Научно-практический журнал «Исследования в области естественных наук» » fmatem

Практические методы оценки параметров переходных случайных процессов

fmatem — Wed, 11 Jun 2014 10:05:06 +0000

Рассмотрим переходные процессы с короткой продолжительностью и отчетливо выраженными началом и концом. В инженерной практике часто анализ таких процессов допустим как детерминированных. Естественно, при этом требуется правильная интерпретация результатов. Теоретически такой процесс можно анализировать, как и любой нестационарный, путем осреднения по ансамблю. Аналогичные методы используются при определении нестационарных корреляционных функций, оценок плотности распределения, переменных во времени среднего значения и среднего значения квадрата. Практически изучение спектральной структуры переходных процессов во многих случаях можно и более простыми методами.
Действительно, рассмотрим реализацию  переходного процесса , принимающую значения, отличные от нуля, только в интервале . Пусть  поступает на вход системы с весовой функцией . Тогда
при 0 > t > T₁,
при ;
- малая, но физически значимая, отличная от нуля величина.
Спектром Фурье  (преобразование Фурье функции) описываются спектральные свойства функции . В тригонометрической форме , - модуль, - аргумент .
Для энергетической спектральной плотности переходного процесса  справедливо:

;

а переходная взаимная спектральная плотность процессов , имеет вид:

Если

;

есть односторонние спектральные плотности, то при известной реализации длительностью имеет место

Откуда с учетом

оценку частотной характеристики можно определить в виде

Заметим, наиболее эффективное подавление случайных ошибок при оценке частотных характеристик достигается при осреднении по ансамблю оценок, вычисленных для независимых реализаций входных и выходных переходных процессов. Известно, оценка частотной характеристики не зависит от длины реализации T. Поэтому увеличение Т не приведет к повышению точности оценки. Скорее наоборот, при увеличении Т случайные ошибки могут возрасти, поскольку при этом увеличится вклад внешних помех при расчете функций и .
Таким образом, очевидна последовательная процедура оценки частотной характеристики одномерной разомкнутой системы:

;
.

Для системы с одним выходом и со многими коррелированными входами частотные характеристики могут быть определены из решения системы линейных уравнений:

;

- входные процессы, - выходной процесс; целесообразно определять методом быстрого преобразования Фурье.
Далее. Детерминированная функция определяет среднюю реакцию системы на некоторый средний входной сигнал (детерминированную функцию). Для уяснения физического смысла происходящих в системе процессов рассмотрим сглаживание реализаций (рис. 1).

Рис. 1

Простейшим методом является осреднение ординат кривой на некотором интервале около фиксированного t (скользящая средняя). Получим следующую оценку математического ожидания случайного процесса по одной реализации :

Разбив интервал Т₀ на m равных частей по формуле прямоугольников, получим:

Интервал Т₀ следует выбирать так, чтобы в интервале длиной 2Т₀ с центром в точке t математическое ожидание было приблизительно линейно (более строго требуется также малость среднего значения корреляционной функции ) в квадрате с центром в точке (t,t’) и стороной 2Т₀. При дополнительном усреднении по ансамблю N реализаций получим:

Одним из возможных способов определения по нескольким реализациям является одновременное сглаживание всех реализаций. Для применения этого способа следует построить все реализации случайной функции на одном графике. Тогда при правильно выбранном масштабе эти реализации образуют отчетливую полосу. Проведя на глаз среднюю линию этой полосы, получим кривую, которую можно принять за оценку математического ожидания. Способ глазомерного сглаживания обладает большей простотой. Однако недостатком этого способа является его субъективность. Предыдущий метод лишен этого недостатка.
Изложенный прием сглаживания можно использовать для определения корреляционной функции, так как она представляет собой некоторое математическое ожидание. Для этого по экспериментальной кривой случайного процесса следует построить графики функции

для различных значений . Сгладив эти кривые, получим оценку значений корреляционной функции (рис. 2).

Рис. 2

Рассмотрим теперь разомкнутую линейную систему вида

Пусть

и получаются изложенным выше способом. Тогда в результате прямого преобразования Фурье получим комплексные частотные спектры детерминированных функций и соответственно:

, ;

характеризует в среднем частотную передаточную функцию системы для неустановившегося режима; . могут быть получены методом БПФ. В частном случае, когда есть дельта-функция, будет представлять собой импульсную переходную функцию

Во многих случаях изложенные способы оказываются основными при анализе и синтезе человеко-машинных систем; входным сигналом здесь является управляющее воздействие (некоторая функция ошибки), выходом – регулируемая величина. Их апробация приводится в [1…10].

