УДК 512.522.7

КРУГОВОЕ ПОЛЕ

Пузач В.Н.
Челябинский государственный университет Костанайский филиал
Старший преподаватель кафедры социально-гуманитарных и естественнонаучных дисциплин

Аннотация
В статье идет речь о круговом поле - подполе поля комплексных чисел, также приводится доказательство его неразложимости над полем рациональных чисел.

Ключевые слова: круговое поле, поле комплексных чисел


THE CIRCULAR FIELD

Puzach V.N.
Chelyabinsk State University
Senior lecturer in social and natural sciences and humanities

Abstract
The given report is devoted to the questions of circular field and its peculiarities.

Рубрика: Общая рубрика

Библиографическая ссылка на статью:
Пузач В.Н. Круговое поле // Исследования в области естественных наук. 2013. № 6 [Электронный ресурс]. URL: http://science.snauka.ru/2013/06/5004 (дата обращения: 05.05.2017).

 

Подчинить вычисления своей воле, сгруппировать математические операции, научиться их классифицировать по степени трудности, а не по внешним признакам – вот задачи математиков будущего, так, как я их понимаю, вот путь, по которому я хочу пойти…

Э. Галуа

На рубеже средних веков в работах арабских математиков формируется термин алгебра. Начиная с этого момента, она выделяется в самостоятельную отрасль математического знания, в центре которой занимает место решение алгебраических уравнений различных степеней в радикалах. Среди наиболее ранних работ в этой области можно отметитьработы Лагранжа, Руффини, Абеля. Но фундаментальные результаты в этой области получены в 1830-1832 гг.Э. Галуа. Он впервые ввел такиеалгебраические понятия как группа, подгруппа, нормальный делитель и поле. Всякому алгебраическому уравнению Галуа ставил в соответствие однозначно определенную группу, впоследствии названной группой Галуа. Разрешимость данной группы определяла разрешимость соответствующего ему алгебраического уравнения.

Исследования Галуа привели к новой точке зрения на предмет и задачи алгебры. С этого момента не решение уравнений, а изучение алгебраических операций, производимыми над элементами произвольного множества становится объектом алгебры.

Это постепенное преобразование алгебры как науки приобрело четкие очертания в работах Эмми Нетер – одной из талантливейших женщин мира. Она, начиная с 1920 года, заложила фундамент нового направления в алгебре, так называемой абстрактной или общей алгебры, т. е. общей теории колец, полей, идеалов. Работы Нетер были продолжены Штейницем, Артином и его учеником Ван дер Варденом.

Во всяком разделе математики, в частности, алгебре и теории чисел, приходится иметь дело с различными множествами. Традиционно понятие множества ассоциируется с числовым множеством, хотя как показывает практика, числовыми множествами представлена всего лишьих малая часть. Дальнейшее развитие этого понятия приводит нас к различным действиям над элементами заданного множества, именуемых в дальнейшем операциями, а если быть более точным – алгебраическими операциями. Наряду с этим главное отличие операций друг от друга - наличие или отсутствие определенных свойств. Таким образом, предметом изучения алгебры является традиционная тройка: множество, операция над элементами данного множествами и свойства данной операции, именуемой алгебраической структурой. При этом в центре алгебры находится действие той или иной операции над элементами произвольного множества, наряду с тем как природа элементов носит второстепенный характер.

В арифметике и алгебре оперируют с разными числами: целыми, рациональными, иррациональными, комплексными, с многочленами и алгебраическими дробями; при этом часто констатируют, что свойства производимых над разными объектами действий в основном одни и те же. В развитии алгебры углубленное изучение отдельных типов алгебраических структур происходило параллельно с выяснением их общих свойств. Так возникло одно их основных понятий абстрактной алгебры – кольцо. Обратимость операции умножения приводит к понятию частного случая кольца – поля (иногда называемого телом). Группы, кольца, поля – все это конкретные алгебраические структуры, или, точнее, типы алгебраических структур. Дальнейшее развитие этих понятий приводит нас к понятию модуля, идеала и мн. др.

Из курса общей алгебры известны «естественные» числовые поля – поле рациональных чисел, поле действительных чисел и поле комплексных чисел. В свою очередь, очевидно, что поле комплексных чисел является расширением поля действительных чисел, поле действительных чисел - расширение поля рациональных чисел, другими словами имеет место вложение:

При этом поле Q, в отличие от R и C, простое поле нулевой характеристики, так как не содержит другие поля в качестве подполей.Но наряду с вышеуказанными полямисуществуют и другие подполя поля комплексных чисел. Опишем одно из них.

Пусть m – натуральное число и пусть число ζ, как и все его степени –корни уравнение хm-1=0, то есть значения корня m-й степени из единицы. Причем корень ζ– первообразный корень m-й степени из единицы, если он не является корнем многочлена хn-1=0 при n<m. Если ζ– первообразный корень m-й степени из единицы, то любой другой корень степени m из единицыявляется степенью ζ, а первообразные корни степени m из единицы – это в точности элементы ζk, где k и m взаимно просты. Из всего вышесказанноговытекает, чтоF=Q(ζ) – поле разложения для многочлена хm-1. Таким образом, хm-1= (х-1)(х - ζ) … (х-ζm-1). Поле F=Q(ζm) называется круговым полем корней m-й степени из единицы или просто круговым полем. Первым его начал изучать Гаусс в связи с построением правильных многоугольников.

Покажем, что круговое поле неразложимо над полем Q. Пусть f(х)=0 неразложимое уравнение, которому удовлетворяет произвольно выбранный примитивный корень из единицы ζ. При этом f(х) можно рассматривать как целочисленный многочлен. Нужно показать, что f(х) = Фh(x), где Фh(x)=0 – уравнение деления круга степени h.

Пусть p – простое число, на которое не делится число h. Тогда вместе с ζ также и ζp является примитивным корнем h-й степени из единицы, и этот элемент удовлетворяет некоторому целочисленному разложимому уравнению gp)=0 левая часть которого равна Фh(x). Прежде всего, покажем, что f(x)=εg(x), где ε= ±1 – обратимый элемент в кольце целых чисел.

Многочлен вместе с f(x) имеет корнем элемент ζ, а вместе с g(x) – корень ζp; следовательно, этот многочлен делится как на f(x), так и на g(x). Если бы f(xg(x) были существенно различными многочленами, то xh-1 должен был делиться на произведениеf(x)g(x):

xh-1= f(x)g(x)h(x),

где многочлен h(x) тоже должен быть целочисленным. Далее, многочлен g(xp) имеетζ своим корнем, а потому должен делиться на f(x):

g(xp)=f(x)k(x),

причем опять-таки k(x) – целочисленный многочлен.

Рассмотрим теперь xh-1= f(x)g(x)h(x) и g(xp)=f(x)k(x) как сравнения по модулю p. Тогда по модулю p:

g(xp)≡ {g(х)}p.

Действительно, если выполнить возведение в степень справа,записав предварительно g(x) без коэффициентов как сумму степеней х, а затем раскрыть скобки в соответствие с правилами, получив {g(х)}p возведением в p-ю степень каждого слагаемого, то получится как раз g(xp). И теперь следует, что

{g(х)}pf(x)k(x) (modp).

Разложим обе части равенства на неразложимые множители по модулю p. В силу теоремы об однозначном разложении на простые множители многочлена с коэффициентами из поля Z/(p), каждый множитель φ(х) и f(x) должен входить в {g(х)}p , а потому и в g(x). Следовательно, правая частьxh-1= f(x)g(x)h(x) по модулю p делится наφ2(х), а потому по модулю p как левая часть xh-1, так и её производная hxh-1 должны делится на φ(х). Однако производнаяhxh-1 в силу того, что h не сравнимо с 0 по модулю p, имеет лишь те простые делители х, которые не делят xh-1. Тем самым мы получили противоречие.

Таким образом, f(x)=±g(x) и ζp – корень многочлена f(x).

Покажем теперь следующее: все примитивные корни h-й степени из единицы являются корнями многочлена f(x). Пусть ζv — такой корень из единицы и пусть

v = p1pn

где pi —равные или различные простые множители, взаимно простые с h.

Так как ζ удовлетворяет уравнению f(x) = 0, таким же должен быть и элемент ζp1. Повторение рассуждений для нового простого числа р2 показывает, что и элементζp1p2удовлетворяет этому уравнению. Продолжая, таким образом, мы получим, что ζv удовлетворяет уравнению f(x)=0.

Следовательно, все корни многочлена Фh(х) удовлетворяют уравнению f(x)=0; так как f(x) неразложим, а Фh(x) не имеет кратных корней, то Фh (x) = f(x). Тем самым доказана неразложимость уравнения деления круга.


Библиографический список
  1. Айерленд К., Роузен М., Классическое введение в современную теорию чисел. М: Наука, 1987 г. - 416 с.
  2. Боревич З.И., Шафаревич И.Р., Теория чисел. М: Наука, 1985 г. - 504 с.
  3. Ван дер Варден Б.Л., Алгебра,М: Наука, 1975 г. - 648 с.
  4. Винберг Э.Б., Курс алгебры. М: Факториал-пресс, 2001 г. - 544 с.
  5. Девенпорт Г., Введение в теорию чисел. М: Наука, 1965 г. - 176 с.
  6. Кострикин А.И., Введение в алгебру Часть 1. М: Наука, 1977 г. - 272 с.
  7. Януш Г.Дж., Алгебраические числовые поля. Н.: Научная книга, 2001 г.- 248 с.


Все статьи автора «puzach»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: