Рефракция акустических волн
Положим, что в верхней полуплоскости ZOX некоторой среды имеется вертикальный градиент скорости C звука, причем C(z = 0) = C₀. Акустический пучок входит в эту среду под начальным углом φ₀. Если dC/dz > 0, то есть, c увеличением высоты увеличивается и скорость звука, то в процессе распространения пучка его угол φ наклона к оси OZ будет увеличиваться вплоть до значения φ=π /2 при некотором значении z = z_m (рис.1). Затем угол изменит знак на противоположный. Если начальный угол меньше (больше), чем φ₀, то максимальная высота подъема акустического пучка будет больше (меньше), чем z_m, как показано на рис. 1 штрих-пунктирными линиями.

Рис. 1. Рефракция акустических волн в тропосфере

Зависимость C(z) может быть обусловлена наличием градиентов температуры или влажности воздуха [5, 6]. При этом желаемый знак градиента dC/dz > 0 практически реализуется только в условиях развитой инверсии [7].
В то же время, скорость звука C в движущейся среде (при наличии ветра) есть векторная сумма скорости звука C_н в неподвижной среде и скорости ветра W. Обычно скорость ветра с высотой увеличивается, dW/dz > 0, поэтому для рассматриваемой задачи интерес представляет случай распространения акустического пучка «по ветру», когда
C = C_н + W (для упрощения записи, мы под W будем понимать соответствующую проекцию скорости ветра на направление распространения акустического пучка).
Рассмотрим закономерности рефракции волнового пучка аналогии с геометрической оптикой. Для угла наклона пучка к оси 0Z в слое среды со скоростью звука C (на высоте z) имеет место соотношение:

=.

Отсюда следует, что

tg =  =  = . (1)

В частности, если C = C₀, то tg φ= tgφ₀. В этом случае имеет место прямолинейное распространение пучка. 
Если C = C₀/sinφ₀, то φ = π /2. На рис. 1 это реализуется в точке с координатами
x = x(z_m); z = z_m.
Найдем теперь траекторию распространения пучка, проинтегрировав (1):

x(z) = sin₀ . (2)

В общем случае интеграл (2) «не берется», поскольку не задан явный вид зависимости C(z). Поэтому, учитывая, что в приземном слое атмосферы скорость звука с высотой меняется достаточно медленно, разложим C(z) в ряд Тейлора и ограничимся членами первого порядка малости:

Поскольку нас интересуют лишь достаточно большие сдвиги ветра, далее для конкретности положим, что зависимость C(z) обусловлена только зависимостью W(z), пренебрегая зависимостью от высоты z скорости звука в неподвижной среде C_н. То есть, мы положим, что

где γ ≡ , причем полагается, что γ z << 1; dW/dz = const; C₀ = C_н + W₀.
Тогда из (2) получим уравнение траектории акустического пучка z(x):

2γz = cos²φ₀ – (- cos₀)².   (3)

Уравнение (3) описывает параболу, обращенную ветвями вниз (рис. 1) и пересекающую ось OX в двух точках: x = 0; x = x_L = (sin2φ₀)/γ. Вершина параболы есть точка с координатами: x = x(z_m) = (sin2φ₀)/2γ; z = z_m = (cos²φ₀)/2γ. 
Если = 0, то уравнение (3) переходит в уравнение прямой: z = x/tgφ₀.
Нетрудно видеть, что z_m монотонно возрастает с уменьшением ₀, причем z_m = 0 при
₀ = /2. Максимальное значение z_m достигается при φ₀ = 0, когда 2γz_m = 1. То есть, в этом случае z_m = 1/2γ.
В то же время, x_L монотонно возрастает с увеличением угла φ₀ в интервале 0 ≤ φ_{0 ≤ π}/4, и убывает с увеличением ₀ в интервале /4 ₀ /2. В данном случае x_L = 0, если φ₀ = 0 или же φ₀ = π/2, тогда как максимальное значение x_L достигается при φ₀ = π /4, когда x_L = 1. То есть, в этом случае x_L = 1/γ. Отметим, что z_m(φ₀ = π /4) = 1/4γ.

Однако выше мы ограничились реализуемым на практике в подавляющем большинстве случаев условием γz << 1. Отсюда сразу следует ограничение на возможное значение φ₀: cos²φ₀ << 1. То есть, практически это означает, что φ₀ > 70⁰. Другими словами, угол места или, как говорят в артиллерии, угол возвышения a₀ = π/2 – φ₀ должен быть меньше 20⁰.

Для рассматриваемой параболы (3), как нетрудно видеть, имеет место соотношение: x(z_m)/z_m= 2tgφ₀. При этом для реальных условий (для «настильной» траектории) 2tgφ₀ > 5,5. То есть, в общем случае из того, что γz << 1, не следует вывод о том, что γx << 1.

Найдем теперь длину L траектории пучка, то есть, длину выбранного участка параболы:

L = dz = dz (1 - ). (4)

Как видно из (4), если γ = 0, то L = x/sinφ₀. В этом случае рефракция отсутствует, и траектория пучка представляет собой прямую линию.

Схема измерений
Рассмотрим схему измерений, представленную на рис. 2.

Рис. 2. Функциональная схема измерений при горизонтальной трассе

1 – излучающая антенна локатора; 2 – приемная антенна локатора;
3 – блок  управления и обработки.

Излучающая антенна 1 акустического локатора установлена неподвижно, а приемная антенна 2 установлена в кузове автомобиля, движущегося с некоторой скоростью V (или наоборот, движется излучающая антенна, а приемная антенна неподвижна). Номинальное расстояние между антеннами есть x_L. При этом скорость V не слишком велика для того, чтобы за время измерений расстояние x_Lпрактически не изменялось.

Ось диаграммы направленности антенны 1 составляет угол φ₀ с вертикалью, причем ширина диаграммы направленности достаточно велика для того, чтобы обеспечить уверенный прием сигнала антенной 2 в процессе движения последней.

Обе антенны подсоединены к блоку 3 управления и обработки сигналов. Скорость ветра W с высотой возрастает, так что имеет место «положительная» рефракция акустического пучка.

В данном случае, в принципе, возможны измерения, аналогичные измерениям при наклонных трассах [4]. Однако при этом, по-видимому, погрешности могут быть весьма значительными, в первую очередь, вследствие погрешностей определения высоты. В то же время, для многих практических задач в приземном слое атмосферы достаточно всего лишь оценки величины сдвига ветра. Поэтому перейдем теперь непосредственно к определению параметра γ ≡ , характеризующего вертикальный градиент скорости ветра (сдвиг ветра). Для приземного слоя атмосферы C₀ может быть измерена независимыми методами, (например, методом, описанным в [4]), так что в дальнейшем будем полагать скорость C₀ известной.

Итак, излучение локатора с несущей частотой f₁ модулируется частотой f₂, такой, что соответствующая длина волны l₂ = C/f₂ ≈x_L/2.Приемный блок локатора регистрирует «сдвинутые» частоты  f_p1,f_p2.

Относительные сдвиги частот сигналов имеют вид:

(f_p1 – f₁)/f₁ = Df₁/f₁ = 2V/C₁; (f_p2 – f₂)/f₂ = Df₂/f₂ = 2V/C₂.

Длина волны несущей частоты l₁ £ 10¹ см достаточно мала по сравнению с остальными линейными масштабами рассматриваемой задачи. Поэтому можно считать, что C₁ – «местная» (локальная) скорость звука на высоте излучающей антенны – практически, «на уровне земли». То есть, C₁ = C₀. Далее, C₂ - скорость звука, усредненная по трассе, длина которой по порядку величины равна L/2, где L определяется (4). Рассматриваемое усреднение, по сути, есть усреднение по высоте от нуля до z_m:

C₂ = == C(z) = C₀(1 + γz_m/2).

Введем параметр A, который, как легко видеть, не зависит от скорости V:

A≡  =  =  ≈ 1 – γz_m/2.

Отсюда следует, что γz_m= 2(1 – A). Входящую в это выражение величину z_m мы не можем измерить, поэтому ограничимся оценками, исходя из вида параметров параболы (3).

Поскольку γx_L/2 = sinφ₀cosφ₀ = cosφ₀, то cos²φ₀ = [1 - ]/2. При решении соответствующего квадратного уравнения взято только одно решение, отвечающее меньшему значению cos²φ₀ (меньшему значению z_m). Тогда получим:

z_m = (cos²₀)/2 = [1 - ]/4 = 2(1 – A).

Отсюда нетрудно найти искомую величину γ:

γ=  (5)

В (5) под знаком корня стоит неотрицательное число, поскольку 3/4 £ A £ 1. При этом
A = 3/4, когда γz_m= 1/2 (cos²φ₀ = 1); A = 1, когда γz_m= 0 (cos²φ₀ = 0).

Если γx_L << 1, то γz_m ≈ (γx_L)²/8. При этом 1 – A << 1, так что 4A – 3 ≈ 1, т.е.

. (6)

Для геометрии схемы рис. 2 в распоряжении исследователя, по сути, есть только два параметра: угол φ₀, который составляет с вертикалью ось диаграммы направленности передающей антенны, и расстояние x_Lмежду передающей и приемной антеннами локатора.

Для некоторого заданного значения γ максимальное значение x_L = 1/γ реализуется при φ₀ = π/4, причем для этого же угла z_m = 1/4γ. При больших значениях γ будет иметь место «недолет» акустического пучка до приемной антенны для любых φ₀. При меньших значениях γ будет иметь место «перелет», который, однако, может быть устранен при некотором значении φ₀  ≠ π/4 (желательно, φ₀ < π/4). 

Некоторые численные оценки

Положим, что вертикальный сдвиг ветра dW/dz относится к метеорологическим явлением, опасным для полётов и составляет 4 м/с на 30 м высоты. Положим также, что
γ = dW/(C₀dz) ≈ 4*10^-4 м^-1. Тогда максимальное значение x_L= 1/γ = 2,5 км реализуется при
φ₀ = π/4,причем для этого же угла z_m= 1/4γ = 625 м. В этом случае A = 1/(1 + γz_m/2) ≈ 0,89.

Пусть теперь сдвиг ветра на порядок меньше, γ ≈ 4*10^-5 м^-1. Тогда при том же значении x_L= 2,5 км имеем: γx_L = 10^-1; cosφ₀ ≈ γx_L/2 = 5*10^-2. Отсюда следует, что угол места (угол возвышения) a₀ = π/2 – φ₀ ≈ 5*10^-2 ≈ 3⁰. В этом случае z_m≈ 31 м; 1 – A = 10^-4.

Оценим теперь погрешности измерений, соответствующие (6). Относительную погрешность ∂γ/γ определения γ можно найти по соотношению: ∂γ/γ ≈   + , где – относительная погрешность измерения x_L; ∂A - абсолютная погрешность измерения A.
Если обработка электронных сигналов производится аналогично схемам [2, 4], то абсолютная погрешность  ∂A достаточно мала: ∂A ≈ 10^-6. Положим далее, что 1 – A ≈ 10^-4. Тогда < 10^-6.

Рассмотрим теперь погрешность ∂x_L/x_L. Поскольку приемная антенна движется с некоторой скоростью V, то x_Lменяется непосредственно во время измерений. При этом для оценок можно положить, что именно этот фактор дает основной вклад в погрешности. Пусть время единичного измерения t ≈ 1/f₂ ≈ x_L/C₀. За это время антенна 2 пройдет расстояние
Vt = x_L(V/C₀). Именно это расстояние и примем в качестве абсолютной погрешности ∂x_L. Тогда ∂x_L/x_L = V/C₀. Если положить, что V = 3 м/c ≈ 10 км/час, то получим: ∂γ/γ ≈ 10^-2.

При этом угол возвышения a₀ = π/2 – φ₀, по-видимому, следует подбирать непосредственно во время измерений (производить «прицеливание»излучающей антенны на приемную). Относительная погрешность измерения вертикального сдвига ветра может составлять 10^-2.

Следует отметить, что в принципе параметр γ может быть определен из приведенного выше соотношения: cos²φ₀ = [1 - ]/2. Тогда вместо измерения доплеровских сдвигов частоты следует проводить измерения угла φ₀. Однако с практической точки зрения погрешность соответствующих измерений вряд ли может быть сравнительно небольшой.  

Заключение
Измерения при использовании лишь «горизонтальных» трасс – размещение всей аппаратуры на поверхности земли, без каких-либо специальных «запускаемых» отражателей акустических волн – представляют интерес для многих практических задач. В данном случае не требуется установки на аэродроме высоких мачт с соответствующими измерительными приборами, запуска воздушных шаров, воздушных змеев и т.д. (в значительной мере усложняющих обеспечение безопасности полётов). 
Общая идея такого рода измерений состоит в следующем. При наличии вертикальных сдвигов ветра измеряемая скорость звука в подветренном направлении возрастает с высотой, вследствие чего имеет место явление рефракции – отклонения акустической волны «к земле» от первоначального направления, задаваемого передающей антенной. При определенных условиях эта волна может восприниматься приемной антенной локатора, удаленной от передающей антенны на заданное расстояние и движущейся относительно передающей антенны. Частота модуляции выбирается такой, чтобы соответствующая длина волны соответствовала этому расстоянию. Отношение сдвига частоты модуляции к сдвигу несущей частоты не зависит от взаимной скорости движения антенн, но зависит от отношения «локальной» скорости звука к скорости звука, усредненной по трассе распространения – то есть, усредненной по высоте от уровня размещения антенн до уровня, определяемого «полным внутренним отражением» акустического пучка в градиентной среде.
Получены соотношения, позволяющие вычислить сдвиг ветра (вертикальный градиент скорости ветра) по измеренным сдвигам частоты. 
Оценены возможные погрешности. При сравнительно несложном исполнении приемно-передающей аппаратуры можно обеспечить относительную погрешность измерения сдвига ветра 10^-2.
Показано, что при расстоянии между передающей и приемной антеннами акустического локатора x_L ≈10⁰ км возможно определение вертикального сдвига ветра в приземном слое атмосферы в диапазоне, представляющем непосредственный практический интерес (включая значения, опасные для полетов авиации).