УДК 513.83

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ПРЕДЕЛОВ ОБРАТНЫХ СПЕКТРОВ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

Широков Лев Васильевич
Арзамасский филиал ННГУ им. Н.И. Лобачевского
кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математического анализа и прикладной информатики

Аннотация
В настоящей статье изучены свойства пределов обратных спектров, связанные с различного рода кардинальными характеристиками.

Ключевые слова: непрерывное отображение, предел обратного спектра топологических пространств, произведение топологических пространств, топологическое пространство, характер


ON SOME PROPERTIES OF INVERSE LIMITS SPECTRA OF TOPOLOGICAL SPACES

Shirokov Lev Vasilievich
Arzamas branch of the Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod
Candidate of physico-mathematical Sciences, Associate Professor

Abstract
This article discusses its limits inverse spectra associated with various cardinal characteristics.

Keywords: character, continuous map, the inverse limit of the spectrum of topological spaces, the product of topological spaces, topological space


Рубрика: Математика

Библиографическая ссылка на статью:
Широков Л.В. О некоторых свойствах пределов обратных спектров топологических пространств // Исследования в области естественных наук. 2014. № 7 [Электронный ресурс]. URL: http://science.snauka.ru/2014/07/7625 (дата обращения: 07.05.2017).

Определение всех используемых понятий, терминов и обозначений  можно найти в работах . Компакт – компактное хаусдорфово пространство, не обязательно метризуемое. Все пространства предполагаются вполне регулярными. В работе рассматриваются лишь такие спектры, проекции которых являются открыто-замкнутыми сюръективными отображениями.
Определение . Пусть . Оператор продолжения е открытых множеств пространства  называется регулярным, если е удовлетворяет условиям:
а)  для любого открытого подмножества U пространства X;
б) если U  и – открытые подмножества пространства и , то  для любых .
Определение. Отображение  называется параллельным пространству Z, если существует регулярное вложение  такое, что .
Следующее утверждение является основным результатом работы.
Теорема 1. Пусть  - непрерывный вполне упорядоченный спектр, причем сетевой вес  и все проекции  параллельны пространству сетевого веса  - всюду плотное подпространство и  - непрерывное отображение  на пространство , причем характер . Тогда сетевой вес .
Доказательству теоремы 1 предпошлем несколько утверждений технического характера, которые, тем не менее, представляют и самостоятельный интерес.
Пусть  - непрерывный вполне упорядоченный спектр. Для любого   через  обозначим множество, содержащее 1 и все те непредельные  , что

,
где  - предшествующий  трансфинит. Если   и , то будем говорить, что множество  имеет конечный тип. 
Лемма 1. Естественное вложение предельного пространства непрерывного вполне упорядоченного спектра в произведение его элементов является регулярным.
Доказательство. Пусть  - непрерывный спектр с открытыми проекциями и  - произведение элементов спектра . Обозначим через  базу пространства  из открытых множеств конечного типа. Для каждого  множество

обозначим  и положим

.
Так как все проекции спектра  являются открытыми отображениями, то множество  открыто в  для любого . Положим . Покажем, что для любого  выполняется , т. е. что семейство  является базой пространства . Допустим, что существует  такое, что  и пусть   Выберем наименьшее  такое, что существует открытое множество , содержащее , причем .
Ясно, что  не является предельным и , но тогда  - противоречие. Покажем, что если , то  для любых . Точку , принадлежащую множеству

,
построим по трансфинитной индукции. Наибольшее порядковое число, принадлежащее конечному множеству , обозначим через . Пусть . Для каждого  положим .
Пусть . Предположим, что для всех  координаты  искомой точки найдены, причем

.

1-й случай. . Пусть . Так как отображение  открыто-замкнуто, то

и

.

 Выберем некоторую точку

и положим . Аналогично поступаем, если . Если  и , то выберем произвольную точку  и положим .
2-й случай.  - предельное порядковое число. Выберем точку  такую, что  для любого  и положим . Ясно, что 

.
Индукция завершена.
Покажем, что точка  искомая. В самом деле, так как  и  для любого , то для любого  и любого отрытого множества  такого, что  выполняется  и .
Естественное вложение  в  обозначим через  и для каждого открытого множества  положим 

.
Ясно, что  для любого открытого множества , причем, если  - открытые множества  и , то . Таким образом,  - искомый оператор продолжения открытых множеств. Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть  - непрерывный вполне упорядоченный спектр, причем  и для любого  отображение  параллельно пространству сетевого веса . Тогда существует регулярное вложение пространства   в тихоновское произведение , причем сетевой вес  для любого .
Доказательство. Для каждого  мы построим регулярное вложение  пространства  в тихоновское произведение  пространств сетевого веса . Построение это проведем по трансфинитной индукции. Положим  и .
Допустим, что для некоторого  и всех  построение проведено.
1-й случай. . Пусть - регулярное вложение  в . Ясно, что вложение  пространства   в пространство  регулярно. Также очевидно, что вложение  пространства  в пространство  регулярно. Положим  и .
2-й случай.  - предельный ординал. Обозначим через  естественное вложение предельного пространства спектра  в произведение  и положим . Так как вложения  и  регулярны, то регулярно вложение . Положим  и . Индукция завершена.
Пусть  - естественное вложение  в . Положим . Поскольку вложения  и  регулярны (для  это следует из леммы 1), то регулярно вложение  пространства  в тихоновское произведение . Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1. По лемме 2 существует регулярное вложение  пространства  в тихоновское произведение , причем  для любого . Так как вложение  пространства  в  регулярно, то отображение  пространства  на пространство  регулярно относительно . Следовательно, [1]. Теорема доказана. 
Естественным продолжением обсуждаемых вопросов является следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть  - непрерывный вполне упорядоченный спектр из компактов, причем  и все проекции  параллельны пространству веса  - замкнутое подмножество , причем . Тогда существует замкнутое подмножество  такое, что .
Доказательство. Пусть  - определяющая система окрестностей множества  в пространстве  и база множества  в , причем . Для каждого  через  обозначим подсемейство семейства , состоящее из всех элементов , содержащихся в , и положим . Ясно, что для любого  множество  не пусто. Так как семейство  центрировано, то . Выберем точку . По лемме 2 существует регулярное вложение  пространства  в тихоновское произведение , причем  для каждого . Для каждого  через  обозначим подмножество  мощности  такое, что замыкание  в  не зависит от  и положим . Ясно, что . Положим  и покажем, что . Допустим, что существует точка , не принадлежащая множеству . Выберем  такое, что  и положим . Так как вложение  регулярно (лемма 1), то , и получаем противоречие с тем, что . Таким образом , , а так как  - слой в  с основанием мощности , то получаем , что . Теорема доказана.
Следствие. Пусть  - непрерывный вполне упорядоченный спектр из компактов, причем  и все проекции  параллельны пространству веса  и . Тогда .

Библиографический список
  1. Архангельский А.В. Об отображениях всюду плотных подпространств топологических произведений. // Докл. АН СССР. 1971. т. 197. № 4. С. 750 – 753.
  2. Дранишников А.Н. Абсолютные экстензоры в размерности n и n-мягкие отображения, повышающие размерность. // УМН. 1984. т. 39. вып. 5. С. 55 – 95.
  3. Широков Л.В. Внешняя характеристика пространств Дугунджи и -метризуемых бикомпактов. // Докл. АН СССР. 1982. т. 263. № 5. С. 1073-1077.
  4. Широков Л.В. О AE(n)-бикомпактах. // Известия РАН. 1992. т. 56. № 6. С. 1316 – 1327.
  5. Щепин Е.В. Топология предельных пространств несчетных обратных спектров. // УМН. 1976. т. 31. вып. 5.  С. 191-226.
  6. Shirokov L.V. On some forms of embeddings of topological spaces. // Russian Mathematical Surveys 42, (2), 297-298.
  7. Широков Л.В. О продолжении непрерывных отображений и аппроксимативной связности // Проблемы современной науки, Центр научного знания «ЛОГОС». 2013. выпуск 9. С. 3–9.
  8. Широков Л.В. О -бикомпактах и -мягких отображениях. // Сиб. матем. журн. 1992. т. 33. № 2. С. 151-156.
  9. Широков Л. В. Теория аналитических функций. Аспекты приложений/Л. В. Широков, Н. П. Ямпурин, В. Д. Садков. -Арзамас: АГПИ, 2004. -188 с.
  10. Trukhmanov V.B. On subdirect sums of abelian torsion-free groups of rank 1. // Journal of Mathematical Sciences. 2008. Vol. 154. № 3. С. 422-429.
  11. Трухманов В.Б. Подпрямые суммы абелевых групп без кручения ранга 1. // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т. 13. № 3. С. 209-221.


Все статьи автора «Широков Лев Васильевич»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: