Научно-практический журнал «Исследования в области естественных наук» » kappa-metrishev space https://science.snauka.ru Tue, 13 Jan 2026 12:22:33 +0000 ru hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.2.1 О некоторых свойствах непрерывных образов открытых подмножеств каппа-метризуемых компактов https://science.snauka.ru/2014/06/6848 https://science.snauka.ru/2014/06/6848#comments Sat, 14 Jun 2014 09:07:32 +0000 Широков Лев Васильевич https://science.snauka.ru/?p=6848 Определение всех используемых понятий, терминов и обозначений  можно найти в работах . Компакт – компактное хаусдорфово пространство, не обязательно метризуемое. Все пространства предполагаются вполне регулярными.
Одним из расширений класса диадических компактов  является класс -адических пространств – пространств, допускающих счетное покрытие компактами, являющимися непрерывными образами -метризуемых компактов (т.е.  - адическими компактами) [5]. Структура и свойства пространств этого класса оказались тесно связанными с задачами продолжения непрерывных отображений. Описанию этих связей в общих случаях и в некоторых специальных ситуациях посвящена данная работа. 
Лемма 1. Пусть  - топологическое пространство, причем любое каноническое замкнутое подмножество  имеет тип  в ,  - всюду плотное подпространство  такое, что для любого замкнутого подмножества  типа  в  пересечение  с  не пусто,  - непрерывное отображение  в пространство , причем . Тогда существует непрерывное отображение  такое, что .
Доказательство. Для каждой точки  обозначим через  семейство всех замкнутых подмножеств  типа  в , содержащих эту точку. Ясно, что для любого  семейство  является  - центрированным Семейство  подмножеств пространства  называется  - центрированным, если для любого подсемейства  мощности  выполнено .. Положим ,  и . Так как для любого подсемейства  мощности  существует элемент  такой, что, то семейство  является  - центрированным для любого , а так как , то множество  не пусто для любого . Покажем, что для любого  выполняется . Допустим, что существует точка  такая, что . Выберем различные точки ,  и окрестности  и  этих точек в  такие, что . Пусть  и  - открытые подмножества пространства  такие, что  и . Так как  всюду плотно в пространстве , то . Так как любое каноническое замкнутое подмножество  имеет тип  в , то существуют открытые подмножества  и  пространства  такие, что , ,  и замкнутые множества  и  имеют тип  в пространстве . В силу того, что  и  для любого элемента  получаем, что  и . Тогда  и  - получаем противоречие с тем, что . Таким образом,  для любой точки . Отображение, ставящее в соответствие каждой точке  одноточечное множество , обозначим через . Очевидно, что . 
Покажем, что отображение  непрерывно. Пусть  - произвольное открытое подмножество  такое, что . Для каждой точки  выберем окрестность  точки  в  такую, что . Покажем, что для любого . Допустим, что существует точка  такая, что . Так как множество  имеет тип  в , то , что противоречит тому, что  для любого элемента . Покажем, что для любого  и любого  выполняется . Допустим, что существует точка  такая, что  и рассмотрим окрестность  точки  в  такую, что . Тогда , что противоречит тому, что . Таким образом, , т. е.  является открытым подмножеством пространства . Лемма доказана.
Теорема 1. Для того, чтобы финально компактное пространство  было -диадическим необходимо и достаточно, чтобы оно являлось непрерывным образом открытого подмножества -метризуемого компакта.
Доказательство. Доказательство необходимости проводится по стандартной схеме [5].
Достаточность. Пусть  - непрерывное отображение открытого подмножества  -метризуемого компакта на финально компактное пространство . Замыкание множества  в  обозначим через . Через  обозначим объединение всех замкнутых типа подмножеств , лежащих в множестве . Так как пространство  совершенно -нормально, то каждое каноническое замкнутое подмножество пространства  имеет тип  в . Из леммы 1 следует, что существует непрерывное отображение  пространства  на  такое, что . Так как множество  имеет тип  в , то множество  является объединением замкнутых подмножеств типа  в . Множество  имеет тип  в . Так как , то , а так как пространство  является -адическим, то и пространство  является -адическим. Теорема доказана.
Теорема 2. Если псевдокомпактное пространство  является непрерывным образом открытого подмножества  -метризуемого компакта , то любое компактное хаусдорфово расширение  пространства  является -адическим пространством.
Доказательство. Пусть  - непрерывное отображение  на . Обозначим через  замыкание множества  в . Пусть  - стандартное отображение стоун-чеховской компактификации  пространства  на  и  - непрерывное продолжение отображения  на . Так как пространство  совершенно -нормально, то существует множество , содержащее , такое, что множество  является объединением типа  подмножеств  и  для любой точки . Множество имеет тип  в  и, следовательно, множество  обладает счетным покрытием из -адических компактов. Так как отображение  является гомеоморфизмом, то  -адично, а так как  и пространство  финально компактно, то . Теорема доказана.
Лемма 2. Пусть  - непрерывное замкнутое отображение пространства  на компакт ,  - стоун-чеховская компактификация пространства  и  - непрерывное продолжение отображения  на . Тогда для любого нормального подпространства , содержащего , отображение  является замкнутым.
Доказательство. Пусть  - произвольное замкнутое подмножество пространства ,  и  - произвольная точка множества . Ясно, что . Так как  и пространство  нормально, то . Нетрудно показать, что

,
т. е. .  Выберем открытое подмножество  такое, что  и . Положим . Ясно, что  и . Так как точка  была выбрана произвольно, то  является замкнутым подмножеством пространства . Лемма доказана.
Теорема 3. Компакт, являющийся образом открытого подмножества -адического компакта относительно непрерывного замкнутого отображения, является -адическим.
Доказательство. Пусть компакт  является непрерывным замкнутым образом открытого подмножества -адического компакта . Тогда  является непрерывным замкнутым образом некоторого открытого подмножества  некоторого -метризуемого компакта . Замыкание множества  в  обозначим через , непрерывное замкнутое отображение  на компакт  обозначим через . Пусть  - стандартное отображение стоун-чеховской компактификации  пространства  на  и  - непрерывное продолжение отображения  на . Так как пространство  совершенно -нормально, то существует множество  такое, что  и  для любой точки , причем множество  является объединением замкнутых типа  подмножеств пространства . Заметим, что множество  имеет тип  в . Таким образом, открытое в  множество  является финально компактным пространством, причем . Так как  нормально, то из леммы 3 следует замкнутость отображения . Тогда существует компакт  такой, что . Пусть  - каноническое замкнутое подмножество  такое, что . Ясно, что . Так как  гомеоморфизм и  является -адическим компактом, то  является -адическим компактом. Отсюда, так как , то компакт  является -адическим компактом. Теорема доказана.
Теорема 4. Компакт , являющийся образом открытого подмножества  -адического компакта относительно непрерывного открытого отображения , является -адическим.
Доказательство. Нетрудно показать, что существует замкнутое подмножество  такое, что  и отображение  является совершенным. Так как компактность сохраняется при переходе к прообразам относительно совершенных отображений, то  является компактном. Пусть  - каноническое замкнутое подмножество -адического компакта такое, что . Так как  и  - -адический компакт , то  является -адическим компактом. Теорема доказана.
Теорема 5. Если  - вес -адического компакта , то существует множество  мощности  всюду плотное в  такое, что  для любой точки .
Доказательство. Пусть , где  - -адический компакт для любого . Обозначим через  -базу пространства  мощности . Покажем, что в каждом элементе  семейства  существует точка  такая, что . Выберем элемент такой, что . Положим . Так как всякий компакт обладает свойством Бэра и , то существуют открытое подмножество  пространства  и номер  такие, что . Замыкание множества  в  обозначим через . Так как , то  является -адическим компактом. Так как для всякого -адического компакта -вес совпадает с весом, то . Выберем произвольную точку . Так как , а  является открытым подмножеством пространства , то . Ясно, что множество  является искомым. Теорема доказана. 
Следствие. Если -вес -адического компакта  счетен, то  удовлетворяет первой аксиоме счетности на счетном всюду плотном подмножестве.
]]> https://science.snauka.ru/2014/06/6848/feed 0