УДК 519.242.5

МЕТОД ПРЕДЕЛЬНОГО ПЕРЕХОДА В ЗАДАЧАХ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ ПЛАНОВ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Наумов Анатолий Александрович
Центр прикладных математических исследований, г. Новосибирск
кандидат технических наук, доцент

Аннотация
Предложен и исследован метод построения эффективных стратегий экспериментирования, который основан на искусственном введении в спектр стратегии экспериментирования достаточно большого числа точек спектра плана. Этот переход (предельный переход) является вспомогательным и позволяет упростить задачу поиска точек спектра эффективной стратегии, которые представляют собой точки максимума некоторой функции. Таким образом, метод предельного перехода (МПП) может служить основой алгоритмов поиска эффективных планов экспериментов для многих специальных задач управления экспериментальными исследованиями.

Ключевые слова: алгоритмы., метод предельного перехода, планирование экспериментов, стратегии экспериментирования


THE METHOD OF LIMITING TRANSITION IN THE PROBLEMS OF OPTIMAL DESIGNS OF EXPERIMENTS SYNTHESIS

Naumov Anatoly Aleksanrovich
Center of Applied Mathematical Research, Novosibirsk
PhD, associate professor

Abstract
The method of construction of effective experimentation strategy which is based on artificial introduction in a spectrum of experimentation strategy enough wide range of spectrum plan points is offered and investigated. This transition (limiting transition) is auxiliary and allows simplifying a problem of search of points of effective strategy spectrum which represent points of some function maximum. Thus the method of limiting transition (MLT) can serve as the basis algorithms of search of effective plans of experimental researches experiments for many special problems.

Keywords: algorithms, method of limiting transition, planning of experiments, strategy of experimentation


Рубрика: Математика

Библиографическая ссылка на статью:
Наумов А.А. Метод предельного перехода в задачах синтеза оптимальных планов экспериментов // Исследования в области естественных наук. 2015. № 6 [Электронный ресурс]. URL: http://science.snauka.ru/2015/06/10178 (дата обращения: 29.01.2017).

Рассмотрим уравнение наблюдения вида: 

где  – уравнение регрессии,  – случайная переменная (ошибка наблюдений),  и  ( –математическое ожидание),  – базисный вектор регрессии (непрерывные на области  функции, ),  – вектор входных переменных (размерности ),  – наблюдаемая переменная,  – неизвестные параметры модели. 
Наблюдения проводятся в точках  (спектра плана экспериментов, ) в количестве  в каждой из точек соответственно. Введем обозначения: . Тогда методом наименьших квадратов оценки параметров  находятся в соответствии с формулой: 
План эксперимента (ПЭ) – называется набор из точек спектра и весов. В соответствии с этими весами общее число экспериментов  распределяется по этим точкам: 

где .
Задача построения оптимального ПЭ состоит в нахождении на множестве  такого, который максимизирует (минимизирует) функционал от некоторой характеристики оценок параметров модели.
Так, если ПЭ получается в соответствии с решением задачи максимизации критерия от матрицы Фишера , то ПЭ называется -оптимальным [1]:
. (1)
Можно вместо задачи (1) решать эквивалентную ей задачу:
, (2)
где  – обратная матрица для матрицы . Она с точностью до некоторой постоянной величины является дисперсионной матрицей оценок параметров модели. Критерий оптимальности ПЭ  – выпуклый вниз функционал (на множестве матриц ).
Введем в рассмотрение ПЭ (план предельного перехода):
.
Здесь  – некоторое большое целое число, а точки спектра ПЭ образуют равномерную сетку на . Тогда, в качестве точек спектра начального ПЭ  могут быть выбраны координаты локальных максимумов функции = (см. рис. 1).
Использование метода предельного перехода (МПП) позволяет снизить вычислительные затраты по поиску спектра начального ПЭ  в сравнении с классическими алгоритмами построения оптимальных ПЭ [1].

Рисунок 1 – Функция  для критерия D-оптимальности;

модель с базисом .

Пример. Построим начальный ПЭ для CI-критерия эффективности[2]: .
Этот критерий учитывает величину доверительного интервала оценок . Положим . В качестве ПЭ предельного перехода выберем план =1000. Тогда функцию  (аналог функции ) можно записать в виде [2]:
 
Выберем координаты точек локальных максимумов функции  в качестве точек спектра начального ПЭ. График функции  (с точностью до множителя ) приведен на рис. 2. Вычисления были проведены с использованием программы Kortanek_CI (см. текст программы в [2]).

Рисунок 2 – График функции  для  на области  
при использовании ПЭ  и критерия .

На основе точек локальных максимумов функции  можно построить оптимальный ПЭ: .
Некоторые модификации метода МПП и примеры его использования при решении различных задач приведены в работах [2], [4] –[11].

Автор выражает признательность профессору К. Кортанеку за внимание к проведенному исследованию. МПП был предложен и апробирован после ознакомления с публикацией [3] (в то время – аспирантом кафедры Прикладной математики НГТУ). Заметим, что профессор К. Кортанек метод МПП в качестве метода для нахождения точек спектра ПЭ не рассматривал и не предлагал.


Библиографический список
  1. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М., 1971.
  2. Наумов А.А., Сенич В.В. Введение в теорию управления экспериментом.  Новосибирск, 2004.
  3. Gribik P.R., Kortanek K.O.  Equivalence Theorems and Cutting Plane Algorithms for a Class of Experimental Design Problems// SIAM Journal Appl. Math. 1977. № 1 (32). С. 232–259.
  4. Наумов А.А. К асимптотическим свойствам эффективных стратегий экспериментирования// Научный вестник НГТУ. 2006. №. 1(22). С. 157–165.
  5. Naumov A.A. Efficient Control of Experiments: Models and Algorithms// Proceedings 2005 Joint Statistical Meetings (JSM), August 7–11, 2005, ASA Section on Physical and Engineering Sciences. 2005. pp. 1748–1756.
  6. Наумов А.А. Управление экспериментом и информация// Тез. докладов VI Всероссийской ФАМ конференции, 2-4 марта 2007 г., Красноярск,  ИЦ Института естественных и гуманитарных наук СФУ. 2007. С. 44–45.
  7. Naumov A.A. Asymptotic Properties of Effective Experimenting Strategies// Proceedings 2006 Joint Statistical Meetings (JSM), August 6–10, 2006, Seattle, Washington, ASA Section on Statistical Computing. 2006. pp. 2125 – 2132.
  8. Наумов А.А. Исследование свойств эффективных стратегий экспериментирования// Омский научный вестник. 2006. № 9 (46). С. 8–11.
  9. Наумов А.А. CI-эффективное управление экспериментом. Ч. I//Научный вестник НГТУ. 2007. № 1(26). С. 31–38.
  10. Наумов А.А. CI-эффективное управление экспериментом. Ч. II//Научный вестник НГТУ. 2007. № 2(27). С. 31–40.
  11. Наумов А.А., Швабе Р., Рат В.В. Управление экспериментом в задачах диагностики// Сб.  статей  II-ой Международной научно-практической конференции, Международные и национальные особенности прикладной экономики, 4-5 декабря, 2008 г., Пенза. 2008. С. 23–26.
  12.  Список трудов. [Электронный ресурс]. URL: https://sites.google.com/site/anatolynaumov2011/home/spisok-trudov-list-of-papers  (дата обращения 12.06.15).


Все статьи автора «Наумов Анатолий Александрович»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: