В последнее время исследования в вопросах реализации модулярной арифметики на различных вычислительных средствах (от интеллектуальных карт до параллельных вычислительных систем) фактически сформировали отдельное направление. Перспективным является разработка сопроцессора, функционирующего в модулярной арифметике.

Основные требования, предъявляемые к процессору:

• обеспечение требуемой вычислительной мощности;
  
• достоверность обработки информации;
  
• надежность функционирования.
  

Применение модулярного кодирования информации (использование системы остаточных классов (СОК)) в нейрокомпьютерах обусловлено прежде всего адекватностью СОК и нейронных сетей (НС), которое заключается в следующем:

• основные операции нейросетевого логического базиса просто реализуются в СОК;
  
• выполнение арифметических операций в СОК может быть сопоставлено многослойной нейронной сетью;
  
• семантическое сходство китайской теоремы об остатках и нейрона.
  

Таким образом, предлагается соединить возможности непозиционных модулярных кодов СОК и нейронные способы обработки информации для создания высокопроизводительного отказоустойчивого сопроцессора, который может быть выполнен в виде отдельных тактов по числу оснований СОК. Применение СОК обеспечивает независимую и параллельную обработку информации, повышая тем самым скорость работы. Один из подходов к решению проблемы повышения надежности сопроцессора, функционирующего в СОК, основан на перераспределении его каналов при отказах части рабочих и контрольных каналов. Наиболее важным свойством СОК является возможность обеспечения обменных операций между точностью, быстродействием и надежностью. Избыточное кодирование в СОК позволят использовать информационную избыточность для обнаружения и коррекции ошибок.

Обеспечение требуемой достоверность обработки информации можно разбить на три задачи:

1. Обнаружение ошибки.
   
2. Локализация ошибки.
   
3. Коррекция ошибки.
   

Система остаточных классов характеризуется рядом k парных взаимно простых чисел {p₁, p₂,…, p_n}, то есть (p_i, p_j)=1, для i¹j. Интервал [0, P) при является динамическим диапазоном СОК. Операции в остатках определяются выражением (1), * - обозначает сложение, вычитание или умножение.

        (1)

Избыточные СОК обладают свойствами, которые можно использовать для контроля ошибок и устранения отказов [1]. Избыточная СОК имеет k – рабочих и r – контрольных оснований. Для обеспечения единственности представления каждого состояния системы СОК все основания p₁, p₂,…, p_k, …, p_k+1 должны быть взаимно простыми. Рабочие основания p₁, p₂,…, p_k представляют собой неизбыточные основания, а контрольные r оснований p_k+1, …, p_k+r – избыточные. В избыточной СОК число представляется k+r остаточными цифрами x₁, x₂, …, x_k являются неизбыточными цифрами, а x_k+1, …, x_k+r – избыточными. Полный диапазон избыточной СОК обозначим [0, P), где охватывает полное множество состояний, представленных всеми k+r остаточными цифрами. Весь диапазон разбивается на смежные области. Определяемые неизбыточными и избыточными основаниями. Область [0, P) представляет собой полный диапазон.

Рассмотрим методы обнаружения переполнения динамического диапазона и методы обнаружения и коррекции ошибок в избыточной СОК. Переполнение относительно сложно обнаружить в СОК, так как для этого необходимо определить величину результата. В избыточной СОК переполнение легко обнаружить путем перехода к обобщенной позиционной системе счисления (ОПСС) и проверки условия попал ли результат в область разрешенных значений. Если x¢₁, x¢₂, …, x¢_k+r является числами упорядоченной ОПСС, то есть p_k+j³p_i для всех j=1,…, r и i=1,…, k, тогда X лежит в диапазоне разрешенных значений, если избыточные цифры ОПСС являются нулевыми.

для j= 1,…, r.

Это позволяет определить переполнение рабочего диапазона путем вычисления цифр ОПСС и использования для этого избыточных ненулевых цифр. Известно, что для определения переполнения динамического диапазона и для определения и коррекции ошибки используется избыточный модуль. В связи с этим возникает необходимость одновременного определения переполнения динамического диапазона и ошибки, и уметь их различать для правильной оценки ситуации.

Пример:

Выберем систему p₁=2, p₂=3, p₃=5, p₄=7, p₅=11 для которой диапазон правильных величин (рабочий диапазон) R=2×3×5×7×1=2310.

Вычислим ортогональные базисы системы и переведем их в ОПСС:

В₁=1155, А₁ = [1, 1, 2, 3, 5],

В₂=1540, А₂ = [0, 2, 1, 2, 7],

В₃=1386, А₃ = [0, 0, 1, 4, 6],

В₄=330, А₄ = [0, 0, 0, 4, 1],

В₅=210, А₅ = [0, 0, 0, 0, 1].

Передано число А= (1, 1, 0, 4, 3). Найдем представление этого числа в ОПСС, тогда А= (1, 1, 0, 4, 3) ® (½1×А₁+1×А₂+0×А₃+4×А₄+3×А₅½р_i).

Итак, число А в СОК равно (1, 1, 0, 4, 3), а в ОПСС равно [1, 0, 4, 0, 0]. Проведем проверку путем перехода от ОПСС и СОК к обычному позиционному представлению.

А = (a₁×В₁+a₂×В₂+a₃×В₃+a₄×В₄+a₅×В₅) mod2310 =

= (1×1155+1×1540+0×1386+4×330+3×210) mod 2310=25,

А = а₁+а₂×p₁+а₃×p₁×p₂ +а₄×p₁×p₂×p₃ +а₅×p₁×p₂×p₃×p₄ = = 1+0×2+4×6+0×30+0×210=25.

Из приведенного примера видно, что ОПСС и СОК дают одно и тоже позиционное число – 25. Для иллюстрации локализации ошибки выберем те же основания СОК, что и в предыдущем примере, причем в качестве рабочих оснований примем p₁, p₂, p₃, p₄, а в качестве избыточного – основания p₅. Тогда диапазон правильных величин (рабочий диапазон) R=2×3×5×7=210, а полный диапазон определяется как: P=210×11=2310.

Вместо числа А= (1, 1, 0, 4, 3) принято = (1, 1, 4, 4, 3). Найдем представление этого числа в ОПСС, тогда = (1, 1, 4, 4, 3) ® (½1×А₁+1×А₂+4×А₃+4×А₄+3×А₅½р_i).

а₅ =4¹0Þ произошла ошибка

Вычислим проекции числа по каждому из оснований.

По основанию p₁=2.

Для системы с основаниями: p₂=3, p₃=5, p₄=7, p₅=11 вычислим ортогональные базисы и представим в ОПСС

В₂=385, А₂₁ = [1, 3, 4, 3],

В₃=231, А₃₁ = [0, 2, 1, 2],

В₄=330, А₄₁ = [0, 0, 1, 3],

В₅=210, А₅₁ = [0, 0, 0, 2].

а₅ =9¹0Þ число по основанию p₁=2 правильное.

По основанию p₂=3.

Для системы с основаниями: p₁=2, p₃=5, p₄=7, p₅=11 вычислим ортогональные базисы и представим в ОПСС

В₁=385, А₁₂ = [1, 2, 3, 5],

В₃=616, А₃₂ = [0, 3, 5, 8],

В₄=330, А₄₂ = [0, 0, 5, 4],

В₅=210, А₅₂ = [0, 0, 0, 3].

а₅ =2¹0Þ число по основанию p₂=3 правильное.

По основанию p₃=5.

Для системы с основаниями: p₁=2, p₂=3, p₄=7, p₅=11 вычислим ортогональные базисы и представим в ОПСС

В₁=231, А₁₃ = [1, 1, 3, 5],

В₂=154, А₂₃ = [0, 2, 4, 3],

В₄=330, А₄₂ = [0, 0, 6, 7],

В₅=210, А₅₂ = [0, 0, 0, 5].

а₅ =0Þ произошла ошибка по основанию p₃=5.

Представленный алгоритм локализации ошибок может быть, применим для локализации не только одиночной ошибки, но и при некоторых условиях также двойных и тройных ошибок, обеспечивает реальную возможность повышения информационной надежности НК. Это обусловлено специфическими способностями представления и обработки непозиционных кодовых структур в СОК. Следовательно, внедрение чисел в модулярном коде, является одним из наиболее перспективных путей повышения отказоустойчивости и быстродействия вычислительных средств.

Использование системы остаточных классов для обработки информации позволяет относительно легко обеспечить высокую производительность, помехоустойчивость систем обработки информации, необходимую точность, разрешающую способность и ряд других преимуществ из-за ее способности поддерживать высокоскоростную арифметику при параллельной обработке данных [2].

Недостатки реализации системы остаточных классов могут быть устранены за счет придания системе остаточных классов адаптивных свойств нейронных сетей (НС), эффективно эмулируемых современными нейрокомпьютерами (НК).

Между нейронными сетями и модулярной арифметикой существует интересная связь. Если количество синапсов, используемых между нейронами, согласовано с количеством оснований системы остаточных классов, то нейронная сеть становится натуральным представлением системы остаточных классов. Структура нейронной сети и структура алгоритма решения задачи, представленные в системе остаточных классов, обладают естественным параллелизмом. Алгоритмы вычислений при использовании непозиционной арифметики, соответствуют алгоритмам вычислений с помощью базовых процессорных элементов. По этой причине схемы в остаточных классах адекватны схемам, которые реализованы с помощью искусственных нейронов [3].

В этом плане перспективным оказывается использование искусственных нейронных сетей, для которых остро встают такие вопросы как: выбор числа слоев НС, выбор числа входов одного нейрона, выбор вида и параметров возбуждающей функции [4].

Область идентификации или распознавания образов традиционно считается наиболее перспективной областью применения модулярного НК. Это связано с тем, что задачи распознавания образов относятся к классу, так называемых, нерегулярных, случайных и плохо формализуемых задач, для которых крайне сложно построить алгоритм решения. В этих условиях НК, способные автоматически формировать алгоритмы решения поставленных задач путем реализации процедуры обучения, являются весьма перспективными, а во многих случаях и уникальным средством эффективного решения таких задач.

Сочетание достоинств модулярной арифметики и положительных свойств нейронных сетей позволяет проектировать специализированные процессоры цифровой обработки сигналов принципиально нового класса, которые по сравнению с традиционными, обеспечивают более высокое быстродействие.

1. Червяков Н. И., Сивоплясов Д. В., Горденко Д. В. Нейронная сеть для преобразования полиадического кода в код системы остаточных классов // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. 2003. № 10-11. с. 10.
2. Горденко Д. В., Горденко Н. В. Локализация ошибок в устройствах цифровой обработки сигналов на основе алгебры полиномов // Вестник Сев-Кав ГТИ. 2009. № 9. с. 56-61.
3. Горденко Д. В., Резеньков Д. Н., Яйлаханов С. В. Высоконадежные комплексы и средства связи на нейросетевых элементах. Москва, 2010.
4. Горденко Д. В., Горденко Н. В., Павленко Н. А., Павлюк Д. Н., Ткачук Р. В. Коррекция ошибок в системе остаточных классов с минимальной временной сложностью на основе метода расширения оснований // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: технические науки. 2007. № 4. с. 12-14.

Все статьи автора «Горденко Дмитрий Владимирович»