Аналитическое описание реологических свойств эпоксидных композитов

fmatem — Wed, 11 Jun 2014 12:49:52 +0000

Существуют два метода модификации полимеров путем введения пластифицирующих добавок – молекулярная пластификация и структурная пластификация. Первая подразумевает изменение механических свойств путем введения в них, в основном, низкомолекулярных веществ, совмещающихся с полимером на молекулярном уровне. Здесь, благодаря взаимодействию полимера с молекулами пластификатора, ослабляются силы взаимодействия макромолекул между собой. Из-за этого появляется возможность взаимной перегруппировки звеньев макромолекул под влиянием внешних механических полей и, соответственно, увеличивается податливость системы. Вторая связана с эффектом изменения механических свойств при введении относительно малых количеств низкомолекулярных веществ, практически не совместимых с полимером; пластификатор распределяется между элементами структуры в виде тонких слоев и оказывает эффект «смазки» (в качестве пластифицирующей добавки использовалось минеральное машинное масло (ММ)).
Химический состав минеральных и растительных масел очень сложен. Они содержат парафиновые, нафтеновые, ароматические, асфальто-смолистые вещества, а также смеси высоконепредельных, непредельных и предельных жирных кислот с рядом других углеводородов. Часть этих веществ по отношению к эпоксидной смоле являются реакционно-способными пластификаторами и осуществляют молекулярную пластификацию, другая же часть, практически несовместима с эпоксидной смолой и выступает в качестве структурного пластификатора. В случае использования модификаторов типа ММ имеет место комплексная пластификация. Некоторая часть молекул пластификатора вступает во взаимодействие с молекулами полимера, расслабляя силы взаимодействия макромолекул между собой. Одновременно другая часть молекул пластификатора ММ своими углеродными радикалами раздвигает цепи макромолекул полимера, создавая плоскости проскальзывания.
В [1,2] приводятся данные по определению зависимости вязкости В эпоксидного композита на основе эпоксидной смолы ЭД-16 от температуры t C и специальных добавок (ММ) в различных концентрациях x, % (табл.1).

Таблица 1. Зависимость вязкости эпоксидного композита от температуры и процентного содержания пластификатора (ММ)

t C x, %	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
0	172	129	100	82	63	49	41	33	23	20	17
1	216	171	130	98	80	62	47	38	30	25	20
5	250	178	130	96	70	62	38	30	20	15	12
10	97	65	45	33	22	16	11	8	6	5	5
15	81	52	33	15	8	7	6	5	5	5	5

Самой простой, но и достаточно грубой является ступенчатая аппроксимация. Ее можно применять или при мелкой сетке в пространстве аргумента x , или при специальном ступенчатом виде самой функции. Для приближения функции нескольких переменных можно воспользоваться ее представлением суммой функций одной переменной и методом наименьших квадратов. Для случая функции двух переменных с прямоугольной областью изменения аргументов

соответствующее выражение имеет вид

Решение задачи получается в виде

где

Задача приближения функции двух аргументов представлением в виде произведения двух одномерных аргументов сводится к только что рассмотренной. Действительно, если вместо исходной функции рассмотреть функцию , выполнить приближение этой функции суммой , а затем образовать функцию

то

Существует относительно простой способ приближения многомерных таблично заданных функций обобщенными многочленами частного вида. В частности при двумерной аппроксимации аппроксимирующий многочлен определяется в виде

где – выбранные из практических соображений функции, – неизвестные коэффициенты. Для определения коэффициентов можно воспользоваться методом наименьших квадратов; минимизация

где – табличные значения . Здесь неизвестные определяются из системы уравнений

где

На основе предложенного подхода определялась оптимальной концентрации пластификатора – машинного масла; использовался метод сечений (результаты аппроксимации функций полиномами третьей степени на рис. 1 и 2; на рис. 3 – аппроксимация функциями вида ; полиномиальная аппроксимация при различных степенях полинома – на рис.4). Таким образом, с очевидностью следует возможность аппроксимации в виде

Как видим, оптимальная концентрация пластификатора – машинного масла составляет 10 % (на 2–4 молекулы смолы приходится 1 молекула пластификатора).

Рис.1. Зависимость вязкости от температуры

Рис.2

Рис. 3

Рис. 4

Рассмотренный подход оказался эффективным и при решении других задач прикладного характера [3…7].