УДК 512

УРАВНЕНИЯ XA=YB В СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЕ ЛИ

Сизова Ольга Алексеевна
Костанайский филиал Челябинского государственного университета
магистр математики, старший преподаватель кафедры социально-гуманитарных и естественнонаучных дисциплин

Аннотация
В данной статье было показано, что уравнение вида xa=yb ранга 2 в свободной алгебре Ли L[a,b] для слов длины 7 имеет только тривиальные решения, а для слов длин 8 и 9 имеет нетривиальные решения, тем самым была опровергнута выдвинутая гипотеза в статье [1].

Ключевые слова: длина слова, неассоциативное слово, нетривиальное решение, подпростаранство, правонормированное слово, размерность, свободная алгебра Ли, уравнение ранга 2, формула Витта, функция Мебиуса


EQUATION XA = YB IN THE FREE LIE ALGEBRA

Sizova Olga Alekseevna
Kostanay branch of Chelyabinsk state University
Мaster of mathematics, Senior lecturer of the chair of social-humanitarian and natural-science disciplines

Abstract
In this article we have shown that equation of the type xa=yb range 2 in free algebra Lie L[a,b] for words of the length 7 have only trivial decisions, but for words of the lengths 8 and 9 have an untrivial decision, hereunder we refuted promoted hypothesis in article [1].

Keywords: equation of rank 2, free Lie algebra, non-associative word, normed word, podprostranstvo dimension, the formula Witt, the Mobius function, unntrivial solution, word length


Рубрика: Общая рубрика

Библиографическая ссылка на статью:
Сизова О.А. Уравнения xa=yb в свободной алгебре Ли // Исследования в области естественных наук. 2014. № 3 [Электронный ресурс]. URL: http://science.snauka.ru/2014/03/6676 (дата обращения: 29.04.2017).

В статье [1] было рассмотрено уравнение вида ха=ув ранга 2 в свободной алгебре Ли L[a,b] (в дальнейшем уравнение (1)), для которого осуществлялся поиск нетривиальных решений для слов длины  6. Было показано, что уравнение (1) для слов длин 2, 4, 6 имеет нетривиальные решения, а для слов длин 3, 5 имеет только тривиальные решения. На основании этого была выдвинута гипотеза о том, что для слов нечетной длины уравнение (1) нетривиальных решений не имеет.
Цель работы заключается в рассмотрении вопроса о существовании нетривиальных решений уравнения (1) для слов длины большей шести.
В этой статье показано, что уравнение (1) для слов длины 7 имеет только тривиальные решения, а для слов длин 8, 9 имеет нетривиальные решения, тем самым опровергнута упомянутая выше гипотеза, выдвинутая в статье [1]. Также были рассмотрены соотношения размерностей однородного пространства слов фиксированной длины алгебры Ли L[a,b] и его двух подпространств, для чего была использована формула Витта. На основании этих соотношений выяснена причина наличия или отсутствия нетривиальных решений уравнения вида ха=уb ранга 2 в свободной алгебре Ли L[a,b]для слов длин 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Перейдем непосредственно к рассмотрению решений уравнения вида xa=yb ранга 2 в свободной алгебре Ли L[a,b] для слов длин 7, 8, 9.
Пусть далее L[X] – свободная алгебра Ли, где Х - счетно-бесконечное множество порождающих (символов). 
Рассмотрим возможные решения уравнения (1) для слов длины 7.
Будем рассматривать линейные комбинации правонормированных слов длины 7, линейных по каждому входящему в них символу. После соответствующих преобразований, аналогичных преобразованиям статьи [1] получаем: 
abcdefg=agbcdef-bgacdef-cgabdef+cgbadef-dgabcef+dgbacef+dgcabef-dgcbae-egabcdf+egbacdf+egcabdf-egcbadf+egdabcf-egdbacf-egdcabf+egdcbaf-fgabcde+fgbacde+fgcabde-fgcbade+fgdabce-fgdbace-fgdcabe+fgdcbae+fgeabcd-fgebacd-fgecabd+fgecbad-fgedabc+fgedbac+fgedcab-fgedcba 
Теперь найдем все нетривиальные решения уравнения (1) для слов длины 7.
Будем всевозможными способами придавать порождающим a, b, c, d, e, f, g только два значения а или b. Для случая слов длины 7 будет 27=128 комбинаций присвоения значений а или b
На основании просчета с помощью специально созданной программы для нахождения решений уравнения (1) было выявлено, что уравнение (1) для слов длины 7 не имеет нетривиальных решений.
Теперь перейдем к вопросу о существовании нетривиальных решений уравнения (1) для слов длины 8. Так же как и в предыдущем случае рассмотрим линейные комбинации правонормированных слов длины 8. После соответствующих преобразований получаем:
abcdefgh=ahbcdefg-bhacdefg-chabdefg+chbadefg-dhabcefg+dhbacefg+dhcabefg-dhcbaefg-ehabcdfg+ehbacdfg+ehcabdfg-ehcbadfg+ehdabcfg-ehdbacfg-ehdcabfg+ehdcbafg-fhabcdeg+fhbacdeg+fhcabdeg-fhcbadeg+fhdabceg-fhdbaceg-fhdcabeg+fhdcbaeg
+fheabcdg-fhebacdg-fhecabdg+fhecbadg-fhedabcg+fhedbacg+fhedcabg-fhedcbag
-ghabcdef+ghbacdef+ghcabdef-ghcbadef+ghdabcef-ghdbacef-ghdcabef+ghdcbaef
+gheabcdf-ghebacdf-ghecabdf+ghecbadf-ghedabcf+ghedbacf+ghedcabf-ghedcbaf
+ghfabcde-ghfbacde-ghfcabde+ghfcbade-ghfdabce+ghfdbace+ghfdcabe-ghfdcbae
-ghfeabcd+ghfebacd+ghfecabd-ghfecbad+ghfedabc-ghfedbac-ghfedcab+ghfedcba
Найдем хотя бы одно нетривиальное решение уравнения (3) для слов длины 8. Так же как и в случае слов длины 7 будем придавать a, b, c, d, e, f, g, h только два значения а или b. Для случая слов длины 8 будет 28=256 комбинаций присвоения значений а или b. Пусть а:=b (а присвоено значение b), b:=a, c:=b, d:=a, e:=a, f:=b, g:=b, h:=a тогда
babaabba=baabaabb-aabbaabb-babaaabb+baabaabb-aabababb+aaabbabb+
+aabbaabb-aabababb-aabababb+aaabbabb+aabbaabb-aabababb+aaababbb-
-aaaabbbb-aaabbabb+aaababbb-bababaab+baabbaab+babbaaab-bababaab+
+baababab-baaabbab-baabbaab+baababab+baababab-baaabbab-baabbaab+
+baababab-baaababb+baaaabbb+baaabbab-baaababb-bababaab+baabbaab+
+babbaaab-bababaab+baababab-baaabbab-baabbaab+baababab+baababab-
-baaabbab-baabbaab+baababab-baaababb+baaaabbb+baaabbab-baaababb+
+babbabaa-bababbaa-babbbaaa+babbabaa-babababa+babaabba+bababbaa-
-babababa-babababa+babaabba+bababbaa-babababa+babaabab-babaaabb-
-babaabba+babaabab
Приведя подобные слова, в итоге получим:
babbbaaa-2babbabaa+3babababa-bababbaa=
=2babaabab-2babaaabb+2baabaabb+8baababab-4bababaab-2baaabbab+babbaaab-4baaababb+2baaaabbb-2baabbaab+babbaaab
В итоге получено одно из нетривиальных решений уравнения (1) ранга 2 для слов длины 8.
(babbbaa-2babbaba+3bababab-bababba)a=
=(2babaaba-2babaaab+2baabaab+8baababa-4bababaa-2baaabba+babbaaa-4baaabab+2baaaabb-2baabbaa+babbaaa)b
= babbbaa-2babbaba+3bababab-bababba
=2babaaba-2babaaab+2baabaab+8baababa-4bababaa-2baaabba+babbaaa-4baaabab+2baaaabb-2baabbaa+babbaaa
Аналогичным образом можно получить все нетривиальные решения для слов длины 8.
На основании полученного решения делаем вывод, что уравнение вида ха=ув ранга 2 над свободной алгеброй Ли L[a,b] для слов длины 8 имеет хотя бы одно нетривиальное решение. 
Рассмотрим линейные комбинации правонормированных слов длины 9. После соответствующих элементарных преобразований получим:
abcdefghi=
=aibcdefgh-biacdefgh+ciabdefgh+cibadefgh-diabcefgh+dibacefgh+dicabefgh
-dicbaefgh-eibacdfgh+eibacdfgh+eicabdfgh-eicbadfgh+eidabcfgh-eidbacfgh
-eidcabfgh+eidcbafgh-fiabcdegh+fibacdegh+ficabdegh-ficbadegh+fidabcegh
-fidbacegh-fidcabegh+fidcbaegh+fieabcdgh-fiebacdgh-fiecabdgh+fiecbadgh
-fiedabcgh+fiedbacgh+fiedcabgh-fiedcbagh-giabcdefh-gibacdefh+gicabdefh
-gicbadefh+gidabcefh-gidbacefh-gidcabefh+gidcbaefh+gieabcdfh-giebacdfh-
-giecabdfh+giecbadfh-giedabcfh+giedbacfh+giedcabfh-giedcbafh+gifabcdeh
-gifbacdeh+gifcabdeh+gifcbadeh-gifdabceh+gifdbaceh+gifdcabeh-gifdcbaeh
-gifeabcdh+gifebacdh+gifecabdh-gifecbadh+gifedabch-gifedbach-gifedcabh
+gifedcbah-hiabcdefg-hibacdefg+hicabdefg-hicbadefg+hidabcefg-hidbacefg
-hidcabefg+hidcbaefg+hieabcdfg-hiebacdfg-hiecabdfg+hiecbadfg-hiedabcfg
+hiedbacfg+hiedcabfg-hiedcbafg+hifabcdeg-hifbacdeg-hifcabdeg+hifcbadeg-
-hifdabceg+hifdbaceg+hifdcabeg-hifdcbaeg-hifeabcdg+hifbacdeg+hifecabdg
-hifecbadg+hifedabcg-hifedbacg-hifedcabg+hifedcbag+higabcdef-higbacdef
-higcabdef+higcbadef-higdabcef+higdbacef+higdcabef-higdcbaef-higeabcdf
+higebacdf+higecabdf-higecbadf+higedabcf-higedbacf-higedcabf+higedcba
f-higfabcde+higfbacde+higfcabde-higfcbade+higfdabce-higfdbace-higfdcabe
+higfdcbae+higfeabcd-higfebacd-higfecabd+higfecbad-higfedabc+higfedbac+
+higfedcab-higfedcba
Придадим a, b, c, d, e, f, g, h, i только два значения а или b. Для случая слов длины 9 будет 29=512 комбинаций присвоения значений а или b.
Пусть а:=b (а присвоено значение а), b:=a, c:=b, d:=a, e:=a, f:=b, g:=b, h:=a, i:=b тогда
babaabbab=
=bbabaabba-abbbaabba+bbbaaabba+bbabaabba-abbababba+ababbabba+
+abbbaabba-abbababba-ababbabba+ababbabba+abbbaabba-abbababba+
+abababbba-abaabbbba-ababbabba+abababbba-bbbabaaba+bbabbaaba+
+bbbbaaaba-bbbabaaba+bbabababa-bbabbbaba-bbabbaaba+bbabababa+
+bbabababa-bbaabbaba-bbabbaaba+bbabababa-bbaababba+bbaaabbba+
+bbaabbaba-bbaababba-bbbabaaba-bbabbaaba+bbbbaaaba-bbbabaaba+
+bbabababa-bbaabbaba-bbabbaaba+bbabababa+bbabababa-bbaabbaba-
-bbabbaaba+bbabababa-bbaababba+bbaaabbba+bbaabbaba-bbaababba+
+bbbbabaaa-bbbabbaaa+bbbbbaaaa+bbbbabaaa-bbbababaa+bbbaabbaa+
+bbbabbaaa-bbbababaa-bbbababaa+bbbaabbaa+bbbabbaaa-bbbababaa+
+bbbaababa-bbbaaabba-bbbaabbaa+bbbaababa-abbabaabb-ababbaabb+
+abbbaaabb-abbabaabb+ababababb-abaabbabb-ababbaabb+ababababb+
+ababababb-abaabbabb-ababbaabb+ababababb-abaababbb+abaaabbbb+
+abaabbabb-abaababbb+abbbabaab-abbabbaab-abbbbaaab+abbbabaab-
-abbababab+abbaabbab+abbabbaab-abbababab-abbababab+abbabbaab+
+abbabbaab-abbababab+abbaababb-abbaaabbb-abbaabbab+abbaababb+
+abbbabaab-abbabbaab-abbbbaaab+abbbabaab-abbababab+abbaabbab+
+abbabbaab-abbababab-abbababab+abbababab+abbabbaab-abbababab+
+abbaababb-abbaaabbb-abbaabbab+abbaababb-abbbbabaa+abbbabbaa+
+abbbbbaaa-abbbbabaa+abbbababa-abbbaabba-abbbabbaa+abbbababa+
+abbbababa-abbbaabba-abbbabbaa+abbbababa-abbbaabab+abbbaaabb+
+abbbaabba-abbbaabab
Снова приведем подобные слова. В итоге получим:
3abbababba-2abababbba+abaabbbba+2abbbbabaa-4abbbababa-abbbbbaaa+
+abbbabbaa=4abbaababb-2abbbaabab+2abbbaaabb-2abbaaabbb-7abbababab+
+3abbabbaab+4abbbabaab-2abbbbaaab+4ababababb-2abbabaabb-3ababbaabb- 
-abaabbabb-2abaababbb+abaaabbbb+abbaabbab
Было получено одно из нетривиальных решений уравнения ранга 2 над свободной алгеброй Ли L[a,b] для слов длины 9.
(3abbababb-2abababbb+abaabbbb+2abbbbaba-4abbbabab-abbbbbaa+
+abbbabba)a=(4abbaabab-2abbbaaba+2abbbaaab-2abbaaabb-7abbababa+
+3abbabbaa+4abbbabaa-2abbbbaaa+4abababab-2abbabaab-3ababbaab- 
-abaabbab-2abaababb+abaaabbb+abbaabba)b
=3abbababb-2abababbb+abaabbbb+2abbbbaba-4abbbabab-abbbbbaa+
+abbbabba
=4abbaabab-2abbbaaba+2abbbaaab-2abbaaabb-7abbababa+3abbabbaa+
+4abbbabaa-2abbbbaaa+4abababab-2abbabaab-3ababbaab-abaabbab-
-2abaababb+abaaabbb+abbaabba
Аналогичным образом можно получить все решения уравнения (1) для слов длины 9.
Получив хотя бы одно нетривиальное решение уравнения вида ха=уb ранга 2 в свободной алгебре Ли L[a,b] для слов длины 9 тем самым опровергаем выдвинутую в статье [1] гипотезу о том, что для слов нечетной длины уравнение вида ха=уb ранга 2 в свободной алгебре Ли L[a,b] нетривиальных решений не имеет.
Заметим, что все провонормированные слова в свободной алгебре Ли L[a,b] делятся на 2 типа: оканчивающиеся на символ а и оканчивающиеся на символ b. Эти слова образуют два линейных подпространства La и Lb соответственно. А так как любой элемент этой алгебры можно представить в виде линейной комбинации правонормированных слов, то и сама алгебра является суммой (необязательно прямой) этих двух подпространств, то есть L[a,b]= La + Lb
Пусть dimqL[a,b] – размерность свободной алгебры Ли L[a,b], рассматриваемого как пространство натянутое на слова длины q, dimqLa – размерность линейного подпространства слов длины qоканчивающихся на а, а dimqLb – размерность линейного подпространства слов длины q оканчивающихся на b. Тогда, если dimqL[a,b]= dimqLa+ dimqLb, то эти два подпространства имеют нулевое пересечение, то есть пространство алгебры Ли L[a,b] становится прямой суммой подпространств и, следовательно, уравнение вида ха=уb ранга 2 над свободной алгеброй Ли L[a,b] не имеет нетривиальных решений. Если же dimqL[a,b]< dimqLa+ dimqLb, то пересечение подпространств не будет нулевым и, следовательно, некоторая линейная комбинация слов длины q оканчивающихся на а будет равна некоторой линейной комбинации слов длины q оканчивающихся на b, что означает, что уравнение вида ха=уb ранга 2 над свободной алгеброй Ли L[a,b] будет иметь нетривиальные решения. 
Рассмотрим случаи для слов длины, меньших либо равных девяти, начиная с двух. Для этого воспользуемся известной формулой Витта. А.И. Ширшовым в работе «О свободных кольцах Ли» [2] показано, что если – ранг модуля однородных многочленов степени с п образующими, то числосовпадает с числом правильных слов длины q от п символов. Так как правильные слова образуют базу пространства алгебры Ли L[a,b], число правильных слов длины q от п символов и есть размерность этого пространства. Таким образом
,
где -число всех ассоциативных слов длины q от п символов, а - делители числа q.
Формула Витта имеет вид:
, где - функция Мебиуса.
Функция Мебиуса определяется следующим образом:
 
В нашем случае п=2 .
Случай 1. q=2




Следовательно, для слов длины 2 уравнение вида ха=уb ранга 2 над свободной алгеброй Ли L[a,b] имеет нетривиальные решения.
Случай 2. q=3



Следовательно, для слов длины 3 уравнение вида ха=уb ранга 2 над свободной алгеброй Ли L[a,b] не имеет нетривиальные решения.
Случай 3. q=4



Следовательно, для слов длины 4 уравнение вида ха=уb ранга 2 над свободной алгеброй Ли L[a,b] имеет нетривиальные решения.
Случай 4. q=5



Следовательно, для слов длины 5 уравнение вида ха=уb ранга 2 над свободной алгеброй Ли L[a,b] не имеет нетривиальные решения.
Случай 5. q=6



Следовательно, для слов длины 6 уравнение вида ха=уb ранга 2 над свободной алгеброй Ли L[a,b] имеет нетривиальные решения.
Случай 6. q=7



Следовательно, для слов длины 7 уравнение вида ха=уb ранга 2 над свободной алгеброй Ли L[a,b] не имеет нетривиальные решения.
Случай 7. q=8



Следовательно, для слов длины 8 уравнение вида ха=уb ранга 2 над свободной алгеброй Ли L[a,b] имеет нетривиальные решения.
Случай 8. q=9


 
Следовательно, для слов длины 8 уравнение вида ха=уb ранга 2 над свободной алгеброй Ли L[a,b] имеет нетривиальные решения.
Тем самым с помощью формулы Витта было подтверждено наличие или отсутствие нетривиальных решений уравнения вида ха=уb ранга 2 в свободной алгебре Ли L[a,b] для слов длин 2,3,4,5,6,7,8,9. Существование нетривиального решения рассматриваемого уравнения для слов длины 9, найденного в данной работе, это, как уже отмечалось выше, опровергает гипотезу о том, что для слов нечетной длины уравнение вида ха=уb ранга 2 в свободной алгебре Ли L[a,b] не имеет нетривиальных решений.



Все статьи автора «Сизова Ольга Алексеевна»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: