УДК 621.01

ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НИЛЬСЕНА К ИССЛЕДОВАНИЮ ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОГО МЕХАНИЗМА

Доронин Феликс Александрович
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования " Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I" ПГУПС
кандидат технических наук, доцент кафедры «Теоретическая механика»

Аннотация
Предложен алгоритм составления дифференциальных уравнений движения плоских стержневых механизмов с одной степенью свободы, основанный на применении уравнений Нильсена и матрицы Якоби. Решение задачи в среде «Mathcad» позволяет легко получить хронограммы обобщенных координат, скоростей и внутренних усилий, действующих на звенья механизма.

Ключевые слова: аналог скорости, аналог ускорения, лагранжева механика, матрица Якоби, уравнения Нильсена


APPLICATION OF THE EQUATIONS OF NIELSEN TO RESEARCH OF MOVEMENT OF THE FLAT MECHANISM

Doronin Felix Aleksandrovitch
Petersburg State Transport University
PhD in Technical Science, Assistant Professor of the Theoretical Mechanics Department

Abstract
The algorithm of drawing up the differential equations of movement of flat hinge mechanisms with one degree of freedom, based on application of the Nielsen’s equations and Jacobi's matrix is offered. The Solution of a problem in «Mathcad» environment easily allows to receive chronograms of the generalized coordinates, speeds and the internal forces operating on the links of the mechanism.

Keywords: analog of acceleration, analog of speed, Jacobi's matrix, Lagrangian mechanics, Nielsen's equation


Рубрика: Общая рубрика

Библиографическая ссылка на статью:
Доронин Ф.А. Применение уравнений Нильсена к исследованию движения плоского механизма // Исследования в области естественных наук. 2015. № 3 [Электронный ресурс]. URL: http://science.snauka.ru/2015/03/9706 (дата обращения: 02.05.2017).

При исследовании движения механической системы актуальным является вопрос о составлении и решении дифференциальных уравнений, описывающих её движение. До сих пор кое-где используются графические и графоаналитические приёмы решения этой задачи, хотя хорошо известны недостатки, присущие этим приёмам. Вместе с тем в литературе встречаются примеры применения аналитических способов изучения динамики плоских механизмов [1-6]. В работе [7] подчёркивается необходимость более широкого применения лагранжевой механики при решении задач теории механизмов и машин. Механика Лагранжа обладающая высокой эффективностью и, вместе с тем, компактностью, облегчает процесс математического моделирования механических систем и страхует исследователя от ошибок. 

Уравнения Нильсена

, (1)

будучи менее известными, чем уравнения Лагранжа, столь же быстро как последние (а для систем со многими степенями свободы ещё быстрее) позволяют получить дифференциальные уравнения движения несвободной механической системы, пригодные для последующего аналитического либо численного интегрирования.
Здесь: T – кинетическая энергия системы, qk – k-я обобщенная координата, Qk – обобщенная сила, соответствующая k-й обобщенной координате, n – число степеней свободы системы.
Рассмотрим механическую систему с одной степенью свободы, кинетическая энергия которой определяется выражением:

,

где A(q) – коэффициент инерции системы,  – обобщённая скорость.
Вычислим производные, входящие в уравнение (1):

. (2)

Подставляя выражения (2) в формулу (1), получаем дифференциальное уравнение движения механической системы:

Рис. 1 Схема плоского механизма с одной степенью свободы
. (3)

В качестве учебного примера рассмотрим механизм, представленный на рис. 1. Кривошип OA длины l1=0,3 м и массы m1=2 кг вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку O, под действием постоянного вращающего момента M=20 Н·м. К ползуну B приложена сила вязкого сопротивления , модуль которой прямо пропорционален скорости движения ползуна , где =1,5 Н·м/с коэффициент вязкого сопротивления, скорость ползуна B. Массы всех звеньев (mBD=m2=5 кг; mB=m3=1 кг; mE=m4=1 кг; mDE=m5=2,5 кг) и их размеры (lAB=l21=0,4 м; lAD=l22=0,5 м; lDE=l5=0,5 м, b=0,3 м) считаются известными. Механизм расположен в вертикальной плоскости. Ползуны и 4 считать материальными точками, а звенья 1и 5 однородными тонкими стержнями. Силы трения в подвижных соединениях не учитываются. В начальный момент времени (t=0) известны положение и угловая скорость ведущего звена: и с-1.
Рассматриваемый механизм имеет одну степень свободы. За обобщённую координату примем угол поворота 1 кривошипа ОА.
Разобьем механизм на три части (подсистемы): а) звено 1 (рис. 2), б) звенья 2-(рис. 3), в) звенья 4-(рис. 4). Для каждой из подсистем выберем обобщенные координаты.

Рис. 2 Схема подсистемы механизма, состоящей из звена 1
Рис. 3 Схема подсистемы механизма, состоящей из звеньев 2-3

Подсистема а стержень 1, обобщенная координата 1
Подсистема б звенья 2 и 3, обобщенные координаты x и 2
Подсистема в звенья 4 и 5, обобщенные координаты y и 5.

Рис. 4 Схема подсистемы, состоящей из звеньев 4-5

Обобщённую координату 1 будем называть основной, а остальные () – избыточными. Для определения избыточных координат составим уравнения связей.xА1=xА2 yА1=yА2

 (4)
 (5)

xD2=xD5 yD2=yD5

 (6)
 (7)

Систему уравнений (4)-(7) запишем в матричной форме:

 (8)

где
;.
Решение матричного уравнения (8) проведём при помощи математического пакета Mathcad и получим начальные значения избыточных координат при заданной сборке механизма:

20=2,769 рад=158,52; x=0,935 м; y= –0,158 м; 50=0,969 рад=55,52.

Продифференцируем уравнение (8) по основной обобщённой координате и получим матричное уравнение, из которого можно определить значения аналогов скоростей (впервые были использованы Л.В. Ассуромдля избыточных обобщённых координат:

 (9)

где 
 – матрица Якоби; 
 – матрица избыточных обобщённых координат; – матрица аналогов избыточных обобщённых скоростей (штрихами обозначены частные производные от избыточных координат по основной координате 1).
Если матрица Якоби не особенна, то из уравнения (9) находим матрицу аналогов скоростей:

.

В результате вычислений в программе Mathcad получаем следующие начальные значения начальных избыточных обобщённых скоростей:

= –0,704 рад/с; = –0,248 м/с; =0,412 м/с; = 0,166 рад/с.

Избыточные обобщённые скорости связаны с аналогами скоростей формулами:

; (10)
. (11)

Эти соотношения можно записать в матричной форме:

. (12)

Здесь:  – избыточные обобщённые скорости системы.
Аналогично, вычислив производную от выражения (9) по основной обобщённой координате 1, получим уравнение

 (13)

где 
.
Из уравнения (13) определим матрицу аналогов ускорений:

.

Избыточные обобщённые ускорения связаны с аналогами скоростей и ускорений формулами:

. (14)

Эти соотношения можно записать в матричной форме:

, (15)

где  – избыточные обобщённые ускорения системы.
На следующем этапе решения задачи для каждой из подсистем составим выражения для кинетической энергии.Кинетическая энергия кривошипа 1:

.

Кинетическая энергия звеньев, входящих в подсистему б:

.

Кинетическая энергия звеньев, входящих в подсистему в:

.

Кинетическая энергия всей системы с учётом соотношений (10) и (11) принимает вид:

,

где 

 (16)

– коэффициент инерции системы.
В дифференциальное уравнение (3) входит производная :


 

(17)

Сообщим кривошипу ОА возможную скорость  и определим сумму мощностей внешних сил, действующих на механизм:

Отсюда следует выражение для обобщённой силы Q:

. (18)

Подставляя выражения (16)-(18) в уравнение (3), получаем дифференциальное уравнение:

.

Отсюда нетрудно выразить угловое ускорение ведущего звена механизма:

.

Приведём полученную систему дифференциальных уравнений к нормальному виду и подготовим её к численному интегрированию методом Рунге-Кутты в пакете Mathcad (разумеется, для численного решения задачи можно использовать любой из существующих математических пакетов программ; в рассматриваемом случае пакет Mathcad применен в качестве примера).
Для этого создадим матрицу начальных значений фазового вектора:

и, следуя алгоритму интегрирования системы дифференциальных уравнений, зашитому в пакете Mathcad, сформируем вектор-столбец правых частей этой системы:

.

Для решения задачи используем процедуру численного интегрирования системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты с фиксированным шагом:

.

Результаты расчетов представим в виде хронограмм обобщенных координат и обобщенных скоростей. 
На рис. 5 и 6 показаны хронограммы обобщённых координат (основной и избыточных), а также угловой скорости и углового ускорения ведущего звена механизма.

Рис. 5 Зависимости основной и избыточных обобщённых координат от времени
Рис. 6 Зависимости угловой скорости 1 и углового ускорения e1 ведущего звена от времени

Для получения хронограмм внутренних усилий в шарнирных соединениях механизма требуется рассмотреть движение подсистем ОА1BD2 и ED5.


Библиографический список
  1. Доронин Ф.А., Доев В.С. Исследование движения плоского механизма с помощью пакета Mathcad. // Теория механизмов и машин. 2011. №1(17). С. 77-87.
  2. Зиборов К.А. Силовой анализ механизмов с помощью программы Mathcad. / Зиборов К.А., Мацюк И.Н., Шляхов Э.М. // Теория механизмов и машин. 2010. №1(15). С. 83-88.
  3. Мацюк И.Н., Шляхов Э.М. Кинетостатика плоских стержневых механизмов произвольной структуры // Теория механизмов и машин. 2013. №1(21). Том 11. С. 71-77.
  4. Мкртычев О.В. Компьютерное моделирование при силовом расчёте плоских механизмов. // Теория механизмов и машин. 2013. №1(21). Том 11. С. 77-84.
  5. Мацюк И.Н., Шляхов Э.М. Принцип возможных перемещений в исследовании механизмов.// Теория механизмов и машин. 2014. №1(23). С. 51-58.
  6. Доев В.С., Доронин Ф.А. Сборник заданий по теоретической механике на базе Mathcad: Учебное пособие. СПб.: Издательство «Лань», 2010. 592 с.
  7. Елисеев В.В. О рамках специальности «Теория механизмов и машин»// Теория механизмов и машин. 2009. №1(17). С. 60-63.


Все статьи автора «Доронин Феликс Александрович»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: