Вопрос о существовании нечётных совершенных чисел относится к самым старейшим в математике вопросам без ответов. В данной работе доказывается, что нечётные совершенные числа не существуют.
Натуральное совершенное число а определяется равенством
, (1)
где 
– сумма всех делителей числа а.
При доказательстве будут использованы леммы 1 и 2.
Лемма 1. Если натуральные числа q и t
, 
,
где 
; 
; 
; 
– различные простые числа, tj – различные простые числа, взаимно просты, то
,
где
,
.
Доказательство леммы 1 приводится, например, в [1, с.15] и основывается на единственности представления каждого натурального числа в виде произведения простых чисел, доказательство чего приводится, например, в [2, с.10].
Лемма 2. Нечётное совершенное число а, если оно и существует, должно быть равно
, (2)
где
, (3)
; 
; 
; 
; 
– различные простые числа, 
– простое число, причём 
.
Доказательство
В [1, с.17-19] доказано, что нечётные числа вида:
-
, где е – число из (3); -
, где q – простое число, 
; -
, где p, q – различные простые числа, 
,не являются совершенными.
-
Допустим, что число
, (4)где
, 
; 
, 
– различные простые числа, является совершенным. Тогда из (1) на основании леммы 1 имеем равенство
.Выражение в каждой скобке является чётным числом, т.е. левая часть равенства содержит чётный множитель
, 
, 
, тогда как правая часть равенства содержит чётный множитель 2. Так как подобное равенство невозможно, то полученное противоречие доказывает, что число из (4) не является совершенным. -
Допустим, что число
, (5)где е – число из (3), а
– число из (4), является совершенным. Тогда из (1) на основании леммы 1 имеем равенство
.
.Выражение в каждой квадратной скобке является чётным числом, т.е. левая часть равенства содержит чётный множитель
, 
, тогда как правая часть равенства содержит чётный множитель 2. Так как подобное равенство невозможно, то полученное противоречие доказывает, что число из (5) не является совершенным. -
После проведённого рассмотрения единственно возможным видом нечётного совершенного числа является составное число вида
, (6)где е – число из (3),
, q – простое число, 
.Итак, допустим, что нечётное совершенное число а имеет вид из (6). Тогда с учётом леммы 1 равенство (1) запишется в виде
, (7)где
,а)
, б) 
. (8)Обозначив
, где 
, перепишем L в виде
, (9)где
.Равенство (7) с учётом (9) перепишется в виде
.Так как правая часть этого равенства – нечётное натуральное число, то получаем, что
и 
– нечётные числа, что возможно, если только 
и 
, где 
, 
. Последнее равенство перепишется в виде
, (10)где
.Покажем теперь, что в (3)
. Перепишем равенство (10) в виде
, (11)где
. (12)При записи (12) использовалась формула суммы геометрической прогрессии.
Дробь
является убывающей последовательностью от параметра 
. Действительно,
.Из (12) получим:
(13)Так как
– возрастающая последовательность от с, то минимальное значение 
равно
.Поскольку
, то из (11) с учётом (13) следует неравенство
. (14)Допустим, что m = 1. Тогда для дроби
с учётом (8) получим цепочку сравнений:
.Но, учитывая (14), дробь
не может быть меньше 
. Из полученного противоречия следует, что 
. Лемма 2 доказана.Возможный вид нечётного совершенного числа а из (2) был ранее получен Л. Эйлером.
Теорема. Не существует нечётных совершенных чисел.
Доказательство
Так как простое число
не делится нацело на 
, то из (10) с учётом (8а) следует, что
, (15)где
, 
, 
. Из (15) видно, что параметр с возрастает с увеличением 
.Покажем, что
является возрастающей последовательностью от 
. Действительно,
,где
.Следовательно, с учётом вышесказанного, z является возрастающей последовательностью от
.Но из (8) следует, что
,откуда видно, что z является убывающей последовательностью от
. Полученное противоречие доказывает теорему.Теорема доказана.
Библиографический список
-
Д.Ф. Базылев. Справочное пособие к решению задач: диофантовы уравнения. – Минск: НТЦ «АПИ», 1999. – 160 с.
-
Э. Трост. Простые числа. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. – 135 с. (перевод с немецкого).
Доказательство очень простое в техническом плане, но в некоторых местах недостаточно прозрачно в идейном.
Некоторые замечания:
1) В формулировке Леммы 2 для условия (3) прямо указано, что m>=2. Поэтому часть доказательства, начиная с:
(МФС 2)>> Покажем теперь, что в (3) m>=2.
представляется избыточной. Это опечатка в условии (3)? или в формулировках / доказательствах п.5 и п.6 под e^2 понималось что-то другое?
2) Следующее утверждение (см. также его аналоги в других местах доказательства) требуют отдельного пояснения:
(МФС 2)>> Из (15) видно, что параметр $c$ возрастает с увеличением $p^i’ \forall i’$.
В идейном плане не сразу понятно, что стоит за этим утверждением. Например, возникают такие сомнения:
2.а) Поскольку равенство (15) получено исходя из предположения о свойствах совершенного числа (выполняется равенство (10), как минимум), то (МФС 2), по-видимому, неявно предполагает наличие других (а далее и бесконечного числа) нечётных совершенных чисел.
2.б) Почему, собственно, при увеличении $p^i’$ должно вырасти $c$? Очевидно, нет. Ведь тогда с изменившимся $c$ простые сомножители могут совершенно иначе перераспределиться между множителями (10). Можно утверждать только, что представление (15) станет совершенно иным.
Либо же в этом месте доказательства неявно предполагается существование различных нечётных совершенных (см. замечание 2.а) с очень жёстким ограничением на взаимосвязи в их разложении (10), (15). А затем доказывается от противного, что такого быть не может. Но в таком случае этот простой факт не доказывает Теорему.
Я не уверен в своих сомнениях, поскольку не являюсь экспертом в данной области, но в доказательстве с такой предельно простой техникой надеялся увидеть столь же простую для понимания идею. С учётом важности вопроса было бы очень полезно разжевать идею хотя бы в комментариях (благо, формат электронной версии журнала это позволяет).
К сожалению, не увидел вовремя на форуме dxdy ветку, посвящённую этой статье. Там обсуждение куда более чёткое и лаконичное:
http://dxdy.ru/topic86591.html
Дальнейшие обсуждения есть смысл проводить в кругу экспертов, я считаю.