Введение
Одна из основных задач исследования ионосферы – ионосферного зондирования – определение вертикального профиля электронной концентрации. Эта характеристика в значительной мере определяет показатель преломления ионосферы для радиоволн и, соответственно, особенности распространения этих волн.
Методы зондирования – вертикального, наклонного и т.д. – основаны на регистрации отражения радиоволн от определенных областей ионосферы (там, где показатель преломления равен нулю). В методах радиопросвечивания измеряются фаза, угол поворота плоскости поляризации, рефракция радиоволн [1-3]. К сожалению, в настоящее время практическая реализация ионосферного зондирования является достаточно сложной задачей. 
Определенный интерес представляет подход к зондированию, основанный на эффекте Доплера в неоднородных средах и позволяющий найти вертикальный профиль показателя преломления или скорости звука [4-6] и. В [4-5] этот подход рассматривался применительно к тропосфере, причем в схеме измерений предполагалось использование зондирующего объекта, перемещающегося по вертикали. 
Применительно к ионосфере специальные зондирующие объекты заметно усложняют реализацию. Поэтому в данной работе рассматриваются некоторые возможности о зондирования ионосферы – определения вертикальных профилей показателя преломления – с помощью искусственных спутников Земли (ИСЗ) с пассивным ответом.
Показатель преломления ионосферы
Ионосфера – часть атмосферы Земли, в которой уровень ионизации достаточно велик, чтобы оказывать заметное влияние на распространение радиоволн. Основные параметры ионосферы – концентрация электронов, температура – меняются с высотой сложным образом. 
В зависимости от плотности заряженных частиц N_e в ионосфере выделяют слои (области) D, Е, F.
В области D (60—90 км) концентрация заряженных частиц составляет 10²—10³ см^-3. В ночное время суток концентрация частиц заметно уменьшается. 
В области Е (90—120 км) концентрация заряженных частиц составляет 10⁴—10⁵ см^-3. В этом слое наблюдается рост концентрации электронов в дневное время. В ночное время суток концентрация частиц уменьшается до 10³ см^-3. 
Областью F называют теперь всю ионосферу выше 130—140 км. Максимальная концентрация электронов и ионов в области F находится на высотах 250—400 км. Здесь плотность заряженных частиц достигает своего максимума – 10⁵-10⁶ см^-3. Выше этого максимума электронная концентрация монотонно убывает, на расстояниях в несколько земных радиусов переходя в межпланетную плазму с концентрацией заряженных частиц
10¹ - 10² см^-3.
Для многих практических задач радиосвязи особый интерес представляет полное электронное содержание (интегральная электронная концентрация) – суммарное количество электронов в столбе с основание единичной площади и требуемой высотой. В частности, полное электронное содержание во всей ионосфере может составлять 10¹² -10¹³ см^-2 [7]. 

Для радиоволн в тропосфере и стратосфере показатель преломления n связан с индексом преломления N (приведенным показателем преломления) известным соотношением: N = (n – 1)10⁶. В радиодиапазоне (для длин волн в от 1 см до 1 км) индекс преломления N имеет вид [7]:

N = 77,6 (1 + ), (1)

где T – абсолютная температура – в градусах Кельвина; e, p – парциальное давление водяного пара и общее давление воздуха – в миллибарах соответственно. Отметим, что для идеального газа отношение p/T пропорционально плотности этого газа (идеальным в определенной мере можно считать воздух при не слишком низких температурах и невысоких влажностях). 
В ионосфере давление и плотность воздуха существенно ниже, чем на поверхности Земли – даже на нижней границе ионосферы (50-60 км) – на три порядка. Поэтому нейтральные (не ионизованные) компоненты воздуха там практически не дают вклада в индекс преломления. В этой области (в диапазоне длин волн от 0,2 мкм до 1 км) показатель преломления определяется выражением [7]:

n = 1 – 40,4  (2)

где N_e – электронная концентрация – в см^-3, f – частота радиоволн – в кГц. 
Если принять максимальное значение N_e = 10⁶ см^-3, то, как следует из (2), n << 1 для длин волн менее 50 м (f > 6 МГц).
Следует отметить, что n > 1 в тропосфере и стратосфере и n < 1 в ионосфере. При этом в ионосфере имеет место явно выраженная дисперсия показателя преломления, в отличие от тропосферы и стратосферы. То есть, в ионосфере должна быть заметна разница между фазовой C_ф и групповой C_гр скоростью радиоволн. Если C₀ – скорость света в вакууме, то [6], имеют место известные соотношения [7]:

C_ф = ; C_гр = .

Для (2), полагая, что |n – 1| << 1, получим: C_ф C₀(1 + 40,4 ); C_гр C₀(1 – 40,4 ). То есть, для рассматриваемого случая C_ф - C₀ = C₀ - C_гр.
Доплеровская локация модулированными радиоволнами
В [6] описан принцип действия доплеровского гидроакустического лага, работающего в режиме модулированных волн. При этом оказывается возможным определение вертикального профиля скорости звука. Рассмотрим аналогию этого подхода применительно к доплеровской радиолокации. 
Положим, что ИСЗ с пассивным ответом движется по круговой орбите вокруг Земли на некоторой высоте z = H (H 10² км), а радиолокатор, установленный на Земле (z = 0), его «зондирует». Излучение локатора с несущей частотой f₀ модулируется различными частотами f₁, f₂, …, f_к, такими, что соответствующие длины волн ₁, ₂, …, _к определяют требуемые высоты, по которым производится усреднение показателя преломления. Здесь к – выбранное количество частот модуляции – «точек отсчета», по которым будет производиться вычисление вертикального профиля показателя преломления. Приемник локатора регистрирует «сдвинутые» частоты f_p0, f_p1, f_p2, …, f_pк. 
Относительные сдвиги частот сигналов, принятых на земле, имеют вид: 

где V – проекция линейной скорости ИСЗ на линию визирования; а скорости C_H и C_i определяются соотношениями:

C_H =; C_i =.

Здесь l(z) – длина линии распространения волны в атмосфере между уровнями, разность высот которых равна z. 
Длина волны несущей частоты ₀ 10¹ м достаточно мала по сравнению с остальными линейными масштабами рассматриваемой задачи. Поэтому можно считать, что C_H – «местная» (локальная) скорость волны на высоте H (в окрестности ИСЗ), C_H = C(z = H). В то же время, C_i есть скорость волны, усредненная по трассе l = _i и соответствующему перепаду высот z.

В общем случае форма l(z) является достаточно сложной вследствие рефракции радиоволн в атмосфере Земли [7, 8]. В то же время, для практически важных случаев рефракция эта сравнительно мала. Так, даже для сравнительно большой длины волны локатора ₀ = 3 м и зенитного угла 90⁰ оказывается, что угол рефракции менее одного градуса в тропосфере и стратосфере, менее полутора градусов в ионосфере, а во всей атмосфере – менее двух с половиной градусов [8]. Под углом рефракции понимается отклонение реального направления распространения волны от направления, соответствующего прямолинейному распространению радиоволн. С уменьшением длины волны и/или с уменьшением зенитного угла уменьшается и угол рефракции. 
Для рассматриваемой задачи искривление траектории приводит в первую очередь лишь к погрешностям определения высоты z, которая и так определяется весьма грубо, с мерой «порядка длины волны». Поэтому в дальнейшем рефракцию радиоволн мы учитывать не будем, тем более, что с практической точки зрения зенитный угол желательно иметь заведомо меньшим 90⁰.

Рассмотрим зависимость l(z), учитывая конечное значение радиуса R Земли. На представленном рисунке ОC = OB = R = R₀ + h; AC = z; AB = l; R₀ – радиус Земли; h – высота точек B и C над поверхностью Земли. Через обозначен зенитный угол. 
По теореме косинусов имеем:

Отсюда можно записать квадратное уравнение относительно l:

Решение этого уравнения имеет вид:

l = .

Рассмотрим предельные случаи. Если = 0, то l = z; если же = /2, то l . 
Наконец, пусть 2Rz + z² << R²cos² . Тогда получим: l . 
Данный случай соответствует случаю «плоской» Земли, когда формально R . Примем для определенности, что H = 100 км. Тогда, поскольку z H, условие «плоской» Земли будет приближенно выполняться (при реальном значении радиуса Земли) для всех практически важных зенитных углов < 80⁰. 
Ограничившись этим случаем, выражение для C_i представим в виде:

C_i = .

Отметим, что ₀ cos = z₀, _i cos = z_i, где z₀, z_i – перепады высот, соответствующие длинам трассы l_0 0; l_{0 i} для заданного зенитного угла .

Найдем теперь отношение относительных сдвигов частоты:

A_i  = = . (3)

Видно, что отношение сдвигов частот определяется только вертикальным профилем скорости волны C(z) и не зависит от скорости движения ИСЗ. 

В рассматриваемом случае мы не можем определить «тонкую структуру» профиля показателя преломления, поскольку имеем дело лишь с величинами, усредненными по различным пространственным масштабам. Поэтому рассмотрим вопрос о «грубой» структуре этого профиля по аналогии с [6]. Реально можно говорить об измерении лишь некоторой скорости C_i^*, усредненной по высоте z z_i+1 - z_i между уровнями z_i и z_i+1, но не об измерении локальной скорости C(z). Положим, что A_i+1 - A_i A. Тогда имеем:

C_i^* = = [ - ] = C(H) = (z_i + A_i+1) C(H);

= z_i + A_i+1. (4)

С другой стороны, учитывая вид показателя преломления (2) и полагая, что все рассматриваемые скорости C волны есть групповые скорости, можно записать:

C_i^* = C₀{1 – 40,4 }; C(H) = C₀{1 – 40,4 }.

Здесь C₀ – скорость света в вакууме; N_ei^*[H – (z_i + z_i+1)/2] – электронная концентрация, усредненная по высоте z z_i+1 - z_i между уровнями z_i и z_i+1 и отнесенная к «средней» высоте H – (z_i + z_i+1)/2:

N_ei^*[H – (z_i + z_i+1)/2] =  (5)

Тогда из (4) получим:

1 – 40,4  z_i + A_i+1;

N_ei^*[H – (z_i + z_i+1)/2] N_e(H) -(z_i + A_{i +1} -1). (6)

Здесь f = f₀ – несущая частота, так что зависимость от частоты модуляции f_i проявляется только как зависимость от масштаба усреднения, характеризуемого длиной волны _i.
Итак, соотношение (6) определяет профиль электронной концентрации N_ei^* – значения концентрации на заданных высотах H – (z_i + z_i+1)/2, отсчитываемых от поверхности Земли, причем z_i = _i cos – расстояние по вертикали от высоты H траектории ИСЗ. Этот профиль выражается через концентрацию N_e на высоте H, так что измерения, рассмотренные выше, в определенной степени являются относительными. При этом вместо высоты H можно, в принципе, использовать любую другую высоту, электронная концентрация на которой известна.
Рассмотрим теперь (3) с учетом вида показателя преломления (2):

A_i = =  =  1 – k[],

где k , M - полное электронное содержание (интегральная электронная концентрация) вдоль трассы распространения волны – одна из важнейших характеристик ионосферы, в значительной мере определяющая условия радиосвязи.
Отсюда нетрудно получить выражение для M:

M = z_i [N_e(H) + ]. (7)

Итак, соотношения (6) и (7) позволяют вычислить вертикальный профиль электронной концентрации и полную электронную концентрацию по измерениям доплеровского сдвига несущей частоты и частот модуляции по значениям параметров A_i (при радиолокации с земной поверхности ИСЗ с пассивным ответом). При этом электронная концентрация N_e на высоте H (или какой-то другой высоте) должна быть известна из независимых измерений. 
При измерениях в собственно ионосфере, как нетрудно видеть, максимальное значение z_i = z_k должно быть таким, чтобы высота H – z_k = H – _kcos соответствовала нижней границе ионосферы (50-60 км). В то же время, если z_k H, то при измерениях скорость волны будет определяться не только показателем преломления (2) в ионосфере, но и показателем преломления (1) в тропо- и стратосфере. Это обстоятельство может быть полезным для ряда научно-практических задач.
Оценим теперь возможные погрешности измерений в соответствии со схемой, представленной на рис. 1 и аналогичной схеме [4].
Обозначим: N N_e(H) - N_ei^*[H – (z_i + z_i+1)/2]. Тогда (6) примет вид:

N  (z_i + A_i+1 - 1).

Рис. 1. Функциональная схема измерений

1 – генератор несущей частоты f₀; 2 – формирователь частот модуляции f₁, f₂, … f_k; 3 – модулятор; 4 – передающая антенна; 5 – искусственный спутник Земли с пассивным ответом; 6 – приемная антенна; 7 – блок обработки сигналов.

Если N, f, z, A – абсолютные погрешности нахождения величин N, f, z, A_i соответственно, то из последнего соотношения получим:

N {2(A_i+1 – 1) – 2z_i(-) + A} (8)

Если функциональная схема измерений выполнена в соответствии с [4], то можно обеспечить абсолютную погрешность A 10^-8 и относительную погрешность  10^-8. Положим, что f = f ₀ = 10⁵ кГц – именно в килогерцах выражается частота в (2). При этом длина волны несущей частоты ₀ = 300 см. Высота z_i по сути своей есть оценочная величина, поэтому относительная погрешность вряд ли может быть сравнительно малой. Более того, вряд ли ее можно оценить обычными способами. Поэтому примем значение этой погрешности «по здравому смыслу» [6]:  > 10^-2. То есть,  << . Кроме того, учтем, что A_i+1 – 1 << 1. Тогда имеем:

N - 2z_i - 2N.

Поскольку знак погрешностей интереса не представляет, получим окончательное выражение для относительной погрешности N/N:

= 2 10^-1.

Рассмотрим теперь погрешность определения полной электронной концентрации в соответствии с (7). Обозначим: M M - z_i N_e(H). Тогда (7) примет вид:

M = z_i.

Величина z_i выражается в сантиметрах, поскольку в (2) электронная концентрация выражается в см^-3. Учтем, что по порядку величины M z_i N. Если M – абсолютная погрешность нахождения M, то получим аналог соотношения (8):

M z_i [( + 2)N + A_i] z_i (N + A).

В данном случае удобнее иметь дело с относительной погрешностью  . Тогда последнее соотношение можно записать в виде:

 =   + . (9)

Положим для определенности, что A 10¹ см^-3. Если N < 10²…10³ см^-3, то  < 10^-2…10^-1. Примем, как и в [6], что  > 10^-2. 
Таким образом, получим окончательную оценку относительной погрешности :

  10^-1.

Заключение

1. Рассмотрена одна из основных задач экспериментального исследования ионосферы – определение вертикального профиля электронной концентрации. Эффект Доплера в неоднородных средах анализируется при одной фиксированной высоте, но при нескольких частотах модуляции. В этом случае данные, соответствующие различным частотам модуляции, в определенном смысле эквивалентны данным, соответствующим различным высотам лоцируемого объекта.
2. Лоцируемый доплеровским радаром искусственный спутник Земли для рассматриваемой задачи является пассивным отражателем. Поэтому для зондирования ионосферы могут использоваться любые «подходящие» спутники, без каких-либо требований к установленной на них аппаратуре.
3. Получены достаточно простые соотношения, выражающие для выбранного дискретного набора высот в ионосфере как электронную концентрацию, так и полное электронное содержание в интервалах между указанными высотами.
4. Оценены возможные погрешности измерений. При сравнительно несложном исполнении приемно-передающей аппаратуры можно обеспечить относительную погрешность измерения, как электронной концентрации, так и полного электронного содержания на уровне 10^-1.
5. При определенных условиях возможно получение информации о показателе преломления радиоволн не только в ионосфере, но также и в тропо- и стратосфере.

1. Брюнелли Б.Е., Намгаладзе А.А. Физика ионосферы. – М.: Наука, 1988. – 528 с.
2. Павлов Н.Ф. Аэрология, радиометеорология и техника безопасности. – Л.: Гидрометеоиздат, 1980 – 432 с.
3. Чукин В.В. Исследование атмосферы методом электромагнитного просвечивания. -   СПб.: Изд-во РГГМУ, 2004. – 107 с.
4. Kolomiets, S.M. Sounding of ocean and atmosphere using Doppler effect in inhomogeneous media / Physics of Wave Phenomena, 2003. – Vol. 11, Number 3. – Pp. 159-167.
5. Коломиец С.М. Способ зондирования атмосферы или океана. Патент 2267139 РФ. Выдан 27 декабря 2005 г.
6. Коломиец С.М. Определение вертикального профиля скорости звука в океане с помощью доплеровского локатора // Исследования в области естественных наук. 2014. № 9 [Электронный ресурс]. URL: http://science.snauka.ru/2014/09/8305 (дата обращения: 12.09.2014).
7. Колосов М.А., Арманд Н.А., Яковлев О.И. Распространение радиоволн при космической связи. – М.: «Связь», 1969. – 156 с.
8. Колосов М.А., Шабельников А.В. Рефракция электромагнитных волн в атмосферах Земли, Венеры и Марса. – М.: «Сов. Радио», 1976. – 220 с.

Все статьи автора «Коломиец Сергей Михайлович»