УДК 512.541.3

О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ И Р-СПЕЦИАЛЬНЫХ ГРУППАХ

Трухманов Вячеслав Борисович
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, Арзамасский филиал
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информатики, теории и методики обучения информатике

Аннотация
Эта статья посвящена изучению одного из подклассов класса абелевых групп без кручения ранга 2, а именно, абелевых групп, являющихся подпрямой суммой двух рациональных групп и обладающих некоторым базисным элементом. Задача описания абелевых групп без кручения конечного ранга, отличного от ранга 1 (для групп ранга 1 задача решена), является достаточно важной и активно решаемой в теории абелевых групп. Рассматриваются некоторые свойства групп из данного подкласса.

Ключевые слова: абелева группа, абелева группа без кручения, кольцо универсальных чисел., кольцо целых чисел, подпрямая сумма абелевых групп, рациональная группа


ON SOME SPECIAL AND P-SPECIAL GROUPS

Trukhmanov Vyacheslav Borisovich
Arzamas branch of the Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod
Candidate of physico-mathematical Sciences, associate Professor

Abstract
This article is devoted to the study of one of the subclasses of Abelian torsion-free groups of rank 2, namely, Abelian groups that are subdirect sum of two rationally groups and possessing some basic element. The problem of describing Abelian groups of finite rank, than the rank 1, is sufficiently important tion and actively solved in the theory of Abelian groups. Consider some properties of groups of this subclass.

Рубрика: Математика

Библиографическая ссылка на статью:
Трухманов В.Б. О некоторых специальных и р-специальных группах // Исследования в области естественных наук. 2014. № 6 [Электронный ресурс]. URL: http://science.snauka.ru/2014/06/7405 (дата обращения: 03.05.2017).

В данной статье рассматриваются свойства так называемых специальных и р-специальных групп, введенных и изучаемых автором в работах [1] и [4]. Необходимые определения и обозначения приведены в работах [1] – [8].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть А и B – рациональные группы. Упорядоченную пару элементов (α, β), где , будем называть базисом подпрямой суммы G групп А и В, если GА = <α>, GВ = <β>.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пусть р – простое число. Абелеву группу без кручения G ранга 2, будем называть р-специальной, если

1) группа G является подпрямой суммой рациональных групп, изоморфных рациональной группе р;

2) группа G обладает базисом.

Пусть далее, для некоторых делимых рациональных групп А и B, G – специальная группа с базисом (α, β)  – подгруппа  прямой суммы групп А и В, Z – кольцо целых чисел. Для любого простого числа р, через G р будем обозначать множество пар  вида   где = 0, 1, 2, … ; т, m′  – целые числа, взаимно простые с числом р.

ЛЕММА 1. Множество G р образует подгруппу группы G.

Доказательство. Данное утверждение следует из очевидной замкнутости множества G р относительно операции сложения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть  A′ и B′ – рациональные группы, изоморфные группе Q р, для некоторого простого числа р, подгруппу прямой суммы групп A′ и B′ будем называть р-специальной, если она является подпрямой суммой групп A′ и B′, индуцированной группой Q р/Z, с базисом (α, β).

Введем следующее обозначение: если А и B – делимые рациональные группы и G – специальная группа с базисом (α, β), где , то для любого натурального числа n ≠ 1 через Gn будем обозначать подмножество группы G, состоящее из всех пар вида  , где т, m′  целые числа, взаимно простые с числом d, для каждого натурального делителя d числа п.

ЛЕММА 2. для любого натурального числа j.

Доказательство непосредственно следует из определения G р.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Для любого простого числа р, выполняются условия:

1) подгруппа G р группы G является р-специальной подгруппой;

2) группа G р может быть получена как объединение бесконечной возрастающей цепи своих подгрупп , где ;

3) система , где – естественное вложение , образует прямой спектр, причем .

Доказательство. Пусть р – простое число. Рассмотрим множество G р. По определению, , покажем, что множество G образует подпрямую сумму групп  и , индуцированную группой Q р/Z, с базисом (α, β), причем группа Gр является подгруппой группы G.

Действительно, рассмотрим два произвольных элемента группы G p:  и , причем, . Поскольку рi является делителем р j, то, по определению группы , элементы ии и2, а также их сумма, принадлежат , и, следовательно, множеству G р.

Таким образом, G ргруппа.

Далее, пусть элемент , тогда числа т и рi взаимно просты, и, следовательно, существует число m′ , взаимно  простое с числом рi такое, что элемент , причем ни для какого числа m″ , несравнимого с числом     m′  по модулю рi  в кольце Z, элемент .

Таким образом, проекция является эпиморфизмом. Аналогично получаем, что проекция также является эпиморфизмом. Следовательно, группа Gр есть подпрямая сумма групп A′  и B, индуцированная группой Q р/Z.

Условие 2) непосредственно следует из определения группы G р, а также из определения групп  для каждого целого положительного числа i. Условие 3) предложения непосредственно следует из определения прямого спектра.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Для любого элемента v группы G, не принадлежащего группе , существуют и причем единственные, с точностью до нумерации, простые числа р1, р2, …, рr такие, что v = v0+ v1 + v2 + … + vr, где ,
, …, .

   Доказательство. Пусть п – целое положительное число, отличное от единицы, такое, что , где числа р1, р2, ..., рr – различные простые, и пусть элемент , где числа k и т – целые, взаимно простые с числом п. Тогда, очевидно, пара  может быть представлена в виде:

,

где s и t – целые числа, а k' и m' - наименьшие целые положительные числа такие. что k′  сравнимо с k, а m′  сравнимо с т по модулю nZ в кольце Z. Пары  и (sα, tβ) принадлежат группе G, причем, как легко видеть, пара может быть представлена в виде:

,

где . Что и требовалось доказать.

ЛЕММА. Для любого целого положительного числа k и любых целых взаимно простых чисел р1, р2, ..., рвыполняется условие: если сумма

,

где п1, п2, ..., пk, m1, m2, ..., mk – целые числа, причем, для каждого номера i = 1, 2, ..., k выполняются условия: ,
, принадлежит группе G, то и каждый из элементов  принадлежит группе G.

Доказательство проведем методом математической индукции по числу k. Пусть k = 2, то есть сумма пар


принадлежит группе G. Следовательно, если одна из пар  или  принадлежит группе G, то, очевидно, и другая пара также принадлежит группе G. Поэтому, предположим, что никакая из пар и  не принадлежит подпрямой сумме G групп А и В, индуцированной группой Q/Z. Но тогда, по определению подпрямой суммы групп, существуют целые числа  такие, что

   

и такие, что пары и  принадлежат группе G. Значит, и сумма


также принадлежит группе G. Тогда, числа у1р2 + у2ри  сравнимы по модулю р1рв кольце Z, следовательно, в кольце Z имеет место сравнение:

.

Но, поскольку, для чисел , ,  выполняются условия:

 

то сумма равна либо нулю, либо р1р2. Тогда, в первом случае получаем, что . Следовательно, поскольку, по условию, числа ри р2 взаимно просты, то разность делится на число р1, а разность  делится на число р2. Во втором случае, как нетрудно видеть, получаются точно такие же выводы.

Таким образом, в кольце Z имеют место сравнения: и, значит, пары и  есть элементы группы G. 

Далее предположим, что для любого числа пар – слагаемых, меньшего числа k, лемма выполняется. Тогда, взяв сумму пар

,

и, разбив ее произвольным образом на сумму двух слагаемых, мы, используя предположение индукции и изложенные выше рассуждения, легко сможем показать, что каждая из пар принадлежит G. Следовательно, по принципу индукции, лемма выполняется для любого числа пар – слагаемых.

ТЕОРЕМА 3. , причем для любых различных простых чисел р и q справедливо равенство: , где группы Gи GB – ядра подпрямой суммы G групп А и В.

Доказательство. Легко видеть, что для любого простого числа р группа Gp является подгруппой группы G. Следовательно, .

Обратно. По предложению 2 пара , где числа k и т – целые, взаимно простые с числом п, может быть представлена в виде: , где s и t – целые числа, а k′  и m′  – наименьшие целые положительные числа такие, что    k′ сравнимо с k, а m′  сравнимо с т по модулю nZ в кольце целых чисел Z, а пара  может быть представлена в виде:

,

где, по лемме, каждое слагаемое принадлежит группе G. Следовательно, Таким образом, .

Второе равенство в условии теоремы очевидно. Теорема доказана.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть для каждого простого числа р, через Н р обозначим подпрямую сумму рациональных групп  A′  и B′ ,

изоморфных группе Q р и являющихся подгруппами групп А и В, соответственно, индуцированную группой Q р/Z, с одним и тем же базисом (α, β) . Тогда для каждого множества , подпрямая сумма G групп А и B, индуцированная группой Q/Z, с базисом (α, β)  такая, что Н р= G p, существует и единственна.

Доказательство. Пусть дано некоторое множество подпрямых сумм рациональных групп A′  и B′ , изоморфных группам Q р, для каждого простого числа р, и являющихся подгруппами групп А и В, соответственно, индуцированных группами Q р/Z, с одним и тем же базисом (α, β). Тогда, применив рассуждения, аналогичные приведенным в теореме, мы получим, что .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность целых положительных чисел


будем называть характеристической последовательностью группы G р для данного базиса (α, β) , если для каждого номера i, число тявляется наименьшим положительным, таким, что элемент принадлежит р-специальной подгруппе G р группы G, где р – простое число.

Поскольку, с точностью до знака, подпрямая сумма двух изоморфных рациональных групп имеет два базиса, то и характеристических последовательностей у такой подпрямой суммы будет две. Условие, описывающее характеристическую последовательность, и условие, связывающее характеристические последовательности одной и той же подпрямой суммы данных групп сформулированы в следующих предложениях.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Последовательность целых положительных чисел является характеристической для некоторой р-специальной подгруппы G р группы G тогда и только тогда, когда выполняются условия:

  1. 0 < т< рi, для каждого номера i = 1, 2, …;
  2.  для каждого номера i = 2, 3, ….

Доказательство непосредственно следует из определения подпрямой суммы, характеристической последовательности.

СЛЕДСТВИЕ. Характеристическая последовательность группы G р сходится к некоторому целому р-адическому числу ρ  – единичному элементу кольца целых р-адических чисел.

Доказательство непосредственно следует из определения целого р-адического числа, а также из условия, что в данной последовательности отсутствуют нули.

Итак, на основании выше доказанных предложений мы можем сформулировать основную теорему.

ТЕОРЕМА 5. Для данного простого числа р существует взаимно-однозначное соответствие между множеством всех р-специальных групп с фиксированным базисом и мультипликативной группой обратимых элементов кольца целых р-адических чисел.

Существует взаимно-однозначное соответствие между множеством всех специальных групп с фиксированным базисом и мультипликативной группой обратимых элементов кольца универсальных чисел – , где  – кольцо целых р-адических чисел.


Библиографический список
  1. Trukhmanov V.B. On subdirect sums of abelian torsion-free groups of rank 1. // Journal of Mathematical Sciences. 2008. Т.154. №3. – С. 422-429.
  2. Куликов Л.Я. О подпрямых суммах абелевых групп без кручения первого ранга // ХII Всес. алгебр. коллоквиум. – Свердловск. 1973. – С. 30.
  3. Куликов Л.Я. Подпрямые разложения счетных абелевых групп без кручения // Х Всес. алгебр. коллоквиум. – Новосибирск. 1969. – С. 18-19.
  4. Трухманов В.Б. Подпрямые суммы абелевых групп без кручения ранга 1. // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т.13. №3. – С. 209-221.
  5. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы, т.1. – М. Мир, 1974.
  6. Широков Л.В. О -бикомпактах. // Известия РАН. 1992. т. 56. № 6. – С. 1316-1327.
  7. Широков Л.В. О продолжении непрерывных отображений и аппроксимативной связности // Проблемы современной науки, Центр научного знания «ЛОГОС». 2013. Выпуск 9. – С. 3-9.
  8. Широков Л.В. Теория аналитических функций. Аспекты приложений / Л.В. ШироковН.П. ЯмпуринВ.Д. Садков. – Арзамас: АГПИ, 2004. – 188 с.


Все статьи автора «Трухманов Вячеслав Борисович»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: