Метод предельного перехода в задачах синтеза оптимальных планов экспериментов

Наумов Анатолий Александрович — Thu, 18 Jun 2015 12:49:20 +0000

Рассмотрим уравнение наблюдения вида:
,
где  – уравнение регрессии,  – случайная переменная (ошибка наблюдений),  и  ( –математическое ожидание),  – базисный вектор регрессии (непрерывные на области  функции, ),  – вектор входных переменных (размерности ),  – наблюдаемая переменная,  – неизвестные параметры модели.
Наблюдения проводятся в точках  (спектра плана экспериментов, ) в количестве  в каждой из точек соответственно. Введем обозначения: , , , . Тогда методом наименьших квадратов оценки параметров  находятся в соответствии с формулой: .
План эксперимента (ПЭ) – называется набор из точек спектра и весов. В соответствии с этими весами общее число экспериментов  распределяется по этим точкам:
,
где .
Задача построения оптимального ПЭ состоит в нахождении на множестве  такого, который максимизирует (минимизирует) функционал от некоторой характеристики оценок параметров модели.
Так, если ПЭ получается в соответствии с решением задачи максимизации критерия от матрицы Фишера, , то ПЭ называется -оптимальным [1]:
. (1)
Можно вместо задачи (1) решать эквивалентную ей задачу:
, (2)
где  – обратная матрица для матрицы . Она с точностью до некоторой постоянной величины является дисперсионной матрицей оценок параметров модели. Критерий оптимальности ПЭ  – выпуклый вниз функционал (на множестве матриц , ).
Введем в рассмотрение ПЭ (план предельного перехода):
, .
Здесь  – некоторое большое целое число, а точки спектра ПЭ образуют равномерную сетку на . Тогда, в качестве точек спектра начального ПЭ  могут быть выбраны координаты локальных максимумов функции = (см. рис. 1).
Использование метода предельного перехода (МПП) позволяет снизить вычислительные затраты по поиску спектра начального ПЭ  в сравнении с классическими алгоритмами построения оптимальных ПЭ [1].

Рисунок 1 – Функция для критерия D-оптимальности;

модель с базисом , .

Пример. Построим начальный ПЭ для CI-критерия эффективности[2]: .
Этот критерий учитывает величину доверительного интервала оценок . Положим , . В качестве ПЭ предельного перехода выберем план , =1000. Тогда функцию (аналог функции ) можно записать в виде [2]:

Выберем координаты точек локальных максимумов функции в качестве точек спектра начального ПЭ. График функции (с точностью до множителя ) приведен на рис. 2. Вычисления были проведены с использованием программы Kortanek_CI (см. текст программы в [2]).

Рисунок 2 – График функции для на области
при использовании ПЭ и критерия .

На основе точек локальных максимумов функции можно построить оптимальный ПЭ: .
Некоторые модификации метода МПП и примеры его использования при решении различных задач приведены в работах [2], [4] –[11].

Автор выражает признательность профессору К. Кортанеку за внимание к проведенному исследованию. МПП был предложен и апробирован после ознакомления с публикацией [3] (в то время – аспирантом кафедры Прикладной математики НГТУ). Заметим, что профессор К. Кортанек метод МПП в качестве метода для нахождения точек спектра ПЭ не рассматривал и не предлагал.

Научно-практический журнал «Исследования в области естественных наук» » strategy of experimentation

Метод предельного перехода в задачах синтеза оптимальных планов экспериментов