УДК 515.163

РАЗРЕЗАНИЕ ЛЕНТ

Марушина Татьяна Дмитриевна
Арзамасский филиал Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского
студентка 3 курса очной формы обучения

Аннотация
В статье представлена серия опытов с листом Мёбиуса. Поставлена и решена проблема прогнозирования результата опыта с продольным разрезанием листа Мёбиуса на произвольное число частей. Также были сделаны некоторые выводы про разрезание лент с четным числом перекручиваний.

Ключевые слова: лист Мёбиуса, топологические многообразия, топологические опыты, топологические поверхности


STRIP CUTTING

Marushina Tatiana Dmitrievna
Arzamas branch of N.Novgorod State University
3rd year student of full-time training

Abstract
This paper presents series of experiments with a Mobius strip. The problem of predicting the results of the experiment with cutting a Mobius strip along posed and solved. Conclusions about cutting strips with an even number of twists have also been made.

Keywords: Mobius strip, topological experiments, topological manifolds, topological surfaces


Рубрика: Математика

Библиографическая ссылка на статью:
Марушина Т.Д. Разрезание лент // Исследования в области естественных наук. 2014. № 7 [Электронный ресурс]. URL: http://science.snauka.ru/2014/07/7567 (дата обращения: 02.05.2017).

Лист Мёбиуса, с которым знакомятся на занятиях по геометрии, представляет большой интерес. Несмотря на простоту, эта топологическая поверхность (двумерное топологическое многообразие) обладает неожиданными свойствами. Интересна также возможность выявления и демонстрации свойств листа Мёбиуса с помощью экспериментов.
Изготовление листа Мёбиуса
Лист Мёбиуса – бумажная лента, повёрнутая одним концом на пол-оборота (то есть 180º) и склеенная с его другим концом. В дальнейшем будем его считать лентой с одним перекручиванием.
Чтобы изготовить лист Мёбиуса, возьмём прямоугольную полоску АВВ*А*, перекрутим её на 180º и склеим противоположные стороны АВ и А*В* (рис. 1), т.е. так что совместятся точки А и В* и точки А* и В.[3]

 

Рис.1. Изготовление листа Мёбиуса

Видим, что склеить лист Мёбиуса довольно просто. Можно отметить, что более наглядная модель этой поверхности получится из прозрачного пластика (например, можно взять уголок для бумаг). Прозрачность такой модели отражает идею бесконечно малой толщины исследуемой поверхности.
Далее описан ряд экспериментов с листом Мёбиуса. При проведении экспериментов, по рекомендации научного руководителя [1], сначала были сделаны пытки предсказать результат опыта. Это отражено в последнем столбце таблицы. А затем проводилась проверка высказанных предположений.

Таблица 1 Эксперименты с листом Мёбиуса
описание эксперимента предполагаемый результат эксперимента действительный 
результат эксперимента
1 разрез на  два соединённых листа Мёбиуса один лист, в два раза больше исходного с четырьмя перекручиваниями
2 разрез на  лист Мёбиуса, в три раза большего размера, притом перекрученный лента в два раза больше с четырьмя перекручиваниями, соединенная с листом Мёбиуса исходного размера
3 разрез на  три соединённых ленты: две в два раза больших размеров и с четырьмя перекручиваниями, и одна лента Мёбиуса исходного размера предполагаемый результат подтвердился

Описание опытов
1. Мысленно разделили попалам лист Мёбиуса вдоль пунктирной линии на полоске и разрезали на две части. Перед этим было сделано предположение, что получится два соединёных листа Мёбиуса, но данные предположения оказались неверными. Результатом стал один в два раза больше исходного (по длине), лист, не являющийся листом Мёбиуса и имеющий четыре перекручивания.
2. Вырезали ленту чуть толще, чем в первом опыте. Сделали лист Мёбиуса, а затем разрезали уже на три равных части. Исходя из первого опыта, можно было предположить, что в этот раз получиться уже в три раза больший лист Мёбиуса, но опять эти предположения оказались неверными. Результатом стала цепочка, состоящая их двух листов, один из которых в два раза больше исходного размера и имеет четыре перекручивания, а другой – лист Мёбиуса исходного размера.
3. Отрезали более широкую ленту. Склеили лист Мёбиуса, мысленно разделили на пять равных частей и разрезали. Из ранее проведенных опытов сделали предположение, что получиться три листа Мёбиуса, два из которых в два раза больше исходного размера и с четырьмя перекручиваниями, и один лист Мёбиуса исходного размера. Опыт подтвердил эти предположения.
Свойства листа Мёбиуса
Из проведенных опытов можно выделить следующие свойства листа Мёбиуса.1. Односторонняя поверхность. Поверхность с одним краем. Эти свойства демонстрирует первый опыт: обращаясь к рисунку 1, видим, что точка А совмещается с В*, а точка А* – с В. Значит край AA* соединяется с краем BB*, поэтому лист Мёбиуса не распадётся на две части в отличии от цилиндра. Односторонность листа Мёбиуса также можно продемонстрировать, если окрасить его в любой цвет, с любого места. После закрашивания мы увидим, что весь лист закрашен.Отсюда вытекает рассуждение: если пополам разрезается лента с чётным числом перекручиваний (является двухсторонней поверхностью), то получится две таких же ленты, только меньшей ширины. При разрезании пополам лент с нечётным числом перекручиваний получится всё равно одна лента, так как на модели точка А совмещается с В*.2. Связность. Это свойство листа Мёбиуса сохраняется после первого опыта, но нарушается во втором и третьем опытах. С этим свойством также связано следующее.
3. Число Бетти – это число разрезов, которые можно провести на поверхности так, чтобы она не распалась на два отдельных куска. Если поверхность имеет края, то каждый разрез должен быть «трансконтинентальным», то есть идти от одной точки какого-то края до другой точки края. Если поверхность замкнутая (то есть без края), то каждый разрез должен иметь форму какой-нибудь простой замкнутой кривой (такой разрез будем называть замкнутым). Число Бетти листа Мёбиуса равно 1: при его разрезании мы, очевидно, можем получить полоску бумаги. [2]Так же проводя опыты можно отследить следующую закономерность.
Если на листе Мёбиуса произвести разрез на , то результат получится тот же, что и для разреза на , только будет добавляться зацепленный лист Мёбиуса исходного размера (по длине). Так получилось в опытах 1 и 2.
Чтобы прогнозировать результат разреза на, нужно расширить таблицу опытов, внеся в неё разрез на , возможно, и разрез на .
Это задаёт направление дальнейшей экспериментальной работы.

Таблица 2 Дополнительные эксперименты
описание эксперимента предполагаемый результат эксперимента действительный 
результат эксперимента
4

разрез на 

две соединенных ленты
с четырьмя перекручиваниями в два раза больше исходных размеров
предполагаемый результат подтвердился
5

разрез на 

три соединенных ленты
с четырьмя перекручиваниями в два раза больше исходных размеров.
предполагаемый результат подтвердился

4. Изготовили лист Мёбиуса. Провести разрез на  означает разрезать пополам и ещё раз пополам. Значит, при прогнозировании результатов этого опыта можно использовать результат первого эксперимента. Затем воспользовалась приведёнными выше рассуждениями про разрезание лент с чётным числом перекручиваний. Вообще для опытов 4 и 5 можно предположить, что если разрез будет на четыре части, то получим две соединенных ленты, а если шесть частей, то три ленты. Разрезали на четыре равных части. Предположения подтвердились.5. Изготовили лист Мебиуса, разрезали на шесть равных частей. Этот опыт проводился, чтобы удостовериться в сделанных прогнозах. Так как разрез проводился на шесть равных частей, то в результате должны были получиться три соединенных ленты, в два раза больше исходных размеров. Все ленты с четырьмя перекручиваниями. Предположения подтвердились.
Выполняя опыты, можно видеть, что происходит с листом Мёбиуса и делать правильные прогнозы. Однако в начале экспериментальной работы большинство прогнозов были неверными. Значит, именно проведение экспериментов делает свойства топологических поверхностей более понятными и доступными для понимания.


Библиографический список
  1. Сангалова М.Е. Использование эксперимента при изучении топологических свойств поверхностей // Сборник научных трудов по материалам Международной науч.-практ. конф. «Современные направления теоретических и прикладных исследований '2011». Том 23. – Одесса: Черноморье, 2011. С. 73–77
  2. Сангалова М.Е. Теория и методика обучения элементам топологии. – Арзамас: Арзамас. гос. пед. ин-т, 2005.
  3. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. – М.: МИРОС. КПЦ "Марта", 1992. – 208с.


Все статьи автора «Сангалова Марина Евгеньевна»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: