В данной статье рассматриваются свойства так называемых специальных и р-специальных групп, введенных и изучаемых автором в работах [1] и [4]. Необходимые определения и обозначения приведены в работах [1] – [8].
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть А и B – рациональные группы. Упорядоченную пару элементов (α, β), где , будем называть базисом подпрямой суммы G групп А и В, если GА = <α>, GВ = <β>.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пусть р – простое число. Абелеву группу без кручения G ранга 2, будем называть р-специальной, если
1) группа G является подпрямой суммой рациональных групп, изоморфных рациональной группе Q р;
2) группа G обладает базисом.
Пусть далее, для некоторых делимых рациональных групп А и B, G – специальная группа с базисом (α, β) – подгруппа прямой суммы групп А и В, Z – кольцо целых чисел. Для любого простого числа р, через G р будем обозначать множество пар вида где i = 0, 1, 2, … ; т, m′ – целые числа, взаимно простые с числом р.
ЛЕММА 1. Множество G р образует подгруппу группы G.
Доказательство. Данное утверждение следует из очевидной замкнутости множества G р относительно операции сложения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A′ и B′ – рациональные группы, изоморфные группе Q р, для некоторого простого числа р, подгруппу прямой суммы групп A′ и B′ будем называть р-специальной, если она является подпрямой суммой групп A′ и B′, индуцированной группой Q р/Z, с базисом (α, β).
Введем следующее обозначение: если А и B – делимые рациональные группы и G – специальная группа с базисом (α, β), где , то для любого натурального числа n ≠ 1 через Gn будем обозначать подмножество группы G, состоящее из всех пар вида , где т, m′ – целые числа, взаимно простые с числом d, для каждого натурального делителя d числа п.
ЛЕММА 2. , для любого натурального числа j.
Доказательство непосредственно следует из определения G р.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Для любого простого числа р, выполняются условия:
1) подгруппа G р группы G является р-специальной подгруппой;
2) группа G р может быть получена как объединение бесконечной возрастающей цепи своих подгрупп , где ;
3) система , где – естественное вложение , образует прямой спектр, причем .
Доказательство. Пусть р – простое число. Рассмотрим множество G р. По определению, , покажем, что множество G p образует подпрямую сумму групп и , индуцированную группой Q р/Z, с базисом (α, β), причем группа Gр является подгруппой группы G.
Действительно, рассмотрим два произвольных элемента группы G p: и , причем, . Поскольку рi является делителем р j, то, по определению группы , элементы и1 и и2, а также их сумма, принадлежат , и, следовательно, множеству G р.
Таким образом, G р – группа.
Далее, пусть элемент , тогда числа т и рi взаимно просты, и, следовательно, существует число m′ , взаимно простое с числом рi такое, что элемент , причем ни для какого числа m″ , несравнимого с числом m′ по модулю рi в кольце Z, элемент .
Таким образом, проекция является эпиморфизмом. Аналогично получаем, что проекция также является эпиморфизмом. Следовательно, группа Gр есть подпрямая сумма групп A′ и B′, индуцированная группой Q р/Z.
Условие 2) непосредственно следует из определения группы G р, а также из определения групп для каждого целого положительного числа i. Условие 3) предложения непосредственно следует из определения прямого спектра.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Для любого элемента v группы G, не принадлежащего группе , существуют и причем единственные, с точностью до нумерации, простые числа р1, р2, …, рr такие, что v = v0+ v1 + v2 + … + vr, где ,
, , …, .
Доказательство. Пусть п – целое положительное число, отличное от единицы, такое, что , где числа р1, р2, …, рr – различные простые, и пусть элемент , где числа k и т – целые, взаимно простые с числом п. Тогда, очевидно, пара может быть представлена в виде:
,
где s и t – целые числа, а k’ и m’ - наименьшие целые положительные числа такие. что k′ сравнимо с k, а m′ сравнимо с т по модулю nZ в кольце Z. Пары и (sα, tβ) принадлежат группе G, причем, как легко видеть, пара может быть представлена в виде:
,
где . Что и требовалось доказать.
ЛЕММА. Для любого целого положительного числа k и любых целых взаимно простых чисел р1, р2, …, рk выполняется условие: если сумма
,
где п1, п2, …, пk, m1, m2, …, mk – целые числа, причем, для каждого номера i = 1, 2, …, k выполняются условия: ,
, принадлежит группе G, то и каждый из элементов принадлежит группе G.
Доказательство проведем методом математической индукции по числу k. Пусть k = 2, то есть сумма пар
принадлежит группе G. Следовательно, если одна из пар или принадлежит группе G, то, очевидно, и другая пара также принадлежит группе G. Поэтому, предположим, что никакая из пар и не принадлежит подпрямой сумме G групп А и В, индуцированной группой Q/Z. Но тогда, по определению подпрямой суммы групп, существуют целые числа , такие, что
и такие, что пары и принадлежат группе G. Значит, и сумма
также принадлежит группе G. Тогда, числа у1р2 + у2р1 и сравнимы по модулю р1р2 в кольце Z, следовательно, в кольце Z имеет место сравнение:
.
Но, поскольку, для чисел , , , выполняются условия:
то сумма равна либо нулю, либо р1р2. Тогда, в первом случае получаем, что . Следовательно, поскольку, по условию, числа р1 и р2 взаимно просты, то разность делится на число р1, а разность делится на число р2. Во втором случае, как нетрудно видеть, получаются точно такие же выводы.
Таким образом, в кольце Z имеют место сравнения: , , и, значит, пары и есть элементы группы G.
Далее предположим, что для любого числа пар – слагаемых, меньшего числа k, лемма выполняется. Тогда, взяв сумму пар
,
и, разбив ее произвольным образом на сумму двух слагаемых, мы, используя предположение индукции и изложенные выше рассуждения, легко сможем показать, что каждая из пар принадлежит G. Следовательно, по принципу индукции, лемма выполняется для любого числа пар – слагаемых.
ТЕОРЕМА 3. , причем для любых различных простых чисел р и q справедливо равенство: , где группы GA и GB – ядра подпрямой суммы G групп А и В.
Доказательство. Легко видеть, что для любого простого числа р группа Gp является подгруппой группы G. Следовательно, .
Обратно. По предложению 2 пара , где числа k и т – целые, взаимно простые с числом п, может быть представлена в виде: , где s и t – целые числа, а k′ и m′ – наименьшие целые положительные числа такие, что k′ сравнимо с k, а m′ сравнимо с т по модулю nZ в кольце целых чисел Z, а пара может быть представлена в виде:
,
где, по лемме, каждое слагаемое принадлежит группе G. Следовательно, . Таким образом, .
Второе равенство в условии теоремы очевидно. Теорема доказана.
СЛЕДСТВИЕ. Пусть для каждого простого числа р, через Н р обозначим подпрямую сумму рациональных групп A′ и B′ ,
изоморфных группе Q р и являющихся подгруппами групп А и В, соответственно, индуцированную группой Q р/Z, с одним и тем же базисом (α, β) . Тогда для каждого множества , подпрямая сумма G групп А и B, индуцированная группой Q/Z, с базисом (α, β) такая, что Н р= G p, существует и единственна.
Доказательство. Пусть дано некоторое множество подпрямых сумм рациональных групп A′ и B′ , изоморфных группам Q р, для каждого простого числа р, и являющихся подгруппами групп А и В, соответственно, индуцированных группами Q р/Z, с одним и тем же базисом (α, β). Тогда, применив рассуждения, аналогичные приведенным в теореме, мы получим, что .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность целых положительных чисел
будем называть характеристической последовательностью группы G р для данного базиса (α, β) , если для каждого номера i, число тi является наименьшим положительным, таким, что элемент принадлежит р-специальной подгруппе G р группы G, где р – простое число.
Поскольку, с точностью до знака, подпрямая сумма двух изоморфных рациональных групп имеет два базиса, то и характеристических последовательностей у такой подпрямой суммы будет две. Условие, описывающее характеристическую последовательность, и условие, связывающее характеристические последовательности одной и той же подпрямой суммы данных групп сформулированы в следующих предложениях.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Последовательность целых положительных чисел является характеристической для некоторой р-специальной подгруппы G р группы G тогда и только тогда, когда выполняются условия:
-
0 < тi < рi, для каждого номера i = 1, 2, …;
-
для каждого номера i = 2, 3, ….
Доказательство непосредственно следует из определения подпрямой суммы, характеристической последовательности.
СЛЕДСТВИЕ. Характеристическая последовательность группы G р сходится к некоторому целому р-адическому числу ρ – единичному элементу кольца целых р-адических чисел.
Доказательство непосредственно следует из определения целого р-адического числа, а также из условия, что в данной последовательности отсутствуют нули.
Итак, на основании выше доказанных предложений мы можем сформулировать основную теорему.
ТЕОРЕМА 5. Для данного простого числа р существует взаимно-однозначное соответствие между множеством всех р-специальных групп с фиксированным базисом и мультипликативной группой обратимых элементов кольца целых р-адических чисел.
Существует взаимно-однозначное соответствие между множеством всех специальных групп с фиксированным базисом и мультипликативной группой обратимых элементов кольца универсальных чисел – , где – кольцо целых р-адических чисел.
Библиографический список
- Trukhmanov V.B. On subdirect sums of abelian torsion-free groups of rank 1. // Journal of Mathematical Sciences. 2008. Т.154. №3. – С. 422-429.
- Куликов Л.Я. О подпрямых суммах абелевых групп без кручения первого ранга // ХII Всес. алгебр. коллоквиум. – Свердловск. 1973. – С. 30.
- Куликов Л.Я. Подпрямые разложения счетных абелевых групп без кручения // Х Всес. алгебр. коллоквиум. – Новосибирск. 1969. – С. 18-19.
- Трухманов В.Б. Подпрямые суммы абелевых групп без кручения ранга 1. // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т.13. №3. – С. 209-221.
- Фукс Л. Бесконечные абелевы группы, т.1. – М. Мир, 1974.
- Широков Л.В. О -бикомпактах. // Известия РАН. 1992. т. 56. № 6. – С. 1316-1327.
- Широков Л.В. О продолжении непрерывных отображений и аппроксимативной связности // Проблемы современной науки, Центр научного знания «ЛОГОС». 2013. Выпуск 9. – С. 3-9.
- Широков Л.В. Теория аналитических функций. Аспекты приложений / Л.В. Широков, Н.П. Ямпурин, В.Д. Садков. – Арзамас: АГПИ, 2004. – 188 с.