УДК 519.6

ПРОЦЕДУРЫ ПОИСКА ПАРЕТО-ОПТИМАЛЬНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Рабчук Александр Викторович
Уфимский государственный авиационный технический университет
кандидат технических наук, доцент кафедры математики

Аннотация
Рассмотрен вопрос выбора объекта при следующих особенностях: объект – устройство или система обработки информации и управления; к объекту предъявляется векторный критерий качества на двух уровнях: первый уровень – критерии, определяющие технические характеристики объекта, второй уровень – критерии, характеризующие цели управления и определяются в процессе натурных испытаний или с помощью имитационного моделирования. Все критерии – противоречивы. Предлагаются процедуры выбора в условиях неопределенности.

Ключевые слова: информация, математическая модель, неопределенность, объект, Парето, план Дрепера-Лоуренса, управление, эксперт


PROCEDURE SEARCH OF PARETO-OPTIMAL TECHNICAL SOLUTIONS WITH HELP SYSTEMATIC EXPERIMENT

Rabchuk Aleksandr Viktorovich
Ufa State Aviation Technical University
PhD in Technical Science, Assistant Professor of the Mathematic Department,

Abstract
Consider question choice the object with particular: object – arrangement or system of treat information and management; to object produce vectors quality for two levels: first – quality define technical's characters object: second – qualities aims operate and define in aviations trial or mathematical model. All qualities are opposite. Propose procedure choice condition indefinite.

Keywords: Dreper-Lourens plan, expert, indefinite, information, management, mathematics model, object


Рубрика: Общая рубрика

Библиографическая ссылка на статью:
Рабчук А.В. Процедуры поиска Парето-оптимальных технических решений с помощью планирования эксперимента // Исследования в области естественных наук. 2013. № 2 [Электронный ресурс]. URL: http://science.snauka.ru/2013/02/4110 (дата обращения: 02.05.2017).

Пусть Х- множество объектов, u={u(x),…,u(x)}-критерии первого уровня, к={к(х),…,к(х)} - критерии второго уровня, хХ. При отсутствии критериев второго уровня задача поиска объекта решается на множестве Парето [1] xArgmin F(x), xP ,



где F(x)-обобщенный критерий, представляющий свертку u(x),…,u(x).

В нашем случае задача решается следующим способом:

Шаг 1. Введем множество векторов предпочтения критериев первого уровня - представляющий собой n-1-мерный правильный симплекс. Для каждого определим множества



где - нормированные критерии,

u(x)= max u(x) или min u(x) если предпочтительно увеличение или уменьшение значения u(x).

Если для фиксированного получено несколько вариантов объекта

Х () Х, то формируется множество

, для всех хХ().

Обозначим Р= - множество не улучшаемых, с точки зрения по , векторов из U или вариантов объекта для которых . Параметр выполняет роль промежуточных переменных и определяет вариант объекта. Тогда поиск оптимального или точнее - рационального варианта объекта можно переформулировать как задачу поиска неизвестных .

Шаг 2. Выбирая на симплексе точку определяем для нее вариант объекта и с помощью моделирования определяем

к () = {к(),…,к()}.

Шаг 3. Обобщенный критерий представим в виде F()= j=1,…,p, где - коэффициенты предпочтения критериев второго уровня (назначают эксперты).

Шаг 4. Далее определяем для и соответствующий х, для которого u(x).

Данная постановка задачи формирует контур автоматизированного принятия решения, где эксперт на рекомендацию принять вариант объекта, имея информацию о u, k , F, за счет коррекции может получать и сравнивать варианты объекта, принадлежащие Для нахождения рационального варианта объекта на симплексе строят - сеть узлы которой есть компоненты вектора . Для - сети формируют или , что иногда представляет очень большую по объему вычислений задачу. Для преодоления этих трудностей воспользуемся симплексными планами Дрепера-Лоуренса [2,c.112]. В симплексной системе ими построен план, минимизирующий смещение (систематическую ошибку), связанное с тем, что истинная поверхность отклика описывается полиномом степени , а модель строится степени . Согласно плану на симплексе (для трех критериев) выбирается, по определенным правилам, семь точек. Для каждой точки вычисляют u (), k (), F(). Далее определяем и соответствующий х. Вся информация передается экспертам, который может принять данный вариант или остановиться на любом другом из семи предложенных. Таким образом, определяется начальная, опорная, точка для дальнейшего поиска рационального варианта объекта.

Рассмотрим краткое описание нескольких процедур поиска рационального варианта объекта с учетом реакции эксперта.

Процедура 1 (метод "расширяющихся окрестностей").

Рассматривается окрестность точки

с радиусом

R=min{R, R , R } / h, где R ,R , R- расстояние от точки
до сторон симплекса и целое h>1. Если координаты наилучшей точки в исходной системе координат = {, , }, то в симплексной - надо умножить все компоненты на. Для заданного угла исследованию подлежат точки на окружности R с угловым шагом n. Координаты точки в симплексной системе вычисляются по формулам


= + R( cos n - sin n ),


=- R cos n,


= + R( sin n + cos n ).

При оценке решений х () и х () реакция эксперта может быть, например, вектор с компонентами +1, 0 , -1. Плюс 1 –если х () предпочтительнее х () – тогда точка является исходной и процесс построения окрестностей R повторяется , 0 – в противном случае – процесс повторяется после выбора h < h, минус 1 –если решения неразличимые. В последнем случае решение выбирается случайно.

Процедура 2 (градиентный поиск).

Предположим, что в сколь угодно малой, локальной области симплекса функции К () можно представить в виде полиномов первой степени

К () =, (i=1,2,…,n; j=1,2,…n). Доказано, что если градиенты функций К () = С+ лежат в области симплекса, то градиент линейной свертки F()= лежит в области симплекса, и направляющий вектор градиента имеет координаты


= {(АСС+…+АС), …,(АСС+…+АС)}

где С==, .

Около точки строится локальный симплекс АВС. Координаты точек , , где Т{А, В, С}, вычисляются для последовательных углов n=0 , 2/3, 4/3. С помощью моделирования в каждой точке вычисляем критерии второго уровня.

Запишем систему уравнений К = и решаем относительно . Далее вычисляем С, С, . Исходной точкой для движения по градиенту является центр локального симплекса. Движение осуществляется благодаря изменению компонент пропорционально координатам направляющего вектора . Если найден вариант х () в точке вокруг нее строится новый локальный симплекс АВС и определяется новое направление движения.


Библиографический список
  1. Меркурьев В.В., Молдавский М.А. Семейство сверток векторного критерия для нахождения точек множества Парето. - Автоматика и телемеханика, 1979,№1,c.110-121.
  2. Зедгинидзе И.Г. Планирование эксперимента для исследования многокомпонентных систем. М.: Наука,1976.-377с.


Все статьи автора «Рабчук Александр Викторович»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: