширение поля рациональных чисел, другими словами имеет место вложение:
При этом поле Q, в отличие от R и C, простое поле нулевой характеристики, так как не содержит другие поля в качестве подполей.Но наряду с вышеуказанными полямисуществуют и другие подполя поля комплексных чисел. Опишем одно из них.
Пусть m – натуральное число и пусть число ζ, как и все его степени –корни уравнение хm-1=0, то есть значения корня m-й степени из единицы. Причем корень ζ– первообразный корень m-й степени из единицы, если он не является корнем многочлена хn-1=0 при n<m. Если ζ– первообразный корень m-й степени из единицы, то любой другой корень степени m из единицыявляется степенью ζ, а первообразные корни степени m из единицы – это в точности элементы ζk, где k и m взаимно просты. Из всего вышесказанноговытекает, чтоF=Q(ζ) – поле разложения для многочлена хm-1. Таким образом, хm-1= (х-1)(х – ζ) … (х-ζm-1). Поле F=Q(ζm) называется круговым полем корней m-й степени из единицы или просто круговым полем. Первым его начал изучать Гаусс в связи с построением правильных многоугольников.
Покажем, что круговое поле неразложимо над полем Q. Пусть f(х)=0 неразложимое уравнение, которому удовлетворяет произвольно выбранный примитивный корень из единицы ζ. При этом f(х) можно рассматривать как целочисленный многочлен. Нужно показать, что f(х) = Фh(x), где Фh(x)=0 – уравнение деления круга степени h.
Пусть p – простое число, на которое не делится число h. Тогда вместе с ζ также и ζp является примитивным корнем h-й степени из единицы, и этот элемент удовлетворяет некоторому целочисленному разложимому уравнению g(ζp)=0 левая часть которого равна Фh(x). Прежде всего, покажем, что f(x)=εg(x), где ε= ±1 – обратимый элемент в кольце целых чисел.
Многочлен вместе с f(x) имеет корнем элемент ζ, а вместе с g(x) – корень ζp; следовательно, этот многочлен делится как на f(x), так и на g(x). Если бы f(x)и g(x) были существенно различными многочленами, то xh-1 должен был делиться на произведениеf(x)g(x):
xh-1= f(x)g(x)h(x),
где многочлен h(x) тоже должен быть целочисленным. Далее, многочлен g(xp) имеетζ своим корнем, а потому должен делиться на f(x):
g(xp)=f(x)k(x),
причем опять-таки k(x) – целочисленный многочлен.
Рассмотрим теперь xh-1= f(x)g(x)h(x) и g(xp)=f(x)k(x) как сравнения по модулю p. Тогда по модулю p:
g(xp)≡ {g(х)}p.
Действительно, если выполнить возведение в степень справа,записав предварительно g(x) без коэффициентов как сумму степеней х, а затем раскрыть скобки в соответствие с правилами, получив {g(х)}p возведением в p-ю степень каждого слагаемого, то получится как раз g(xp). И теперь следует, что
{g(х)}p≡ f(x)k(x) (modp).
Разложим обе части равенства на неразложимые множители по модулю p. В силу теоремы об однозначном разложении на простые множители многочлена с коэффициентами из поля Z/(p), каждый множитель φ(х) и f(x) должен входить в {g(х)}p , а потому и в g(x). Следовательно, правая частьxh-1= f(x)g(x)h(x) по модулю p делится наφ2(х), а потому по модулю p как левая часть xh-1, так и её производная hxh-1 должны делится на φ(х). Однако производнаяhxh-1 в силу того, что h не сравнимо с 0 по модулю p, имеет лишь те простые делители х, которые не делят xh-1. Тем самым мы получили противоречие.
Таким образом, f(x)=±g(x) и ζp – корень многочлена f(x).
Покажем теперь следующее: все примитивные корни h-й степени из единицы являются корнями многочлена f(x). Пусть ζv — такой корень из единицы и пусть
v = p1 … pn
где pi —равные или различные простые множители, взаимно простые с h.
Так как ζ удовлетворяет уравнению f(x) = 0, таким же должен быть и элемент ζp1. Повторение рассуждений для нового простого числа р2 показывает, что и элементζp1p2удовлетворяет этому уравнению. Продолжая, таким образом, мы получим, что ζv удовлетворяет уравнению f(x)=0.
Следовательно, все корни многочлена Фh(х) удовлетворяют уравнению f(x)=0; так как f(x) неразложим, а Фh(x) не имеет кратных корней, то Фh (x) = f(x). Тем самым доказана неразложимость уравнения деления круга.
Библиографический список
- Айерленд К., Роузен М., Классическое введение в современную теорию чисел. М: Наука, 1987 г. – 416 с.
- Боревич З.И., Шафаревич И.Р., Теория чисел. М: Наука, 1985 г. – 504 с.
- Ван дер Варден Б.Л., Алгебра,М: Наука, 1975 г. – 648 с.
- Винберг Э.Б., Курс алгебры. М: Факториал-пресс, 2001 г. – 544 с.
- Девенпорт Г., Введение в теорию чисел. М: Наука, 1965 г. – 176 с.
- Кострикин А.И., Введение в алгебру Часть 1. М: Наука, 1977 г. – 272 с.
- Януш Г.Дж., Алгебраические числовые поля. Н.: Научная книга, 2001 г.- 248 с.