УДК 513.83

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОБРАЗОВ ОТКРЫТЫХ ПОДМНОЖЕСТВ КАППА-МЕТРИЗУЕМЫХ КОМПАКТОВ

Широков Лев Васильевич
Арзамасский филиал ННГУ им. Н.И. Лобачевского
кандидат физико-математических наук, доцент

Аннотация
В настоящей работе изучены свойства непрерывных образов открытых подмножеств каппа-метризуемых компактов. Основным результатом работы является утверждение о том, что финально компактный непрерывный образ открытого подмножества каппа-метризуемого компакта представим в виде счетного объединения компактов, являющихся непрерывными образами каппа-метризуемых компактов.

Ключевые слова: каппа-метризуемое пространство, компакт, непрерывное отображение, топологическое пространство, финально компактное пространство


ON SOME PROPERTIES OF CONTINUOUS IMAGES OF OPEN SUBSETS KAPPA-METRISHEV COMPACTS

Shirokov Lev Vasilievich
Arzamas branch of the Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod
Candidate of physico-mathematical Sciences, associate Professor

Abstract
In the present paper we study properties of continuous images of open subsets kappa-matrishev compacts. The main result is an assertion that the final compact continuous image of an open subset kappa-metrishev the compact can be written as the accounts of the association of the compact, which is a continuous images kappa-matrishev compacts.

Keywords: compact, continuous map, kappa-metrishev space, the final compact space, topological space


Рубрика: Математика

Библиографическая ссылка на статью:
Широков Л.В. О некоторых свойствах непрерывных образов открытых подмножеств каппа-метризуемых компактов // Исследования в области естественных наук. 2014. № 6 [Электронный ресурс]. URL: http://science.snauka.ru/2014/06/6848 (дата обращения: 03.05.2017).

Определение всех используемых понятий, терминов и обозначений  можно найти в работах . Компакт – компактное хаусдорфово пространство, не обязательно метризуемое. Все пространства предполагаются вполне регулярными.
Одним из расширений класса диадических компактов  является класс -адических пространств - пространств, допускающих счетное покрытие компактами, являющимися непрерывными образами -метризуемых компактов (т.е.  - адическими компактами) [5]. Структура и свойства пространств этого класса оказались тесно связанными с задачами продолжения непрерывных отображений. Описанию этих связей в общих случаях и в некоторых специальных ситуациях посвящена данная работа. 
Лемма 1. Пусть  - топологическое пространство, причем любое каноническое замкнутое подмножество  имеет тип  в  - всюду плотное подпространство  такое, что для любого замкнутого подмножества  типа  в  пересечение  с  не пусто,  - непрерывное отображение  в пространство , причем . Тогда существует непрерывное отображение  такое, что .
Доказательство. Для каждой точки  обозначим через  семейство всех замкнутых подмножеств  типа  в , содержащих эту точку. Ясно, что для любого  семейство  является  - центрированным Семейство  подмножеств пространства  называется  - центрированным, если для любого подсемейства  мощности  выполнено .. Положим  и . Так как для любого подсемейства  мощности  существует элемент  такой, что, то семейство  является  - центрированным для любого , а так как , то множество  не пусто для любого . Покажем, что для любого  выполняется . Допустим, что существует точка  такая, что . Выберем различные точки  и окрестности  и  этих точек в  такие, что . Пусть  и  - открытые подмножества пространства  такие, что  и . Так как  всюду плотно в пространстве , то . Так как любое каноническое замкнутое подмножество  имеет тип  в , то существуют открытые подмножества  и  пространства  такие, что  и замкнутые множества  и  имеют тип  в пространстве . В силу того, что  и  для любого элемента  получаем, что  и . Тогда  и  - получаем противоречие с тем, что . Таким образом,  для любой точки . Отображение, ставящее в соответствие каждой точке  одноточечное множество , обозначим через . Очевидно, что 
Покажем, что отображение  непрерывно. Пусть  - произвольное открытое подмножество  такое, что . Для каждой точки  выберем окрестность  точки  в  такую, что . Покажем, что для любого . Допустим, что существует точка  такая, что . Так как множество  имеет тип  в , то , что противоречит тому, что  для любого элемента . Покажем, что для любого  и любого  выполняется . Допустим, что существует точка  такая, что  и рассмотрим окрестность  точки  в  такую, что . Тогда , что противоречит тому, что . Таким образом, , т. е.  является открытым подмножеством пространства . Лемма доказана.
Теорема 1. Для того, чтобы финально компактное пространство  было -диадическим необходимо и достаточно, чтобы оно являлось непрерывным образом открытого подмножества -метризуемого компакта.
Доказательство. Доказательство необходимости проводится по стандартной схеме [5].
Достаточность. Пусть  - непрерывное отображение открытого подмножества  -метризуемого компакта на финально компактное пространство . Замыкание множества  в  обозначим через . Через  обозначим объединение всех замкнутых типа подмножеств , лежащих в множестве . Так как пространство  совершенно -нормально, то каждое каноническое замкнутое подмножество пространства  имеет тип  в . Из леммы 1 следует, что существует непрерывное отображение  пространства  на  такое, что . Так как множество  имеет тип  в , то множество  является объединением замкнутых подмножеств типа  в . Множество  имеет тип  в . Так как , то , а так как пространство  является -адическим, то и пространство  является -адическим. Теорема доказана.
Теорема 2. Если псевдокомпактное пространство  является непрерывным образом открытого подмножества  -метризуемого компакта , то любое компактное хаусдорфово расширение  пространства  является -адическим пространством.
Доказательство. Пусть  - непрерывное отображение  на . Обозначим через  замыкание множества  в . Пусть  - стандартное отображение стоун-чеховской компактификации  пространства  на  и  - непрерывное продолжение отображения  на . Так как пространство  совершенно -нормально, то существует множество , содержащее , такое, что множество  является объединением типа  подмножеств  и  для любой точки . Множество имеет тип  в  и, следовательно, множество  обладает счетным покрытием из -адических компактов. Так как отображение  является гомеоморфизмом, то  -адично, а так как  и пространство  финально компактно, то . Теорема доказана.
Лемма 2. Пусть  - непрерывное замкнутое отображение пространства  на компакт  - стоун-чеховская компактификация пространства  и  - непрерывное продолжение отображения  на . Тогда для любого нормального подпространства , содержащего , отображение  является замкнутым.
Доказательство. Пусть  - произвольное замкнутое подмножество пространства  и  - произвольная точка множества . Ясно, что . Так как  и пространство  нормально, то . Нетрудно показать, что

,
т. е. .  Выберем открытое подмножество  такое, что  и . Положим . Ясно, что  и . Так как точка  была выбрана произвольно, то  является замкнутым подмножеством пространства . Лемма доказана.
Теорема 3. Компакт, являющийся образом открытого подмножества -адического компакта относительно непрерывного замкнутого отображения, является -адическим.
Доказательство. Пусть компакт  является непрерывным замкнутым образом открытого подмножества -адического компакта . Тогда  является непрерывным замкнутым образом некоторого открытого подмножества  некоторого -метризуемого компакта . Замыкание множества  в  обозначим через , непрерывное замкнутое отображение  на компакт  обозначим через . Пусть  - стандартное отображение стоун-чеховской компактификации  пространства  на  и  - непрерывное продолжение отображения  на . Так как пространство  совершенно -нормально, то существует множество  такое, что  и  для любой точки , причем множество  является объединением замкнутых типа  подмножеств пространства . Заметим, что множество  имеет тип  в . Таким образом, открытое в  множество  является финально компактным пространством, причем . Так как  нормально, то из леммы 3 следует замкнутость отображения . Тогда существует компакт  такой, что . Пусть  - каноническое замкнутое подмножество  такое, что . Ясно, что . Так как  гомеоморфизм и  является -адическим компактом, то  является -адическим компактом. Отсюда, так как , то компакт  является -адическим компактом. Теорема доказана.
Теорема 4. Компакт , являющийся образом открытого подмножества  -адического компакта относительно непрерывного открытого отображения , является -адическим.
Доказательство. Нетрудно показать, что существует замкнутое подмножество  такое, что  и отображение  является совершенным. Так как компактность сохраняется при переходе к прообразам относительно совершенных отображений, то  является компактном. Пусть  - каноническое замкнутое подмножество -адического компакта такое, что . Так как  и  - -адический компакт , то  является -адическим компактом. Теорема доказана.
Теорема 5. Если  - вес -адического компакта , то существует множество  мощности  всюду плотное в  такое, что  для любой точки .
Доказательство. Пусть , где  - -адический компакт для любого . Обозначим через  -базу пространства  мощности . Покажем, что в каждом элементе  семейства  существует точка  такая, что . Выберем элемент такой, что . Положим . Так как всякий компакт обладает свойством Бэра и , то существуют открытое подмножество  пространства  и номер  такие, что . Замыкание множества  в  обозначим через . Так как , то  является -адическим компактом. Так как для всякого -адического компакта -вес совпадает с весом, то . Выберем произвольную точку . Так как , а  является открытым подмножеством пространства , то . Ясно, что множество  является искомым. Теорема доказана. 
Следствие. Если -вес -адического компакта  счетен, то  удовлетворяет первой аксиоме счетности на счетном всюду плотном подмножестве.

Библиографический список
  1. Архангельский А.В. Об отображениях всюду плотных подпространств топологических произведений. // Докл. АН СССР, 1971. т. 197. № 4. С. 750 – 753.
  2. Широков Л.В. О продолжении непрерывных отображений и аппроксимативной связности // Проблемы современной науки, Центр научного знания «ЛОГОС».2013. выпуск 9. С. 3–9.
  3. Широков Л.В. Внешняя характеристика пространств Дугунджи и -метризуемых бикомпактов. // Докл. АН СССР. 1982. т. 263. № 5. С. 1073-1077.
  4. Широков Л.В. О AE(n)-компактах. //Известия РАН, 1992. т. 56. № 6. С. 1316 – 1327.
  5. Щепин Е.В. О  - метризуемых пространствах. //Изв. АН СССР. Сер. матем, 1979. 43:2. С. 442–478.
  6. Ефимов Б.А. Диадические бикомпакты. // Труды Моск. Мат. Общ., 1965. т. 14. С. 211-247.
  7. Trukhmanov V.B. On subdirect sums of abelian torsion-free groups of rank 1. // Journal of Mathematical Sciences. 2008. Т. 154. № 3. С. 422-429.
  8. Трухманов В.Б. Подпрямые суммы абелевых групп без кручения ранга 1. // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т. 13. № 3. С. 209-221.


Все статьи автора «Широков Лев Васильевич»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: