УДК 512.541.3

О ПОДГРУППАХ ПРЯМОЙ СУММЫ БЕСКОНЕЧНЫХ ЦИКЛИЧЕСКИХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

Трухманов Вячеслав Борисович
Арзамасский филиал ННГУ им Н.И. Лобачевского
кандидат физико-математических наук, доцент

Аннотация
Статья посвящена изучению одного из подклассов класса абелевых групп без кручения ранга 2, а именно, абелевых групп, являющихся подпрямой суммой двух бесконечных циклических групп с порождающей конечной циклической группой (такие группы называются элементарными специальными). Задача описания абелевых групп без кручения конечного ранга, отличного от ранга 1 (для групп ранга 1 задача решена), является достаточно важной и активно решаемой в теории абелевых групп. Рассматриваются некоторые свойства групп из данного подкласса, а также множества всех элементарных специальных групп для различных порождающих групп.

Ключевые слова: абелева группа, абелева группа без кручения, бесконечная циклическая группа, кольцо вычетов., кольцо целых чисел, подпрямая сумма абелевых групп


ON SUBGROUPS OF THE DIRECT SUM OF INFINITE CYCLIC ABELIAN GROUPS

Trukhmanov Vyacheslav Borisovich
Arzamas branch of the Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod
Candidate of physico-mathematical Sciences, associate Professor

Abstract
Article is devoted to one of the subclasses of Abelian torsion-free groups of rank 2, namely, Abelian groups that are subdirect sum of two infinite cyclic groups generated by a finite cyclic group (such groups are called elementary special). The problem of describing Abelian groups of finite rank, than the rank 1 (for groups of rank 1, the problem is solved), is sufficiently important and actively solved in the theory of Abelian groups. Consider some properties of groups of this subclass, as well as the set of all elementary special groups for different groups of generators.

Keywords: Abelian group, Abelian torsion-free, infinite cyclic group, subdirect sum of Abelian groups, the ring of integers, the ring of residues


Рубрика: Математика

Библиографическая ссылка на статью:
Трухманов В.Б. О подгруппах прямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Исследования в области естественных наук. 2014. № 7 [Электронный ресурс]. URL: http://science.snauka.ru/2014/07/8259 (дата обращения: 01.05.2017).

Всюду в статье (если не сказано иначе) все группы – абелевы, А и В – бесконечные циклические группы, и , п – целое положительное число, n > 1.

Определение 1. Подгруппа G прямого произведения  абелевых групп называется подпрямой суммой групп Аi, если для каждого i отображение  является эпиморфизмом, где – проекция прямого произведения А на прямой сомножитель Аi. [4]

Как установлено [4], для того чтобы группа G являлась подпрямой суммой групп А и В необходимо и достаточно, чтобы существовали группа F и такие эпиморфизмы и , что для любых элементов и  ,  . Назовем F порождающей группой для подпрямой суммы G групп А и В, а эпиморфизмы и назовем определяющими для группы G.

Определение 2. Если для некоторого данного числа , группа G является подпрямой суммой данных групп А и В, порожденной конечной циклической группой Zпаддитивной группой кольца вычетов по модулю п – то группу G будем называть элементарной специальной п-группой (esп-группой). В случае, когда число п неизвестно или может быть любым, такую группу мы будем называть es-группой.

В данной статье продолжено изучение свойств esn-групп в зависимости от числа п, а также множества G всех es-групп. Ранее были доказаны ([2], [3], [8]) следующие утверждения, используемые в данной статье:

ТЕОРЕМА А. Для любого целого положительного числа , существует взаимно-однозначное соответствие f между множеством элементарных специальных групп, индуцированных группой Zп,
и мультипликативной группой обратимых элементов кольца вычетов по модулю п.

ТЕОРЕМА Б. Пусть Gesn-группа, . Тогда,  <=>  .

ТЕОРЕМА В. Пусть и , , где esn-группа, k – взаимно простое с п целое число,  и . Тогда, <=> существуют целые числа t и s такие, что , , и , и такие , что п не является их делителем.

В данной статье доказывается следующее основное утверждение для класса esп-групп:

esn-группа G, является подгруппой esn'-группы G' <=> 1) ; 2) .

— группа G максимальна во множестве G <=> esp-группа для простого числа p. Минимальной es-группы во множестве G не существует.

Необходимые определения и обозначения приведены в работах [1] – [8].

ТЕОРЕМА I. Пусть G – esn-группа с парой определяющих эпиморфизмов ,  и G'esn'-группа с парой определяющих эпиморфизмов ,

Тогда <=> для любых элементов а группы А, не принадлежащего подгруппе пА, и b группы В, не принадлежащего подгруппе пВ, выполняется условие:

.

Доказательство непосредственно следует из определения esn-группы.

ТЕОРЕМА II. Пусть G – esn-группа и G'esn'-группа, , , где k – целое число, принадлежащее интервалу от 1 до n, k' – целое число, принадлежащее интервалу от 1 до n'.

 <=> 1) ; 2) .

Доказательство. Пусть , тогда одновременно . Следовательно, по теореме Б, С другой стороны, по теореме В, для любых целых чисел t и s, не делящихся на п, имеет место следующее условие:

=>

для чисел t и s взаимно простых с числом п'. Следовательно, очевидно, .

Обратно. Пусть , , . Тогда, если , то, очевидно, . Если же , то, по теореме В, существуют целые числа t и s, взаимно простые с числом п, такие, что ,и . Тогда и, следовательно, . Отсюда, по теореме В, следует, что  .

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть G – esn-группа. Тогда существует esn-группа – подгруппа группы G.

Доказательство, очевидно, непосредственно следует из теоремы II.

СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть G – esn-группа и G'esn'-группа.

<=>  .

Доказательство. Так как и , то нетрудно видеть, что <=> <=>.

СЛЕДСТВИЕ 3. Пусть G – esn-группа и , причем . Тогда такое число k единственно.

Доказательство непосредственно следует из теоремы II.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пару целых положительных чисел (k, n) таких, что: , будем называть инвариантом es-группы G, если .

СЛЕДСТВИЕ 4. Пусть G, G1, G2es-группы с инвариантами (n, k), , , соответственно.

<=> одновременно выполнены условия: 1) ; 2) ; 3) .

Доказательство, очевидно, следует из теоремы II.

СЛЕДСТВИЕ 5. Пусть G, G1, G2 – es-группы с инвариантами (n, k), , , соответственно. Группа G является наименьшей es-группой, содержащей группы Gи G2 в качестве подгрупп тогда и только тогда, когда одновременно выполнены условия: 1) ; 2) .

Доказательство, очевидно, следует из теоремы II.

Замечание. Нетрудно видеть, что для данных es-групп Gи G2 es-группа G, содержащая группы Gи G2 в качестве подгрупп, всегда существует. В крайнем случае, число п = 1. В этом случае, . Следовательно, множество es-групп для различных п образует верхнюю полурешетку по включению.

СЛЕДСТВИЕ 6. Пусть G = {Gi } – семейство различных es-групп, где для каждого номера i инвариантом группы Gi является пара целых чисел (ni, ki ). Если для различных номеров i и j числа ki и kравны, а числа ni и nне равны, то множество G образует решетку по включению.

Доказательство. Пусть для различных номеров i и j числа ki и kравны, а числа ni и nj не равны. В этом случае, по теореме II, группа Gi содержится в группе Gj тогда и только тогда, когда число nделится на число ni. Отсюда, очевидно, следует, что множество G образует решетку по включению.

ТЕОРЕМА III. Если семейство различных es-групп G = {Gi}, где для каждого номера i инвариантом группы Gi является пара целых чисел (ni, ki ), образует решетку по включению, то числа ni и nразличны для различных номеров i и j.

Доказательство. Необходимость. Пусть семейство es-групп G = {Gi}, где для каждого номера i инвариантом группы Gi является пара целых чисел (ni, ki ), образует решетку по включению, и пусть для различных номеров i и j числа nи nj равны и равны п. Тогда, по следствию 4 теоремы II, пересечение групп Gi и Gj существует тогда и только тогда, когда числа ki и kсравнимы по модулю п в кольце целых чисел Z. А поскольку, для чисел ki и kj выполняются условия:,,то отсюда вытекает, что ki = kj .Следовательно, группы Gi и Gj совпадают, что противоречит условию. Таким образом, доказано, что для различных номеров i и j.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. es-группу Gбудем называть минимальной, если она не содержит в качестве собственной подгруппы никакую другую es-группу. es-группу Gбудем называть максимальной, если не существует es-группы, отличной от прямой суммы , содержащей группу Gв качестве собственной подгруппы.

ТЕОРЕМА IV. Пусть G – es-группа. Группа G является минимальной es-группой <=> ранг группы G равен 1.

Доказательство. Пусть группа G является минимальной es-группой и предположим, что ее ранг равен двум. Тогда, по следствию 2 теоремы II, группа G содержит собственную подгруппу, являющуюся es-группой, что противоречит минимальности группы G. Следовательно, ранг группы G равен единице.

Обратно. Нетрудно видеть, что es-группами ранга 1 являются группы и . Поскольку, ни одна из этих групп не является подгруппой другой, а подгруппой циклической группы является группа циклическая, то, очевидно, es-группа ранга 1 является минимальной.

ТЕОРЕМА V. Пусть esn-группа. Группа G является максимальной es-группой тогда и только тогда, когда п – простое число.

Доказательство. Пусть группа G является максимальной es-группой, тогда ее ранг равен двум, поскольку, es-группа ранга 1, всегда содержится в качестве собственной подгруппы в es-группе ранга 2. Следовательно, es-группа G есть esn-группа для некоторого целого положительного числа п, отличного от единицы.

Предположим, что число п не является простым, то есть является составным. Тогда существует целое положительное число п', отличное от единицы, являющееся собственным делителем числа п. Следовательно, по теореме II, существует es-группа G', содержащая группу G в качестве собственной подгруппы, что противоречит максимальности группы G. Следовательно, число п не может быть составным, то есть оно является простым.

Обратно. Пусть es-группа G есть esn-группа, где п – целое положительное число, отличное от единицы, и являющееся простым. Тогда, по теореме II, поскольку, число п не имеет нетривиальных собственных делителей, следует, что не существует es-группы, содержащей группу G в качестве собственной подгруппы. Таким образом, группа G является максимальной es-группой .

ЛЕММА 1. Пусть esn-группа. Пары одновременно являются элементами группы G, где k, k', m, m' – целые числа, не делящиеся на число п, если существует целое число r такое, что в кольце целых чисел выполняются сравнения: , .

Доказательство. Пусть k, k', m, m' – целые числа, не делящиеся на число п, и пусть существует целое число r такое, что в кольце целых чисел Z выполняются сравнения:  и . Тогда для некоторых целых чисел u и v имеют место равенства: k'  =kr +un, m' =mr +vn. Следовательно,

.

Поскольку, , а группа является подгруппой каждой esn-группы, то, значит, пара есть элемент той же esn-группы, что и пара .

ЛЕММА 2. Пусть G – esn-группа где п – целое положительное число, отличное от единицы, и пусть для некоторых целых чисел k, k', m, m', не делящихся на число п, пары и  принадлежат группе G. Тогда для любого целого числа r в кольце целых чисел Z одновременно выполняются или не выполняются сравнения: и .

Доказательство. Предположим, что для некоторого целого числа r в кольце целых чисел Z числа kr и k' сравнимы по модулю п, а числа mr и m' по модулю п не сравнимы. Поскольку, пара является элементом группы G, то и пара принадлежит группе G , а так как пара  также является элементом группы G , то, по теореме В, числа mr и m' должны быть сравнимы по модулю п в кольце целых чисел Z, что противоречит нашему предположению. Следовательно, данное предположение не верно, а, значит, доказываемое условие леммы выполняется.

ЛЕММА 3. Пусть G – esn-группа, где п – целое положительное число, отличное от единицы, и пусть пара (а, b) является элементом группы G для некоторых элементов а группы А и b группы В, причем пара (а, b) не принадлежит группе . Если подгруппа Н группы  содержит прямую сумму  в качестве собственной подгруппы и пару (а, b) в качестве своего элемента и число п является простым, то группа G является подгруппой группы Н.

Доказательство. Пусть пара (a', b') принадлежит группе G для некоторых элементов a' группы А, не принадлежащего подгруппе пА, и b группы В, не принадлежащего подгруппе пВ. Покажем, что пара (a', b') также является элементом группы Н. Пусть

,

где k, k', m, m' – целые числа, не делящиеся на число п. Поскольку число п является простым, то, как известно из теории сравнений в кольце целых чисел Z, существует целое число r такое, что в кольце Z выполняются сравнение:

,

а тогда, по лемме 2, для числа r в кольце Z выполняются сравнение:

.

Тогда для некоторых целых чисел u и v имеют место равенства: k' kr un, m' mr vn .

Следовательно,



Поскольку, пара , а группа  является подгруппой группы Н, то пара является элементом группы Н, а, значит, и пара также является элементом группы Н.

ТЕОРЕМА VI. Максимальная es-группа является максимальной подгруппой группы .

Доказательство. Пусть G – esn-группа, где п – целое положительное число, отличное от единицы, является максимальной es-группой, и пусть Н – подгруппа группы , содержащая группу G в качестве собственной подгруппы. Тогда группа Н содержит прямую сумму в качестве подгруппы.

С другой стороны, найдутся элементы а группы А, не принадлежащий подгруппе пА, и b группы В, не принадлежащий подгруппе пВ, такие, что пара (а, b) принадлежит группе Н и не принадлежит группе G. Следовательно, существуют целые числа k и m такие, что . А, поскольку, число п является простым, то наибольший общий делитель чисел k и n равен наибольшему общему делителю чисел k и m и равен единице, тогда, как доказано ранее ([2], [3], [8]), существует единственная подпрямая сумма G' групп А и В, содержащая пару (а, b) в качестве своего элемента. Следовательно, по лемме 3, группа G' является подгруппой группы Н. Таким образом, сумма групп G + G' также является подгруппой группы Н.

С другой стороны, так как число п – простое, то, как доказано ранее ([2], [3], [8]), выполняется равенство:

.

Значит, группа Н совпадает с прямой суммой , и, следовательно, максимальная подпрямая сумма G групп А и В одновременно является максимальной подгруппой группы .

ТЕОРЕМА VII. Пусть G – esn-группа, где п – целое положительное число, отличное от единицы. Если число п является простым, то индекс подгруппы G в группе  равен п.

Доказательство. Пусть число п является простым, тогда, по теореме V, группа G является максимальной подгруппой группы , а, как известно, индекс максимальной подгруппы есть число простое. С другой стороны, в этом случае, индекс подгруппы в группе , очевидно, равен п. А, поскольку, прямая сумма является подгруппой группы G, то индекс подгруппы G группы является делителем числа п, а, значит, равен п. Что и требовалось доказать.


Библиографический список
  1. Куликов Л. Я. О подпрямых суммах абелевых групп без кручения первого ранга // ХII Всес. алгебр. коллоквиум. – Свердловск. 1973. – С. 30.
  2. Трухманов В. Б. О некоторых специальных и р-специальных группах // Исследования в области естественных наук. – Июнь 2014. – № 6 [Электронный ресурс]. URL: http://science.snauka.ru/2014/06/7405 (дата обращения: 25.06.2014).
  3. Трухманов В. Б. Подпрямые суммы абелевых групп без кручения ранга 1. // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т.13. №3. – С. 209-221.
  4. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы, т.1. – М. Мир, 1974.
  5. Широков Л. В. О -бикомпактах. // Известия РАН. 1992. т. 56. № 6. – С. 1316-1327.
  6. Широков Л. В. О продолжении непрерывных отображений и аппроксимативной связности // Проблемы современной науки, Центр научного знания «ЛОГОС». 2013. Выпуск 9. – С. 3-9.
  7. Широков Л. В. Теория аналитических функций. Аспекты приложений / Л.В. ШироковН.П. ЯмпуринВ.Д. Садков. – Арзамас: АГПИ, 2004. – 188 с.
  8. Trukhmanov V. B. On subdirect sums of abelian torsion-free groups of rank 1. // Journal of Mathematical Sciences. 2008. Vol.154. №3. – P. 422-429.


Все статьи автора «Трухманов Вячеслав Борисович»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: